證明的方法總結(jié)-1

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 證明的方法總結(jié) 總結(jié)是把一定階段內(nèi)的有關(guān)狀況分析研究，做出有指導(dǎo)性結(jié)論的書面材料，它可以幫助我們有尋覓學(xué)習(xí)和工作中的規(guī)律，不如靜下心來好好寫寫總結(jié)吧。那么你真的懂得怎么寫總結(jié)嗎？下面是我?guī)痛蠹艺淼淖C明的方法總結(jié)，歡迎大家共享。 證明的方法總結(jié)1 一、原函數(shù) 定義1 假如對任一xI，都有 F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx 則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)。 例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 ln(xx2) 原函數(shù)存在定理：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的

2、可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對任一xI，有F(x)f(x)。 注1：假如f(x)有一個原函數(shù)，則f(x)就有無窮多個原函數(shù)。 設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)Cf(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。 注2：假如F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù)，即F(x)G(x)C（C為常數(shù)） 注3：假如F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的一個原函數(shù)，則F(x)C（C為任意常數(shù)）可表達f(x)的任意一個原函數(shù)。 1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數(shù)。 二、不定積分 定義2 在區(qū)間I上，f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間

3、I上的不定積分，記為f(x)dx。 假如F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則 f(x)dxF(x)C，（C為任意常數(shù)） 三、不定積分的幾何意義 圖 51 設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標x的點處有相互平行的切線，其斜率都等于f(x) 在求原函數(shù)的具體問題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達式y(tǒng)F(x)C，再從中確定一個滿足條件 y(x0)y0 (稱為初始條件)的原函數(shù)yy(x)從幾何上講，就是

4、從積分曲線族中找出一條通過點(x0,y0)的積分曲線 四、不定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)） f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx k為非零常數(shù)） kf(x)dxkf(x)dx（ 五、基本積分表 a dx = ax + C，a和C都是常數(shù) xa dx = x(a + 1)/(a + 1) + C，其中a為常數(shù)且 a -1 1/x dx = ln|x| + C ax dx = (1/lna)ax + C，其中a 0 且 a 1 ex dx = ex + C cosx dx = sinx + C sinx dx = - cosx + C cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|

5、cscx| + C tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C sec2(x) dx = tanx + C csc2(x) d

6、x = - cotx + C secxtanx dx = secx + C cscxcotx dx = - cscx + C dx/(a2 + x2) = (1/a)arctan(x/a) + C dx/(a2 - x2) = arcsin(x/a) + C dx/(x2 + a2) = ln|x + (x2 + a2)| + C dx/(x2 - a2) = ln|x + (x2 - a2)| + C (x2 - a2) dx = (x/2)(x2 - a2) - (a2/2)ln|x + (x2 - a2)| + C (x2 + a2) dx = (x/2)(x2 + a2) + (a2/

7、2)ln|x + (x2 + a2)| + C (a2 - x2) dx = (x/2)(a2 - x2) + (a2/2)arcsin(x/a) + C 六、第一換元法（湊微分） 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 假如 u(x)，且(x)可微，則 dF(x)F(u)(x)f(u)(x)f(x)(x) dx 即F(x)為f(x)(x)的原函數(shù)，或 f(x)(x)dxF(x)CF(u)Cu(x)f(u)du因此有 定理1 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，u(x)可微，則 f(x)(x)dxf(u)du 公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 u(x)u(

8、x) (2-1) f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x) 1f(axb)d(axb)1f(u)duf(axb)dxuaxb 證明的方法總結(jié)2 數(shù)列極限的證明 數(shù)列極限的證明是數(shù)一、二的重點，特別是數(shù)二最近幾年考的十分頻繁，已經(jīng)考過好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數(shù)列極限的證明，用到的方法是單調(diào)有界準則。 微分中值定理的相關(guān)證明 微分中值定理的證明題歷來是考研的重難點，其考試特點是綜合性強，涉及到知識面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理： 1。零點定理和介質(zhì)定理； 2。微分中值定理； 包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來處理高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問

9、題，考察頻率底，所以以前兩個定理為主。 3。微分中值定理 積分中值定理的作用是為了去掉積分符號。 在考察的時候，一般會把三類定理兩兩結(jié)合起來進行考察，所以要總結(jié)到現(xiàn)在為止，所考察的題型。 方程根的問題 包括方程根唯一和方程根的個數(shù)的探討。 定積分等式和不等式的證明 主要涉及的方法有微分學(xué)的方法：常數(shù)變異法；積分學(xué)的方法：換元法和分布積分法。 積分與路徑無關(guān)的五個等價條件 這一部分是數(shù)一的考試重點，最近幾年沒設(shè)計到，所以要重點關(guān)注。 方法篇 結(jié)合幾何意義記住基本原理 重要的定理主要包括零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結(jié)論。 知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道

10、的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如20 xx年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明白極限存在，求值是很簡單的，但是假如沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。 由于數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，假如第一步未得到結(jié)論，那么其次步就是空中樓閣。這個題目十分簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，由于對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性與“有界性都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是好多，更多的是要用到其次步。 借助幾何意義尋求證明思路 一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確

11、解釋的，當然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如20 xx年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點（正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點）之間的一個點。這樣很簡單想到輔助函數(shù)F（x）=f（x）g（x）有三個零點，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。 再如20 xx年數(shù)學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f（x）及y=1x在0，1上的圖形就馬上能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，

12、重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)當看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。假如其次步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。 逆推法 從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如20 xx年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。 在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常狀況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常狀況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常狀況），這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原

13、來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F（x）=lnxxlnxa4（xa）/ex，其中eF（a）就是所要證的不等式。 證明的方法總結(jié)3 一、 不定積分計算方法 1. 湊微分法 2. 裂項法 3. 變量代換法 1) 三角代換 2) 根冪代換 3) 倒代換 4. 配方后積分 5. 有理化 6. 和差化積法 7. 分部積分法（反、對、冪、指、三） 8. 降冪法 二、 定積分的計算方法 1. 利用函數(shù)奇偶性 2. 利用函數(shù)周期性 3. 參考不定積分計算方法 三、 定積分與極限 1. 積和式極限 2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限 3. 洛必達法則 4. 等價無窮小 四、 定積分的估值及

14、其不等式的應(yīng)用 1. 不計算積分，對比積分值的大小 1) 對比定理：若在同一區(qū)間a,b上，總有 f(x)=g(x),則 = ()dx 2) 利用被積函數(shù)所滿足的不等式對比之 a) b) 當00，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；假如f(x)0， 則 為減(增）函數(shù)， 為增（減）函數(shù) 3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有一致的單調(diào)性 4yfg(x)是定義在M上的函數(shù)， 若f(x)與g(x)的單調(diào)性一致， 則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為增函數(shù)； 若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反， 則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為減函數(shù)簡稱同增異減 5. 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一致； 偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相

15、反 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)求某些函數(shù)的值域或最值 (2)對比函數(shù)值或自變量值的大小 (3)解、證不等式 (4)求參數(shù)的取值范圍或值 (5)作函數(shù)圖象 證明的方法總結(jié)5 摘要:結(jié)合實例分析介紹了不定積分的四種基本計算方法。為使學(xué)生熟練把握,靈活運用積分方法,本文將高等數(shù)學(xué)中計算不定積分的常用方法,簡單進行了整理歸類。 關(guān)鍵詞:積分方法 第一類換元法其次類換元法 分部積分法 不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ),對不定積分的理解與把握的好壞直接影響到該課程的學(xué)習(xí)和把握。熟練把握不定積分的理論與運算方法,不但能使學(xué)生進一步穩(wěn)定前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)與微分的知識,而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程等相關(guān)知識打好基礎(chǔ)

16、。在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)的概念與定義與初等數(shù)學(xué)相比發(fā)生了好多的變化,從有限到無限,從確定到不確定,計算結(jié)果也可能不唯一,但計算方法與計算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計算中體會的淋漓盡致。對不定積分的求解方法進行簡單的歸類,不但使其計算方法條理明了,而且有助于對不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對學(xué)好積分具有一定的促進作用。 1 直接積分法 直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質(zhì)求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數(shù)通過代數(shù)或三角恒等式變形,變?yōu)榉e分表中能直接計算的公式,利用積分運算法則,在逐項積分。 一、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函

17、數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)或dF f(x) (x)f(x)dx ,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù) 定義2.函數(shù) f(x)的全體原函數(shù)F(x)C叫做f(x)的不定積分，記為: f(x)dxF(x)C f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達式C叫做積分常數(shù) “ 其中 叫做積分號 二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式 性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達式，即 f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx. 性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個任意函數(shù)，即 f(x)dxf(x)C, 或df(x)f(x)C 性質(zhì)3. 非零的常數(shù)因子可

18、以由積分號內(nèi)提出來，即 kf(x)dxkf(x)dx (k0). 性質(zhì)4. 兩個函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 基本積分公式 (1)kdxkxC(k為常數(shù)) (2)xdx 1 1 x 1 C (1) 1 (3)xlnxC x (4)exdxexC (6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16) 11x 11x 2 (5)a x dx a x lna C (7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotx

19、C (11) cscxcotxdxcscxC (13)cscxdxlncscxcotxC (15) 1x 2 2 xarctanxC xarcsinxC xarcsinxC 三、換元積分法和分部積分法 定理1. 設(shè)(x)可導(dǎo)，并且f(u)duF(u)C. 則有 f(x)(x)dxF(u)C 湊微分 f(x)d(x) 令u(x) f(u)du 代回u(x) F(x)C 該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法 定理2.設(shè)x數(shù)F (t)是可微函數(shù)且(t)0，若f(t)(t)具有原函 (t)，則 xt換元 fxdx fttdt 積分 FtC t

20、1 x 回代 1 FxC. 該方法叫其次換元積分法 證明的方法總結(jié)6 1、原函數(shù)存在定理 定理假如函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對任一xI都有F(x)=f(x);簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。 分部積分法 假如被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。假如被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u。 2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。 定積分 1、定積分解決的典型問

21、題 (1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程 2、函數(shù)可積的充分條件 定理設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積，即連續(xù)=可積。 定理設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個休止點，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。 3、定積分的若干重要性質(zhì) 性質(zhì)假如在區(qū)間a,b上f(x)0則abf(x)dx0。 推論假如在區(qū)間a,b上f(x)g(x)則abf(x)dxabg(x)dx。 推論|abf(x)dx|ab|f(x)|dx。 性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值，則m(b-a)abf(x)dxM(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值

22、可以估計積分值的大致范圍。 性質(zhì)(定積分中值定理)假如函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個點，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、關(guān)于廣義積分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上除點c(a 定積分的應(yīng)用 1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積) 直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù)) 極坐標系下(r,x=rcos,y=rsin)(扇形面積公式S=R2/2) 旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=abf(x)2dx，其中f(x)指曲線的方程) 平行截面面積為已知的立體體積(V=abA(x)dx,其中A(x)為截面面積) 功、

23、水壓力、引力 函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*abf(x)dx) 證明的方法總結(jié)7 一、不定積分的概念和性質(zhì) 若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數(shù)不可丟！ 性質(zhì)1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或 df(x)dxf(x) dx 性質(zhì)2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C 性質(zhì)3f(x)g(x)dx 或f(x)g(x)dx 二、基本積分公式或直接積分法 基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx kdxkxC xxdx1x1C(為常數(shù)且1)1xdxlnxC ax edxeCadxlnaC xx cosxdxsinxCsinxdxcosxC dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC dxarctan