課標版高考文科數(shù)學總復習專題6.4 數(shù)列的綜合應用（講解練）教學講練

1、專題六數(shù)列6.4數(shù)列的綜合應用高考文數(shù)考點一數(shù)列求和1.公式法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解.2.倒序相加法在數(shù)列an中,與首末兩端等“距離”的兩項和相等或可構成能求和的新數(shù)列,可用倒序相加法求此數(shù)列的前n項和.如等差數(shù)列的前n項和就是用此方法推導的.考點清單3.錯位相減法在數(shù)列anbn中,an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,可用錯位相減法求此數(shù)列的前n項和.如等比數(shù)列的前n項和就是用此方法推導的.4.裂項相消法把數(shù)列的每一項拆成兩項之差,求和時有些部分可以相互抵消,從而達到求和的目的.常見的裂項方法:數(shù)列(n為正整數(shù))裂項方法(k為非零常數(shù))=(k0)=-(a0,且a1)loga=loga(

2、n+1)-logan(a0且a1)6.并項求和法一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結合求解,則稱為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用并項求和.5.分組轉(zhuǎn)化求和法若一個數(shù)列由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列組成,則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相加減.考點二數(shù)列的綜合應用數(shù)列應用題的常見模型1.等差模型:當后一個量與前一個量的差是一個固定量時,該模型是等差模型,這個固定量就是公差.2.等比模型:當后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時,該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.3.遞推模型:當題目中給出的前后兩項之間的關系不固定,隨項的變化而變化時,應考慮是an與an+1之間的遞推關系,還是Sn

3、與Sn+1之間的遞推關系.方法數(shù)列求和的方法方法技巧常見類型及方法(1)an=kn+b,利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解;(2)an=a1qn-1,利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解,但要注意對q分q=1與q1兩種情況進行討論;(3)an=bn+cn,數(shù)列bn、cn是可以直接求和的數(shù)列,采用分組求和法求an的前n項和;(4)an=bncn,bn是等差數(shù)列,cn是等比數(shù)列,采用錯位相減法求an的前n項和;(5)可化為an=f(n)-f(n-1)形式的數(shù)列,可采用裂項相消法求an的前n項和;(6)an-k+ak=cbn,可考慮用倒序相加法求和;(7)an=(-1)nf(n),可將相鄰兩項合并求解,即

4、采用“并項求和法”.例1(2019全國卷高三五省優(yōu)創(chuàng)名校聯(lián)考,17)設數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.(1)求an的通項公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn=,求bn的前n項和Tn.解析(1)當n=1時,a2-a1=2;當n2時,由Sn=nan+1-n2-n得Sn-1=(n-1)an-(n-1)2-(n-1),兩式相減得an=nan+1-(n-1)an-2n,整理得an+1-an=2.綜上可知,數(shù)列an是首項為3、公差為2的等差數(shù)列,從而得an=2n+1.(2)由已知及(1)得bn=,所以Tn=-.例2(2018山西太原五中模擬,19)已知數(shù)列an的首項a1=1,前n項和為Sn,an+1=3Sn+1.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn=log2,求數(shù)列的前n項和Tn.解析(1)由an+1=3Sn+1,得an=3Sn-1+1(n2), 兩式相減得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n2), 故an+1=4an(n2), 因為a1=1,a2=3S1+1=3a1+1=4,所以=4.所以an是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,an=4n-1(nN*).(2)由(1)知an=4n-1,