二微分運(yùn)算法則課件

1、二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念 引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取得增量時(shí),變到其邊長(zhǎng)由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的微分,定義: 若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即定理: 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 : 函數(shù)證:

2、 “必要性” 已知在點(diǎn) 可微 ,則故在點(diǎn) 的可導(dǎo),且在點(diǎn) 可微的充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明:時(shí) ,所以時(shí)很小時(shí), 有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、 微分運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數(shù))分別可微 ,的微分為微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1.求 解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 設(shè)求 解: 利用一階微分形

3、式不變性 , 有例3. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意: 數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性 , 例如注意 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的近似值 .解:例5. 計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6. 有一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解: 已知球體體積為鍍銅體積為 V 在時(shí)體

4、積的增量因此每只球需用銅約為( g )用銅多少克 . 估計(jì)一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 誤差傳遞公式 :已知測(cè)量誤差限為按公式計(jì)算 y 值時(shí)的誤差故 y 的絕對(duì)誤差限約為相對(duì)誤差限約為若直接測(cè)量某量得 x ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例7. 設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑 測(cè)量D 的 絕對(duì)誤差限欲利用公式圓鋼截面積 ,解:計(jì)算 A 的絕對(duì)誤差限約為 A 的相對(duì)誤差限約為試估計(jì)面積的誤差 . 計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (mm)內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說(shuō)明其正負(fù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 設(shè)由方程解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得確定 , 求6. 設(shè) 且則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回