定積分的應(yīng)用講義市公開課獲獎?wù)n件

1、1 平面圖形面積 2 由平行截面面積求體積3 平面曲線長4 定積分在物理學(xué)中應(yīng)用第十章 定積分的應(yīng)用第1頁第1頁第十章 定積分的應(yīng)用1 平面圖形面積第2頁第2頁 本章中我們將用前面學(xué)過定積分知識來分析和處理一些幾何、物理中問題，其目的不但是建立計(jì)算這些幾何、物理公式，并且更主要還在于簡介利用元素法處理問題定積分分析辦法。第3頁第3頁考慮曲邊梯形面積計(jì)算問題一 問題提出abxyo第4頁第4頁面積表示為定積分要通過下列環(huán)節(jié)：（3） 求和，得A近似值（4） 求極限，得A準(zhǔn)確值第5頁第5頁兩式，我們發(fā)覺一個事實(shí)，左邊極限式子與右邊定積分表示式有較好相應(yīng)。我們讓 要想得到一個定積分表示式，只要求出被積表

2、示式這就是定積分元素法第6頁第6頁二 定積分元素法（Element Method ）第7頁第7頁元素法普通環(huán)節(jié)第8頁第8頁這個辦法通常叫做元素法應(yīng)用方向：平面圖形面積；體積；平面曲線弧長；功；水壓力；引力和平均值等第9頁第9頁復(fù)習(xí): 定積分幾何意義三、平面圖形面積:由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成圖形y=f(x)ab0 xy如何求面積呢？第10頁第10頁A-AA表示以y=f(X)為曲邊曲邊梯形面積ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA第11頁第11頁2.假如f(x)在a,b上時正，時負(fù)，以下圖結(jié)論：幾何意義abxyy=f(x)0第12頁第12頁問題:試用定

3、積分表示下列各圖中影陰部分面積。0 xy=x22yy0 xy=f(x)y=g(x)ab講授新課:直角坐標(biāo)系第13頁第13頁xyo曲邊梯形面積曲邊梯形面積1 直角坐標(biāo)系情形穿針法或微元素法被積函數(shù)上-下、右-左第14頁第14頁結(jié)論:普通地,由上,下兩條曲線y=f(x)與y=g(x)以及兩條直線x=a與x=b(ab)所圍平面圖形面積計(jì)算公式為第15頁第15頁例1.用定積分表示圖中四個陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第16頁第16頁解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1a

4、b-12f(x)=(x-1)2-1第17頁第17頁解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第18頁第18頁解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第19頁第19頁解兩曲線交點(diǎn)，面積元素選 為積分變量解方程組注 被積函數(shù)為上-下，上為 下為第20頁第20頁解兩曲線交點(diǎn)選 為積分變量注 被積函數(shù)為“右-左”右為直線，左為拋物線第21頁第21頁假如曲邊梯形曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形面積第22頁第22頁解橢圓參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積第23頁

5、第23頁面積元素曲邊扇形面積2 極坐標(biāo)系情形第24頁第24頁解于是第25頁第25頁解利用對稱性知第26頁第26頁解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第27頁第27頁第28頁第28頁元素法提出、思想、環(huán)節(jié).（注意微元法本質(zhì)）四 小結(jié) 思考題微元法與定積分關(guān)系是什么？平面圖形面積計(jì)算辦法（注直角坐標(biāo)、參數(shù)方程、極坐標(biāo)）第29頁第29頁第十章 定積分的應(yīng)用2 由平行截面面積求體積第30頁第30頁 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺1 旋轉(zhuǎn)體體積一、 空間立體體積第31頁第31頁xyo旋轉(zhuǎn)體體積為第32頁第32頁解直線方程為過原點(diǎn) 及點(diǎn)第33頁第

6、33頁第34頁第34頁第35頁第35頁解第36頁第36頁第37頁第37頁第38頁第38頁利用公式，可知上例中第39頁第39頁2、平行截面面積為已知立體體積從計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積過程能夠看出：假如一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸各個截面面積，那么，這個立體體積也可用定積分來計(jì)算.立體體積第40頁第40頁解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積第41頁第41頁解建立坐標(biāo)系，底圓方程為截面面積立體體積第42頁第42頁第十章 定積分的應(yīng)用3 平面曲線弧長第43頁第43頁1、平面曲線弧長概念 平面曲線弧長第44頁第44頁定理 光滑曲線弧是可求長。簡介 光滑曲線 當(dāng)曲線上每一點(diǎn)處都含有切線，且切

7、線隨切點(diǎn)移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動，這樣曲線稱為光滑曲線。第45頁第45頁就是弧長元素弧長2 直角坐標(biāo)情形由第三章弧微分公式知第46頁第46頁解因此弧長為第47頁第47頁設(shè)曲線弧為弧長3 參數(shù)方程情形第48頁第48頁解全長因此第49頁第49頁曲線弧為弧長4 極坐標(biāo)情形第50頁第50頁解第51頁第51頁1光滑曲線概念.四 小結(jié)2平面曲線弧長概念直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下3 弧長公式第52頁第52頁第十章 定積分的應(yīng)用4 定積分在物理學(xué)中應(yīng)用第53頁第53頁一 變力沿直線所作功第54頁第54頁第55頁第55頁解即功元素為所求功為第56頁第56頁解建立坐標(biāo)系如圖5m3m第57頁第57頁這一薄層水重力為功元素為(千焦)3m5m第58頁第58頁二 水壓力第59頁第59頁解在端面建立坐標(biāo)系如圖第60頁第60頁第61頁第61頁解 建立坐標(biāo)系如圖L則斜邊所在直線方程第62頁第62頁由定義域內(nèi)駐點(diǎn)唯一知當(dāng)時所受壓力最大。第63頁第63頁三、引力第64頁第64頁解 建立坐標(biāo)系如圖將典型小段近似當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)小段質(zhì)量為第65頁第65頁小段與質(zhì)點(diǎn)距離為引力水平方向分力元素由對稱性知，引力在鉛直方向分力為第66