微積分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、 導(dǎo)數(shù)和微分1 導(dǎo)數(shù)概念1第1頁第1頁1.變速運(yùn)動(dòng)速度第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念一、改變率問題舉例2第2頁第2頁3第3頁第3頁4第4頁第4頁2.切線問題5第5頁第5頁6第6頁第6頁 上面兩個(gè)例子分別屬于不同領(lǐng)域,一為運(yùn)動(dòng)問題，一為幾何問題,但都要求計(jì)算函數(shù)值改變量與自變量改變量之比, 在當(dāng)后者無限趨于零時(shí)極限.另外,很多理論或?qū)嶋H問題,也要求計(jì)算這種類型極限,這些量詳細(xì)意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共性,便得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念.7第7頁第7頁二、導(dǎo)數(shù)定義8第8頁第8頁9第9頁第9頁10第10頁第10頁11第11頁第11頁關(guān)于導(dǎo)數(shù)闡明：12第12頁第12頁三、由定義求導(dǎo)數(shù):環(huán)節(jié):例1解:13第13頁第13頁解14

2、第14頁第14頁15第15頁第15頁解16第16頁第16頁解17第17頁第17頁解18第18頁第18頁四 導(dǎo)數(shù)意義1 幾何意義切線方程為法線方程為19第19頁第19頁2 簡樸物理意義1）變速直線運(yùn)動(dòng)中：路程對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為物體瞬時(shí)速度.20第20頁第20頁2）交流電路中電量對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.21第21頁第21頁2、熟記下列導(dǎo)數(shù)公式： （1） （C)=0（2）( 3)（4） （5） 22第22頁第22頁2 求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)和微分23第23頁第23頁 解24第24頁第24頁推論例1解25第25頁第25頁例2解定理426第26頁第26頁例3解同理可得27第27頁第27頁例1解:先求運(yùn)動(dòng)方向28第28頁第

3、28頁再求速度大小29第29頁第29頁定 積 分30第30頁第30頁一、問題提出1. 曲邊梯形面積設(shè) y = f (x)為區(qū)間a, b 上連續(xù)函數(shù)，且f (x) 0，由曲線 y = f (x)，直線 x = a， x = by = 0 所圍成圖形稱為曲邊梯形。下面討論曲邊梯形面積31第31頁第31頁對(duì)于多邊形面積，我們?cè)谥袑W(xué)就已經(jīng)會(huì)計(jì)算了，比如矩形面積 = 底高顯然，曲邊梯形面積不能用這個(gè)公式來計(jì)算。直與曲不變與變32第32頁第32頁磚是直邊長方體煙囪截面是彎曲圓“直磚”砌成了“彎圓”局部以直代曲33第33頁第33頁abxyoabxyo 即使曲邊梯形準(zhǔn)確面積我們不會(huì)計(jì)算，但是我們能夠用一些小矩

4、形來近似算出它面積。 （四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）從中能夠得到一個(gè)什么樣啟示？34第34頁第34頁小曲邊梯形底：小曲邊梯形高：小曲邊梯形面積：35第35頁第35頁 分割用任意一組分點(diǎn)：把 a, b 分成 n 個(gè)小區(qū)間 xi-1, xi i=1, 2, , n相應(yīng)地把曲邊梯形分為 n 個(gè)小曲邊梯形，其面積分別記為Si i=1, 2, , n（化整為零）36第36頁第36頁 近似代替在每個(gè)小區(qū)間 xi-1, xi 上任取一點(diǎn)i ，其中（曲轉(zhuǎn)化為直）于是小曲邊梯形面積37第37頁第37頁 求和（積零為整）大曲邊梯形面積38第38頁第38頁 取極限令若極限存在，則定義此極限值為曲邊梯形面積（直轉(zhuǎn)化為曲

5、）讓每個(gè)小區(qū)間長度趨于零再演示一下這個(gè)過程39第39頁第39頁定積分的演示1、分割 將a，b分割為n個(gè)小區(qū)間02、取介點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)xi3、局部以直代曲 每個(gè)小區(qū)間上曲線y=f(x)用直線段y=f(xi)代替4、作和：S=yx40第40頁第40頁定積分的演示1、分割 將a，b分割為n個(gè)小區(qū)間2、取介點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)xi3、局部以直代曲 每個(gè)小區(qū)間上曲線y=f(x)用直線段y=f(xi)代替4、作和：S=5、取極限 a byx41第41頁第41頁 求曲邊梯形面積表達(dá)了曲轉(zhuǎn)化為直、直轉(zhuǎn)化為曲辯證思想。這個(gè)計(jì)算過程，就是一個(gè)先微分后積分過程。也就是說，把曲邊梯形分割成許多小曲邊

6、梯形，在每個(gè)小曲邊梯形中，把曲邊當(dāng)作直邊，用這些小“矩形”面積和近似地表示本來大曲邊梯形面積，從而實(shí)現(xiàn)了局部曲轉(zhuǎn)化為局部直，即“以直代曲”。42第42頁第42頁 然后，再把分割無限加細(xì)，通過取極限，就使小矩形面積和，轉(zhuǎn)化為本來大曲邊梯形面積。這樣局部直又反過來轉(zhuǎn)化為整體曲。這種曲轉(zhuǎn)化為直，直轉(zhuǎn)化為曲，以及由此所反應(yīng)出來化整為零、積零為整思想辦法，是微積分乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)一個(gè)主要辦法。43第43頁第43頁F 即使是變力，但在很短一段間隔內(nèi)，F(xiàn)改變不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積思想，F(xiàn)(x)AB 再看一個(gè)變力做功問題。 設(shè) 質(zhì)點(diǎn) m 受力 作用，在變力F作用下，沿直線由 A 點(diǎn)

7、運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，求變力作功上一頁下一頁44第44頁第44頁 分割用任意一組分點(diǎn)：把 a, b 分成 n 個(gè)小區(qū)間 ti-1, ti i=1, 2, , n 近似代替在 ti-1, ti 上任取一點(diǎn)i ，于是在該小區(qū)間上力 作功 45第45頁第45頁 求和總功 取極限令若極限存在，則定義此極限值為力所做功46第46頁第46頁從上面例子看出，無論是求曲邊梯形面積或是計(jì)算變力作功，它們都?xì)w結(jié)為對(duì)問題一些量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限”，或者說都?xì)w結(jié)為形如 和式極限問題。我們把這些問題從詳細(xì)問題中抽象出來，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講定積分。由此我們能夠給定積分下一個(gè)定義 47第47頁第47頁二

8、、定積分定義定義: 在 a, b 內(nèi)任取一組分點(diǎn)將 a, b 分成 n個(gè)子區(qū)間i= xi-1, xi i=1, 2, , n 這些分點(diǎn)構(gòu)成a, b 一個(gè)分割，記為T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 記 xi = xi xi-1 ， 并稱為分割 T 模48第48頁第48頁稱此和式為 f 在 a, b 上一個(gè)積分和，也稱為黎曼（Riemann）和定義: 設(shè)函數(shù) f (x) 在 a, b 上有定義, 對(duì)a, b一個(gè)分割T = 1, 2, , n ，任取點(diǎn)i i , i=1, 2, , n ，作和49第49頁第49頁定義: 設(shè)函數(shù) f (x) 在 a, b 上有定義, 若任給 0

9、 ，總存在 0 ，使得 對(duì)a, b任何分割T = 1, 2, , n ，任意i i , i=1, 2, , n ，只要 |T| b 時(shí), 52第52頁第52頁曲線 y = f (x) 0，直線 x = a， x = b， y = 0 所圍成曲邊梯形面積可用定積分表示為變力作功問題可表示為53第53頁第53頁例 1 求在區(qū)間 0, 1 上，以拋物線 y = x2為曲邊曲邊三角形面積解由定積分幾何意義，有由于定積分存在，對(duì)區(qū)間 0, 1 取特殊分割54第54頁第54頁將區(qū)間 0, 1 等分成 n 等份, 分點(diǎn)為每個(gè)小區(qū)間長度取則有55第55頁第55頁56第56頁第56頁與區(qū)間及被積函數(shù)相關(guān)；B.與

10、區(qū)間無關(guān)與被積函數(shù)相關(guān) C.與積分變量用何字母表示相關(guān)；D.與被積函數(shù)形式無關(guān) 在 上連續(xù)，則定積分 值4.(B)中，積分上限是 積分下限是 積分區(qū)間是 2.(A) 及x軸所圍成曲邊梯形 面積，用定積分表示為 與直線 由曲線(B)舉例 2-2-2,20A3.定積分(A)57第57頁第57頁 三 定積分幾何意義.當(dāng) f (x) 0，定積分幾何意義就是曲線 y = f (x)直線 x = a， x = b， y = 0 所圍成曲邊梯形面積bAoxyay=f (x)S58第58頁第58頁當(dāng)函數(shù) f (x) 0 ， xa, b 時(shí) 定積分就是位于 x 軸下方曲邊梯形面積相反數(shù). 即oxyaby=f (

11、x)S59第59頁第59頁四、小結(jié)定積分實(shí)質(zhì)：特殊和式極限定積分思想和辦法：分割化整為零求和積零為整取極限準(zhǔn)確值定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3.定積分幾何意義及簡樸應(yīng)用60第60頁第60頁我們已經(jīng)利用定積分處理一些應(yīng)用問題計(jì)算, 如：變力沿直線所做功已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程曲邊梯形面積 面積元素abxyo61第61頁第61頁1.1 矢量基本運(yùn)算1.1.1標(biāo)量和矢量 電磁場中碰到絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地域分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述物理量稱為標(biāo)量， 比如， 電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。 事實(shí)上， 所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。 一個(gè)

12、有大小和方向物理量稱為矢量， 電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。比如， 矢量A能夠表示成 A=aA 其中， A是矢量A大小; a代表矢量A方向， a=A/A其大小等于1。 返回62第62頁第62頁 一個(gè)大小為零矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一個(gè)大小為1矢量稱為單位矢量（Unit Vector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、 z軸分量方向。 空間一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)互相垂直軸線上投影唯一地被擬定，如圖1-1所表示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P矢量r稱為位置矢量(Position Vector)，它在直角坐標(biāo)系中表示

13、為 r=axX+ayY+azZ 63第63頁第63頁圖1-1 直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)投影 64第64頁第64頁 X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上投影。 任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都能夠給出其三個(gè)分量。比如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、 az 能夠?qū)⑹噶緼表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A大小為A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 65第65頁第65頁1.1.2矢量加法和減法 矢量相加平行四邊形法則 ，矢量加法坐標(biāo)分量是兩矢量相應(yīng)坐標(biāo)分量之和，矢量加法結(jié)果仍是矢量 66第66頁第66頁1.1.3矢量乘積矢量乘積包括標(biāo)量

14、積和矢量積。 1） 標(biāo)量積任意兩個(gè)矢量A與B標(biāo)量積(Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量大小與它們夾角余弦之乘積，如圖1-2所表示， 記為 AB=AB cos 圖1-2 標(biāo)量積67第67頁第67頁比如，直角坐標(biāo)系中單位矢量有下列關(guān)系式： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意兩矢量標(biāo)量積，用矢量三個(gè)分量表示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz 標(biāo)量積服從互換律和分派律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC68第68頁第68頁 2） 矢量積 任意兩個(gè)矢量A與B矢量積（Vector Product）是一個(gè)矢量，矢量積大小等于兩個(gè)矢量大小與它們夾角正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B構(gòu)成平面， 如圖1-3所表示，記為 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）69第69頁第69頁 圖 1 - 3 矢量積圖示及右手螺旋 (a) 矢量積 (b) 右手螺旋70第70頁第70頁 矢量積又稱為叉積(Cross Product)，假如兩個(gè)