2022年溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題

1、溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分在每題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目規(guī)定的請(qǐng)將你覺(jué)得對(duì)的的答案填在答題卷的相應(yīng)位置1.若1a3，則A2a4B42aC2Da2.方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)3.如圖，拋物線交 x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，OBC30，則下列各式成立的是A B C D4.已知且，那么，的大小關(guān)系是A BC D5.如圖，已知等邊三角形的一條邊長(zhǎng)和與它一邊相切的圓的周長(zhǎng)相等，當(dāng)這個(gè)圓按箭頭方向從某一位置沿該三角形做無(wú)滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)，直至回到出發(fā)位置時(shí)，該圓自轉(zhuǎn)了圈，則A2 B3

2、C4 D6.已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為A B C D7.如圖，O與RtABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于點(diǎn)E，且DEBC已知AE2 eq r(2)，AC3 eq r(2)，BC6，則O的半徑是A3B4 C4 eq r(3) D2 eq r(3)8.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明做了一種梯形紙模板，測(cè)得其一底邊長(zhǎng)為40cm，高為8cm，兩腰長(zhǎng)分別為10cm和A404cm2 B365cm2 C284cm29.對(duì)于正整數(shù)n，符號(hào)n!123n，例如：3！1236，5！12345120，如果20！243290y7664x000，那么xyA1 B1 C2 D10.把數(shù)字1，2，3， ，9分別填入右圖的9個(gè)圈

3、內(nèi)，規(guī)定ABC和DEF的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)數(shù)之和等于18，共有種不同填法，則A4 B5 C6 D二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分請(qǐng)將答案填在答題卷的相應(yīng)位置11.已知，則 12.如圖，等腰直角ABC的腰長(zhǎng)為2將ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則線段AB掃過(guò)的面積是 13.若x=（13）（132）（134）（138）（13256），則x3的個(gè)位數(shù)字是 14.定義一種新的運(yùn)算“F”：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)成果為3n5，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)成果為（其中k是使為正奇數(shù)），反復(fù)運(yùn)算。例如n26，F(xiàn)F26F13F4411第1次第2次第3次那么當(dāng)n449時(shí)，第次“F”運(yùn)算的成果是 15.已知有關(guān)x的兩個(gè)一元二次方程：(a

4、1)x2(a22)x(a22a)0，(b1)x2(b22)x(b22b)0其二次項(xiàng)系數(shù)不相等且a，b均為正整數(shù)，若這兩個(gè)方程有一種公共根，則ab 16.若兩個(gè)正整數(shù)x，y相加時(shí)，得到的數(shù)是一種兩位數(shù)，且個(gè)位、十位數(shù)字相似；相乘時(shí)，得到的數(shù)是一種三位數(shù)，且個(gè)位、十位、百位數(shù)字相似，則xy 溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題答 題 卷選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分題號(hào)12345678910答案二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分11 ； 12 ； 13 ；14 ； 15 ； 16 ；三、解答題：本大題共5小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字闡明，證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié)17.（本題滿分10分）已知

5、有關(guān)的方程只有一種實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值。18.（本題滿分14分）如圖，直線與軸，軸分別相交于點(diǎn)B、C，通過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線（）求該拋物線的函數(shù)體現(xiàn)式；（）連結(jié)AC請(qǐng)問(wèn)在軸上與否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，祈求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)闡明理由19.（本題滿分14分）把26個(gè)完全相似的玻璃球分別裝在a、b、c、d、e五個(gè)袋子里，每個(gè)袋子里的球數(shù)不同且至少1個(gè)。用一臺(tái)電子稱稱重量，當(dāng)稱到不少于11個(gè)玻璃球時(shí)，超重警鈴就會(huì)響，否則不響如圖，當(dāng)、的狀態(tài)時(shí)，警鈴就響；的狀態(tài)時(shí)，警鈴不響。請(qǐng)按從小到大的順序?qū)懗鲅b入5個(gè)袋中玻璃球的

6、數(shù)量的所有組合，例如：（1、3、5、7、10），并闡明理由20.（本題滿分16分）把6cm10cm的長(zhǎng)方形沿水平線或豎直線分割成4個(gè)圖形，規(guī)定分割后的4個(gè)圖形互為相似或全等請(qǐng)分別在下列長(zhǎng)方形中用實(shí)線畫(huà)出4種不同的分割措施（翻轉(zhuǎn)后如果同另一種分割重疊的話，將21.（本題滿分16分）如圖，在中，AC=3，BC=4，延長(zhǎng)BC至D使得BD=2BC，設(shè)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B)，連結(jié)PD交直線AC于M點(diǎn)，過(guò)P、M、B三點(diǎn)做交直線AC于另一點(diǎn)N（）求證：BNPN；（）設(shè)的半徑為R，給出下列兩個(gè)結(jié)論：MN的長(zhǎng)度不變；的值不變。其中有且只有一種結(jié)論是對(duì)的的，請(qǐng)你判斷哪一種結(jié)論對(duì)的，證明對(duì)的的結(jié)論并求

7、出其值溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題答 題 卷選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分題號(hào)12345678910答案CBCDCDDBAC二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分11 1 ； 12 ； 13 3 ；14 8 ； 15 6 ； 16 55或77 ；三、解答題：本大題共5小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字闡明，證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié)17.（本題滿分10分）已知有關(guān)的方程只有一種實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值。解：題中方程可化為（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，由此得，此時(shí)方程有一種根，驗(yàn)證可知滿足題意；（2）當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，由此得若是方程的根，則原方程有增根，代入解得，此時(shí)方程的另一種根

8、，驗(yàn)證可知滿足題意； 若是方程的根，則原方程有增根，代入解得，此時(shí)方程的另一種根，驗(yàn)證可知滿足題意； 綜上，或或。18.（本題滿分14分）如圖，直線與軸，軸分別相交于點(diǎn)B、C，通過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線（）求該拋物線的函數(shù)體現(xiàn)式；（）連結(jié)AC請(qǐng)問(wèn)在軸上與否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，祈求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)闡明理由解：（）直線與軸相交于點(diǎn)B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 又拋物線過(guò)x軸上的A、B兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 M過(guò)點(diǎn)C，易知C， M又拋物線過(guò)點(diǎn)， 解得 ；（）連結(jié)PB，由，得，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，在中

9、，由點(diǎn)，易得，在等腰直角三角形中，由勾股定理，得 假設(shè)在軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與相似當(dāng)，時(shí)，即，的坐標(biāo)是 當(dāng)，時(shí)，即，的坐標(biāo)是 點(diǎn)Q不也許在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)Q符合題意，Q的坐標(biāo)為或19.（本題滿分14分）把26個(gè)完全相似的玻璃球分別裝在a、b、c、d、e五個(gè)袋子里，每個(gè)袋子里的球數(shù)不同且至少1個(gè)。用一臺(tái)電子稱稱重量，當(dāng)稱到不少于11個(gè)玻璃球時(shí)，超重警鈴就會(huì)響，否則不響如圖，當(dāng)、的狀態(tài)時(shí)，警鈴就響；的狀態(tài)時(shí)，警鈴不響。請(qǐng)按從小到大的順序?qū)懗鲅b入5個(gè)袋中玻璃球的數(shù)量的所有組合，例如：（1、3、5、7、10），并闡明理由解：根據(jù)題意，a、b、c、d、e

10、袋中裝的玻璃球的數(shù)量各不相似。a、b、c、d、e五個(gè)袋子里共裝有26個(gè)玻璃球，這26個(gè)玻璃球的重量應(yīng)是相似的，因此五個(gè)袋子的重量各不相似。用一臺(tái)天平稱重，當(dāng)稱到裝有11個(gè)玻璃球的袋子時(shí)，超重警鈴就會(huì)響，這一條件，應(yīng)理解為天平稱得的玻璃球個(gè)數(shù)是11或多于11個(gè)時(shí)，超重警鈴就會(huì)響。從給出的條件可知：比較（2）、（3）、（4）式可知，ab，ad。由（1）+（3），（1）+（4），（5）式可得：由上面的三個(gè)式子可知，b、d兩袋中球的數(shù)量是4或3或2或1個(gè)，但由于ab，ad，因此a袋中球的數(shù)量是2或1個(gè)，b、d兩袋中的球只能是4或3或2個(gè)。進(jìn)一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的數(shù)量只能是8或9

11、個(gè)。由此可列舉出符合題意的數(shù)組，分別是：（1、2、3、9、11）、（1、2、4、9、10）、（1、3、4、8、10）、（2、3、4、8、9）。20.（本題滿分16分）把6cm10cm的長(zhǎng)方形沿水平線或豎直線分割成4個(gè)圖形，規(guī)定分割后的4個(gè)圖形，它們互為相似或全等請(qǐng)分別在下列長(zhǎng)方形中用實(shí)線畫(huà)出4種不同的分割措施（翻轉(zhuǎn)后如果同另一種分割重疊的話，將解：（畫(huà)出其中任意4個(gè)即可） 21.（本題滿分16分）如圖，在中，AC=3，BC=4，延長(zhǎng)BC至D使得BD=2BC，設(shè)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B)，連結(jié)PD交直線AC于M點(diǎn)，過(guò)P、M、B三點(diǎn)做交直線AC于另一點(diǎn)N（）求證：BNPN；（）設(shè)的半徑為R，給出下列兩個(gè)結(jié)論：MN的長(zhǎng)度不變；的值不變。其中有且只有一種結(jié)論是對(duì)的的，請(qǐng)你判斷哪一種結(jié)論對(duì)的，證明對(duì)的的結(jié)論并求出其值（）證