第二講第一課時(shí)曲線的參數(shù)方程

1、第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程第一課時(shí)第一課時(shí)曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程問題：問題：一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的的速度作水平直線飛行速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？呢？即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開始即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開始投放物資？投放物資？ 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入問題：問題：一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處高處100m/s的速的速度作水

2、平直線飛行度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？如圖，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.因此因此,不易直接建立不易直接建立x,y所滿所滿足的關(guān)系式足的關(guān)系式. x表示物資的水平位移量，表示物資的水平位移量，y表示物資距地面的高度，表示物資距地面的高度，由于水平方向與豎直方向由于水平方向與豎直方向上是兩種不同的運(yùn)動(dòng)，上是兩種不同的運(yùn)動(dòng)， 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入oyxM(x,y)xy500o物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：物資投出機(jī)艙后

3、，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿）沿ox作初速為作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)反方向作自由落體運(yùn)動(dòng).在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中涉及到哪幾個(gè)變量？這些變量之間有在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中涉及到哪幾個(gè)變量？這些變量之間有什么關(guān)系？什么關(guān)系？t時(shí)刻，水平位移為時(shí)刻，水平位移為x=100t，離地面高度，離地面高度y，即：，即：y=500-gt2/2，2100 ,1500.2xtygt物資落地時(shí)，應(yīng)有物資落地時(shí)，應(yīng)有y=0，得得x1010m；即即500-gt2/2=0，解得，解得，t10.10s，因此飛行員在距離救援點(diǎn)水平距離約為因此飛行員在距離救援點(diǎn)水平距離約為10

4、10米時(shí)投米時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定位置放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定位置. 新課講授新課講授參數(shù)方程的概念：參數(shù)方程的概念： 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) x，y 都是某個(gè)都是某個(gè)變數(shù)變數(shù) t 的的函數(shù)函數(shù),( ),( ).xf tyg t 并且對于并且對于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M(x, y) 都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程組就叫做這條曲線那么方程組就叫做這條曲線的的參數(shù)方程參數(shù)方程， 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù) x, y 的的變數(shù)變數(shù) t 叫做參變數(shù)叫做

5、參變數(shù)，簡稱，簡稱參參數(shù)數(shù).相對于參數(shù)方程而言，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程程叫做普通方程. .參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x, y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù).例例1. 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)為參數(shù)) (1)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)M1(0，1)，M2(5，4)與曲線與曲線C的位置關(guān)系；的位置關(guān)系；(2)已知點(diǎn)已知點(diǎn)M3（6，a）在曲線）在曲線C上，求上，求a的值的值. 1232tytx解：解

6、：(1)把點(diǎn)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，解得代入方程組，解得t=0，所，所以以M1在曲線上在曲線上 124352tt把點(diǎn)把點(diǎn)M2的坐標(biāo)的坐標(biāo)(5,4)代入方程組，得到代入方程組，得到這個(gè)方程無解，所以點(diǎn)這個(gè)方程無解，所以點(diǎn)M2不在曲線不在曲線C上上 12362tat2)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)M3(6,a)在曲線在曲線C上，所以上，所以解得解得t=2, a=9 所以，所以，a=9. 例題講解例題講解)(212Ratatytx 為為參參數(shù)數(shù)，1. 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 , 點(diǎn)點(diǎn)M(5,4)在該曲線上在該曲線上.(1)求常數(shù)求常數(shù)a; （2）求曲線）求曲線C的普通方程的普通

7、方程. 課堂小練課堂小練為為參參數(shù)數(shù)）ttytx(3412 1.曲線曲線與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )BA.(1，4) B. (25/16, 0) C.(1, -3) D.(25/16, 0)(cossin為為參參數(shù)數(shù) yx所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是( )DA.(2，7) B.(1/3, 2/3) C.(1/2, 1/2) D.(1，0)例例2.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M作等速直線運(yùn)動(dòng)作等速直線運(yùn)動(dòng), 它在它在x軸和軸和y軸方向的速度分軸方向的速度分別為別為5和和12 , 運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)P(1,2), 求點(diǎn)求點(diǎn)M的軌跡參數(shù)的軌跡參數(shù)方程方程. tytx12

8、251解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M (x,y) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，得，依題意，得 例題講解例題講解(t為參數(shù)為參數(shù)) 新課講授新課講授參數(shù)方程的概念：參數(shù)方程的概念： 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) x，y 都是某個(gè)都是某個(gè)變數(shù)變數(shù) t 的的函數(shù)函數(shù),( ),( ).xf tyg t 并且對于并且對于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M(x, y) 都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程組就叫做這條曲線那么方程組就叫做這條曲線的的參數(shù)方程參數(shù)方程， 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù)

9、x, y 的的變數(shù)變數(shù) t 叫做參變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱，簡稱參參數(shù)數(shù).相對于參數(shù)方程而言，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程程叫做普通方程. .參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x, y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù).（4）驗(yàn)證這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）驗(yàn)證這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.參數(shù)方程求法參數(shù)方程求法: （2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)）選取適當(dāng)?shù)膮?shù);（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性

10、質(zhì), 物理意義物理意義, 建立建立點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式; 規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié)第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程第二課時(shí)第二課時(shí)圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程 問題：問題：圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？點(diǎn)的位置呢？ 問題：問題：圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位

11、置呢？點(diǎn)的位置呢？點(diǎn)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是轉(zhuǎn)過的角度是，坐標(biāo)是，坐標(biāo)是M(x, y)，設(shè)設(shè)|OM|=r，那么由三角函數(shù)定義，有，那么由三角函數(shù)定義，有cos,sinxyrrcossinx ryr(為參數(shù)為參數(shù))所以：圓心為原點(diǎn)半徑為所以：圓心為原點(diǎn)半徑為r 的圓的參數(shù)方程：的圓的參數(shù)方程：cos()sinxryr為參數(shù)其中參數(shù)其中參數(shù)的幾何意義是的幾何意義是OM0繞點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)的位置時(shí)OM0轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度M0)(sincos為參數(shù)為參數(shù) rbyrax ),(1baO圓心為圓心為 半徑為半徑為r 的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以一般地，同一條曲

12、線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍 探究新知探究新知1Oab解：解： x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程, (x+1)2+(y-3)2=1參數(shù)方程為參數(shù)方程為 sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))例例1 已知圓方程已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程將它化為參數(shù)方程.,)20 ,(sin3cos2)3 , 1(),223,2(),0 , 2(出它對應(yīng)的參數(shù)值出它對應(yīng)的參數(shù)值求求若在曲線上若在曲線上上上為參數(shù)為參數(shù)是否在曲線是否在曲線判斷點(diǎn)判斷點(diǎn) yxCBA 例題講解例題講

13、解題型題型1.圓的圓的普通方程化為參數(shù)方程普通方程化為參數(shù)方程 例例2 .如圖如圖,圓圓O的半徑為的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是是x軸軸上的定點(diǎn)，上的定點(diǎn)，M是是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程的軌跡的參數(shù)方程.yoxPMQxOP2cos62sin3cos ,sin22xy3cos ,()sin .xy為參數(shù)解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(x, y),則點(diǎn)則點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2cos,2sin).因此，點(diǎn)因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是的軌跡的參數(shù)方程是 例題講解例題講解題型題型2.參數(shù)法求軌跡參數(shù)

14、法求軌跡23AMAP 2(4cos12,4sin )32216xy1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)P是圓是圓 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)定點(diǎn)A(12, 0)， 點(diǎn)點(diǎn)M在線段在線段PA上，且上，且2|PM|=|MA|，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)在圓上運(yùn)動(dòng) 時(shí)，求點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的軌跡xOP解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(x, y),則點(diǎn)則點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(4cos,4sin).2|PM|=|MA|, 由題設(shè)由題設(shè)(x-12, y)=884cos ,sin33xy84cos ,3()8sin .3xy為參數(shù)因此，點(diǎn)因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是的軌跡的參數(shù)方程是yoxPMA2224cos4sin30(0)xy

15、RxRyRR變式變式1.求圓求圓的圓心的軌跡方程的圓心的軌跡方程. 例題講解例題講解33(1 2cos ) ( 2 2sin )15 6cos2sin5 2 10cos()(tan)3Sxy 所以maxmin52 10,52 10SS4)2()1(22 yxyxS 3例例3 已知已知x、y滿足滿足求求的最大值和最小值的最大值和最小值12cos ,()22sin .xy 為參數(shù)解：由已知圓的參數(shù)方程為解：由已知圓的參數(shù)方程為 例題講解例題講解題型題型3.最值問題最值問題cos2(sinxyyx3332.點(diǎn)點(diǎn)P(x, y)是曲線是曲線為參數(shù)為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則的最大值為的最大值為(

16、 )A.1 B.2 C. D.練習(xí)練習(xí)22(5)(4)xy2cossinxy1.P(x, y)是曲是曲(為參數(shù)為參數(shù))上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn),則則的最大值為的最大值為( )A36 B6 C26 D25D22xy為參數(shù)為參數(shù))上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn),則則2cos12sin1xy3.點(diǎn)點(diǎn)P(x, y)是曲線是曲線的最大值為的最大值為 .221.已知已知P(x, y)圓圓C：x2+y26x4y+12=0上的點(diǎn)上的點(diǎn). xy(1)求求 的最小值與最大值的最小值與最大值(2)求求xy的最大值與最小值的最大值與最小值A(chǔ)OP 2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(2, 0),P是是x2+y2=1上任一點(diǎn)上任一點(diǎn), 的平分線的平分

17、線交交PA于于Q點(diǎn)點(diǎn),求求Q點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡.作業(yè)作業(yè)第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程第三課時(shí)第三課時(shí)參數(shù)方程和普通方程互化參數(shù)方程和普通方程互化把它化為我們熟悉的普通方程，有把它化為我們熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; 于是于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了軌跡是什么就很清楚了 3cos ,()sin .xy為參數(shù)在例在例1中，由參數(shù)方程中，由參數(shù)方程直接判斷直接判斷點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡是什么并不方便，的軌跡是什么并不方便，一般地一般地, 可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；方程； 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式曲

18、線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.把參數(shù)方程化為普通方程：把參數(shù)方程化為普通方程： 新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 例例1.把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線什么曲線.11tx解解: (1)由由1 xt得得ty21代入代入) 1( 32xxy得到得到是以是以(1，1)為端點(diǎn)的一條射線；為端點(diǎn)的一條射線；)4sin(2cossin)2( x 2,2 x 2, 2 x所以所以 2

19、sin1cossin yx平方后減去平方后減去yx 2得到得到 例題講解例題講解1,(1)1 2.xtyt (t為參數(shù)為參數(shù))sincos ,(2)12sin2 .xy (為參數(shù)為參數(shù))sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x2（- 1x1）(3) x2- y=2（x2或或x- 2）練習(xí)練習(xí)1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域）求定義域. 課堂小練課堂小練參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方參數(shù)方程化為普通方程的過

20、程就是消參過程常見方法有三種：法有三種：1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)然后代入消去參數(shù)2.三角法：三角法：3.整體消元法：整體消元法： 根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征, 整體上消去整體上消去化參數(shù)方程為普通方程為化參數(shù)方程為普通方程為f(x,y)=0： 在消參過程中注意在消參過程中注意變量變量x、y取值范圍的一致性取值范圍的一致性，必須，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和和g(t)值域得值域得x、y的取值的取值范圍范圍. 歸納小結(jié)歸納小結(jié) 22)1(22tyttx 2221)3(ttyttx 221212)4(ttytx練習(xí)練習(xí)2.將下列參數(shù)方程化為普通方程將下列參數(shù)方程化為普通方程cos()cos21xy為參數(shù)(2) 課堂小練課堂小練普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化