第一組-二階段最小二乘講義

1、2021-2021學(xué)年高級計量經(jīng)濟學(xué)分組名單第一組：潘琳、王超、倪遠(yuǎn)棟、葉寅、李暢、吳超、卿劍、李珊、劉春梅、王巍、馬哲光、俞力群、田紀(jì)華題目：二階段最小二乘法2SLS內(nèi)容：適用的情況或條件估計原理步驟實例二階段最小二乘計量方法講義整理1.引例(引出問題和方法)例一：有關(guān)工資收入和教育水平、個人水平之間的關(guān)系問題考慮成年勞動者的工資方程中存在未觀測到的水平的問題.一個簡單的模型為：10g(wage)=P0+P1educ+P2abil+e,(1)其中e是誤差項.在某些假定下,如何用諸如IQ的代理變量代替水平,從而通過以下回歸可得到一致性估計量1og(wage)對educ,IQ進(jìn)行回歸然而,假定不

2、能得到適當(dāng)?shù)拇碜兞?或它不具備足以獲取一致性估計量所需的性質(zhì)).這樣一來,我們將abil放入誤差項中,留下來的就是簡單的回歸模型：10g(wage)=P0+P1educ+u,(2)其中u包含了abil°當(dāng)然,可以用OLS估計此方程,(1是,如果educ與abil(即educ與隨機誤差項u)相關(guān),即educ為內(nèi)生解釋變量,那么用OLS估計得到的Z劭I將是切的有偏、非一致性估計量.我們把簡單回歸模型寫成：y=p0+Px+u,(3)其中我們認(rèn)為x與u相關(guān)：Cov(x,u)；0.此時,假設(shè)我們能找到一個變量z,滿足兩個條件：一是與變量x存在高度相關(guān)關(guān)系,即Cov(z,x)#0.;二是與隨機

3、擾動項u不存在相關(guān)關(guān)系,即Cov(z,u)=0.;從遺漏變量的角度看,這意味著z應(yīng)當(dāng)對y無偏效應(yīng),也不應(yīng)當(dāng)與其它影響y的因素相關(guān),此時變量z就稱作為變量x的工具變量(IV),那么我們就利用工具變量z可以根據(jù)上述方程(3)來進(jìn)行估計,得到參數(shù)的無偏的一致估計,如勞動經(jīng)濟學(xué)家已在工資方程中使用的家庭背景變量作為教育的IV.例如,母親的教育(mothedud與孩子的教育是正相關(guān)的,這一點通過收集勞動者數(shù)據(jù)樣本并做educ對motheduc的簡單回歸便可以看出來,因此,motheduc滿足相關(guān)性條件,但是,母親的教育也可能與孩子的水平相關(guān)(通過母親的水平和可能通過孩子幼年所受的教養(yǎng)的質(zhì)量).另外,ed

4、uc的另一個IV選擇是成長過程中兄弟姊妹的數(shù)目(sibs).一般地說,較多的兄弟姊妹與較低的平均教育水平相聯(lián)系,而與個人水平的上下不存在直接關(guān)系,這樣,它就可以充當(dāng)educ的工具變量,進(jìn)而進(jìn)行工具變量發(fā)進(jìn)行估計,得到參數(shù)的無偏、一致估計.我們利用方程(3)：z與y之間的協(xié)方差為Cov(z,y)=：1Cov(z,x)Cov(z,u).現(xiàn)在,在Cov(z,u)=0與Cov(z,x)#0的假定下,我們可以解出3為：_Cov(z,y)Cov(z,x)給定一個隨機樣本,我們用對應(yīng)樣本量來估計總體的量.在分子和分母中約去樣本容量后,我們得到口1的工具變量(IV)估計量(instrumentalvariab

5、les(IV)estimator)：n'、(Zi-z)(yi-y)(ZiZ)(xiX)i1例二：逃課對測試成績的因果影響問題考慮逃課對期末測試平均成績的因果影響的問題.在一個簡單的回歸框架中,我們有score=P0+P1skipped+u,(4)其中,score是期末測試平均成績,skipped是該學(xué)期逃課的總數(shù)目.此時,在用OLS估計方程時,我們擔(dān)憂skipped可能與u中其它因素相關(guān)：比方,成績較好(無法觀測的能力變量)的學(xué)生可能逃課較少等情況,因而score對skipped的簡單回歸可能不會給我們一個對逃課的因果影響的好的估計,因此,我們需要找到一個好的工具變量進(jìn)行估計.什么可能

6、是skipped的好的IV?我們所需要的是對score無直接效應(yīng),且與學(xué)生水平不相關(guān)的IV,同時,該IV必須與skipped相關(guān).一個選擇是利用住宿區(qū)與教室之間的距離distance,這也許會增加逃課的可能性(由于惡劣的天氣、睡過頭等等).因而,skipped可能與distance正相關(guān)；這一點可通過skipped對distance的回歸并作一個t檢驗得以驗證.distance是否與u不相關(guān)？在簡單回歸模型(4)中,假設(shè)u中的一些因素不與distance相關(guān),那么,distance也許是skipped的一個好的IV,進(jìn)而能良好估計模型(4).如果學(xué)生水平有一個好的代理,例如以往學(xué)期的累積GPA

7、,IV法可能根本就不需要.問題總結(jié)：例子存在的共同問題：1 .在簡單回歸模型中存在遺漏重要變量問題,運用OLS估計導(dǎo)致其得到估計結(jié)果不一致.2 .遺漏變量沒有良好的代理變量情況下,會導(dǎo)致解釋變量與擾動項的存在相關(guān)關(guān)系,即出現(xiàn)內(nèi)生解釋變量情況,導(dǎo)致估計結(jié)果有偏.解決的可行方法：1 .在沒有良好代理變量情況下,通過尋找外生變量作為工具變量進(jìn)行估計,解決了內(nèi)生解釋變量導(dǎo)致的有偏估計情況,得參數(shù)的到無偏、一致估計.2 .二階段最小二乘簡單介紹(工具變量相關(guān)概念、使用的情況、解決的問題、主要的估計思想等)工具變量法：(1)由以上引例可以看出在解決內(nèi)生解釋變量問題時,通過需找一個滿足一定條件的外生變量,即

8、工具變量來獲取無偏的一致估計,故為工具變量法.(2)何為工具變量(IV):在簡單回歸方程y=P0+P1x+u,中,一個有效的工具變量應(yīng)滿足以下兩個條件：A.相關(guān)性：工具變量與內(nèi)生解釋變量相關(guān),即Cov(z,x)#0.B.外生性：工具變量與擾動項不相關(guān),即Cov(z,u)=0.現(xiàn)在我們來證實可得到的工具變量能夠用于進(jìn)行方程一致性參數(shù)估計.特別地,為了根據(jù)總體協(xié)方差寫出3,我們對方程兩邊求與z的協(xié)方差,得到：Cov(z,y)=：iCov(z,x)Cov(z,u).現(xiàn)在,在Cov(z,u)=0與Cov(z,x)#0的假定下,我們可以解出B1為：._Cov(z,y)Cov(z,x)注意到如果z與x不相

9、關(guān),即Cov(z,x)=0,該簡單代數(shù)式不成立.上式說明3是z、y之間的總體協(xié)方差除以z、x之間的總體協(xié)方差的商,這說明了Pi被識別.給定一個隨機樣本,我們用對應(yīng)樣本量來估計總體的量.在分子和分母中約去樣本容量后,我們得到腦的工具變量(IV)估計量(instrumentalvariables(IV)estimator):n(zi-z)(yi-y)?二1n.%(zi-z)(xi-x)i1給定x、y和z的樣本數(shù)據(jù),很容易獲得IV估計量.F.的IV估計量就為：悌0=y-僅ix,除了其中的斜率估計量Pi現(xiàn)在為IV估計量,它看起來就像OLS中的截距估計量傳統(tǒng)的工具變量法一般都通過匕階段最小二乘法&quo

10、t;(2SLS或TSLS)來實現(xiàn),顧名思義,就是通過做兩個回歸來完成估計過程.OLS第一階段：用內(nèi)生解釋變量對工具變量回歸,即x*z,得到擬合值？；OLS第二階段：用被解釋變量對第一階段回歸的擬合值進(jìn)行回歸,即y號父.二階段最小二乘法：在前一節(jié)中,我們假定有單一的內(nèi)生解釋變量(y2),和y2的一個工具變量.可往往我們有不只一個的外生變量,它們被排斥在結(jié)構(gòu)模型之外,且可能與y2相關(guān),這意味著它們是y2的有效的IV.在本節(jié)中,我們討論如何運用復(fù)工具變量.工具變量法作為矩估計方法,必須滿足矩法估計的階條件.一般的說,當(dāng)我們在回歸模型中有不只一個的內(nèi)生解釋變量時,在假設(shè)干復(fù)雜的情況下仍可能不能識別.但

11、是,我們可以容易地表述識別的一個必要條件,叫做階條件(ordercondition)o根據(jù)是否滿足階條件分為三種情況：A.不可識別：工具變量的個數(shù)小于內(nèi)生解釋變量的個數(shù)；B.恰好識別：工具變量的個數(shù)等于內(nèi)生解釋變量的個數(shù)；C.過度識別：工具變量的個數(shù)大于內(nèi)生解釋變量的個數(shù).以上介紹的工具變量法僅適用于恰好識別的情形,但在實際中存在多個內(nèi)生解釋變量和工具變量的情況,就會出現(xiàn)過度識別的情況,解決方法之一就是扔掉多余的工具變量,但這種方法不是有效的,由于丟掉的工具變量包含著有用的信息,導(dǎo)致估計的結(jié)果不充分,此時運用二階段最小二乘為有效估計.顯然,多個工具變量的線性組合仍然是工具變量,仍滿足工具變量的

12、兩條件,如果能生成工具變量的線性組合數(shù)等于內(nèi)生解釋變量個數(shù),那么又回到了恰好識別的情形.在球型擾動項的假定下,由二階段最小二乘法所提供的工具變量線性組合是所有線性組合中最漸進(jìn)有效的.所以能良好解決過度識別問題,使工具變量法最終得到有效地一致估計.3 .二階段最小二乘法估計的根本原理和主要步驟(重點思想和推到步驟)(1)估計的根本步驟：第一階段：將每個解釋變量x1,|,xk分別對所有L個工具變量Zi,Z2,川Zl作OLS回歸,得到擬合值為：x=PX1,x2=Px2,1II,Xk=Pxk其中,P三z(zz)z'為Z的投影矩陣.寫成矩陣形式,可以定義£=(*忌1陀)=P(xix2&

13、quot;|xk)=PX=Z(Z'Z),Z'X第二階段：由于寅是Zi,Z2,H|Zl的線性組合(參見第一階段回歸),故處恰好包含K個工具變量,使用寅為工具變量對原模型y=XP+6進(jìn)行工具變量法估計：?v=(£1)£丫因此,可以看出,可以將屏視為把y對父進(jìn)彳TOLS回歸而得到的,故名為上階段最小二乘.需要注意的是,第二階段回歸得到的殘差為62三y-£(52sls,而原方程殘差確是e三y-X用SLS,因此在進(jìn)行2SLS最好不要自己去進(jìn)行兩次手工回歸,而是直接使用軟件(如STATA)進(jìn)行回歸分析.將)？=Z(ZZ),ZX代入方程用v=(£

14、9;X)£y,可得到2SLS的最終表達(dá)式：3sls=(X'PX)X'Py=X'Z(Z'Z)Z'XX'Z(ZZ)Zy(2)二階段最小二乘相關(guān)檢驗：在使用工具變量法估計的時候,必須對工具變量的有效性進(jìn)行檢驗,否那么,導(dǎo)致估計結(jié)果不一致或估計量的方差過大.A.檢驗工具變量與解釋變量的相關(guān)性前面在使用工具變量進(jìn)行估計的時候,工具變臉必須與內(nèi)生解釋變量完全不相關(guān),否那么就無法使用工具變量法估計,如果僅僅微弱的相關(guān),成為假設(shè)工具變量,其后果類似于樣本容量較小,導(dǎo)致估計量性質(zhì)變得很差,統(tǒng)計推斷失效.判斷弱工具變量的方法之一為,在第一階段回歸中,x2=

15、xZ+z2'y2+e,檢驗原假設(shè)Ho:4=0",一個經(jīng)驗規(guī)那么,如果次檢驗的F統(tǒng)計量大于10,那么可拒絕存在弱工具變量的原假設(shè),不必?fù)?dān)憂弱工具變量問題.在多個內(nèi)生解釋變量的情況下,將有多個第一階段回歸,固有多個F統(tǒng)計量,此時運用最小特征值統(tǒng)計量STATA提供了最小特征值統(tǒng)計量的臨界值.B.檢驗工具變量的外生性舉例說明,假定我們有單一的被疑心的內(nèi)生變量,Yl=？0：.2.：2乙.：3Z2-U1,其中Zi和Z2是外生的.我們有另外兩個外生變量,Z3和Z4,它們不出現(xiàn)在方程中.我們在介紹簡單的工具變量估計量時,我們強調(diào)IV必須滿足兩個必需條件：它必須與誤差不相關(guān),與內(nèi)生解釋變量相關(guān)

16、.我們在相當(dāng)復(fù)雜的模型中已看到,如何判斷在誘導(dǎo)型回歸中是否能用一個t或F檢驗來檢驗第二個必需條件.我們聲稱第一個必需條件不能被檢驗,由于它涉及到IV與未觀測到的誤差之間的相關(guān).然而,如果我們有不只一個的工具變量,我們就能有效地檢驗它們中的一局部是否與結(jié)構(gòu)誤差不相關(guān).作為一個例子,在有另外兩個工具變量Z3和Z4的條件下,重新考慮方程.我們知道僅用Z3作為V2的IV,就能估計.給定IV估計值,我們就能計算殘差U1=?1？1y2-瑪乙-03z2°由于Z4在估計中根本沒用到,我們可以驗證Z4與U1在樣本中是否相關(guān).如果它們相關(guān),Z4不是y2的有效IV.當(dāng)然,這并沒有告訴我們Z3與5是否相關(guān)；

17、實際上,由于它是個有用的檢驗,我們必須假定z3與“不相關(guān).然而,如果z3和Z4是用相同的邏輯來選擇的例如母親的教育和父親的教育發(fā)現(xiàn)Z4與Ui相關(guān)將使人對用Z3作為IV產(chǎn)生疑心.由于Z3和Z4的角色可以交換,假設(shè)是假定Z4與Ui不相關(guān),我們也可以檢驗Z3與Ui是否相關(guān).我們該用哪個檢驗?zāi)?？結(jié)果是,我們對檢驗的選擇是無關(guān)緊要的.我們必須假定至少有一個IV是外生的.然后,我們可以對2SLS中所用的過度識別約束(overidentifyingrestrictions)進(jìn)行檢驗.根據(jù)我們的用意,過度識別約束的數(shù)目簡單地就是額外的工具變量的數(shù)目.假定我們只有一個內(nèi)生解釋變量.如果我們只有y2的單一個IV,

18、而沒有過度識別約束,也就沒什么可檢3的.如果我們有y2的兩個IV,如同前面的例子中那樣,那么我們有一個過度識別約束.如果我們有三個IV,那么有兩個過度識別約束,等等.檢驗過度識別約束是相當(dāng)簡單的.我們必須獲得2SLS殘差,然后做一個輔助回歸.檢驗(任意多個)過度識別約束(i)用2SLS估計結(jié)構(gòu)方程,獲得2SLS殘差冰.22(ii)將苗對所有外生變量回歸,獲得R,即Ri.a22(iii)在所有IV都與Ui不相關(guān)的虛擬假設(shè)下,nRi/q,其中q是模型之外的工具變量的數(shù)目減去內(nèi)生解釋變量的總數(shù)目.如果nRi2超過了X：分布中的(例如)5%臨界值,我們拒絕H.：所有工具變量都是外生的,并推斷出至少局部

19、的IV不是外生的.C.究竟該用OLS還是工具變量法：對解釋變量內(nèi)生性的檢驗當(dāng)解釋變量是外生的時,2SLS估計量不如OLS有效；正如我們已看到的,2SLS估計值會有非常大的標(biāo)準(zhǔn)誤.因此,檢驗一個解釋變量的內(nèi)生性是有用的,它說明了2SLS甚至是否必要.獲取這樣的檢驗相當(dāng)簡單.舉例說明,假定我們有單一的被疑心的內(nèi)生變量,yi=P0+PiY2+比乙+P3Z2+w,1其中乙和Z2是外生的.我們有另外兩個外生變量,Z3和Z4,它們不出現(xiàn)在方程1中.如果y2與Ui不相關(guān),我們該用OLS估計.對此我們?nèi)绾螜z驗?zāi)?？Hausman1978建議直接比擬OLS和2SLS估計值,判斷其差異是否在統(tǒng)計上顯著.畢竟,如果所

20、有變量外生,OLS和2SLS都是一致性的.如果2SLS與OLS的差異顯著,我們斷定y2必定是內(nèi)生的Zj保持外生性.計算OLS和2SLS,看估計值是否實際上有差異,這是個好主意.為了判斷差異是否在統(tǒng)計上顯著,用回歸來檢驗更容易.這是以估計y2的誘導(dǎo)型為根底的,此時誘導(dǎo)型為=冗0+冗1乙+2Z2+3Z3+JI4Z4+V2.2現(xiàn)在,由于各個Zj與U1不相關(guān),所以y2與U1不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)V2與U1不相關(guān)；這是我們希望檢驗的.寫成u1=每1V2+e,其中巳與丫2不相關(guān),且有零土!值.那么,U1與V2不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)d=0.檢驗這一點最容易的方法是將V2作為添加的回歸元包括在1中,做t檢驗.這么做唯一的問題

21、是：V2不能被觀測到,由于它是2中的誤差項.可是由于我們能用OLS估方ty2的誘導(dǎo)型,我們可以獲取誘導(dǎo)型殘差烏.因此,我們用OLS估計y1=P0+B1y2+324+P3z2+61V2+error3并用t統(tǒng)計量檢驗H0:自=0.如果我們以一個小的顯著水平拒絕H0,我們因v2與“相關(guān)推斷出y2是內(nèi)生的,進(jìn)而運用2SLS估計比OLS估計更有效.附：廣義距估計GMM在擾動項存在異方差或自相關(guān)情況下,廣義距估計GMM比二階段最小二乘2SL0更有效率,即GMMt于2SLG正如GLS之于OLS4 .軟件選擇和實例演示1軟件以及操作步驟：運用STATA進(jìn)行二階段最小二乘估計操作命令與步驟：主命令：ivregr

22、ess2slsdepvarvarlistlvarlist2=instlist,r其中,“depva的被解釋變量,"varlistl為外生解釋變量,"varlist2為內(nèi)生解釋變量,而“instlist為了具變量,“成示使用異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差.檢驗命令:A.相關(guān)性檢驗:estatfirststageallforcenonrobust該命令將顯示與弱工具變量有關(guān)的第一個階段回歸統(tǒng)計量及臨界值.“allT示顯示每個內(nèi)生解釋變量的統(tǒng)計量而非僅僅是所有內(nèi)生變量綜合的統(tǒng)計量.“forcenonrobust示即使在進(jìn)行工具變量法時使用了穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差,也仍然允許計算“estatefirstst

23、age中的統(tǒng)計量.B.外生性檢驗過度識別檢驗：estatoveridC.解釋變量內(nèi)生性檢驗：豪斯曼檢驗regyx1x2estimatesstoreols存儲OLS估計的結(jié)果ivregress2slsyx1x2=z1z2假設(shè)“x2為內(nèi)生變量estimatesstoreiv存儲2sls的結(jié)果hausmanivols,constantsigmamore根據(jù)存儲的結(jié)果進(jìn)行豪斯曼檢驗2:實例演示:最高貴的復(fù)仇是寬容.有時寬容引起的道德所動比懲罰更強烈.君子賢而能容罷,知而能容愚,博而能容淺,粹而能容雜.寬容就是忘卻,人人都有痛苦,都有傷疤,動輒去揭,便添新創(chuàng),舊痕新傷難愈合,忘記昨日的是非,忘記別人先前

24、對自己的指責(zé)和謾罵,時間是良好的止痛劑,學(xué)會忘卻,生活才有陽光,才有歡樂.不要輕易放棄感情,誰都會心疼；不要沖動下做決定,會懊悔一生.也許只一句分手,就再也不見；也許只一次主動,就能挽回遺憾.世界上沒有不爭吵的感情,只有不肯包容的心靈；生活中沒有不會生氣的人,只有不知原諒的心.感情不是游戲,誰也傷不起；人心不是鋼鐵,誰也疼不起.好緣分,憑的就是真心真意；真感情,要的就是不離不棄.愛你的人,舍不得傷你；傷你的人,并不愛你.你在別人心里重不重要,自己可以感覺到.所謂華美的轉(zhuǎn)身,都有旁人看不懂的情深.人在旅途,肯陪你一程的人很多,能陪你一生的人卻很少.誰在默默的等待,誰又從未走遠(yuǎn),誰能為你一直都在？這世上,別指望人人都對你好,對你好的人一輩子也不會遇到幾個.人心只有一顆,能放在心上的人畢竟不多；感情就那么一塊,心里一直裝著你其實是難得.動了真情,情才會最難割；付出真心,心才會最難舍.你在誰面前最蠢,就是最愛誰.其實戀