可線性化的回歸

1、遠(yuǎn)東二中：李建章遠(yuǎn)東二中：李建章敘利亞戰(zhàn)爭陪葬品敘利亞戰(zhàn)爭陪葬品還算和平的苦難童年還算和平的苦難童年利比亞戰(zhàn)爭陪葬品利比亞戰(zhàn)爭陪葬品受苦的阿富汗童工內(nèi)亂中的敘利亞死難者如今的敘利亞城鎮(zhèn)v會(huì)將非線性回歸模型經(jīng)過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，進(jìn)而進(jìn)行回歸分析v學(xué)習(xí)本節(jié)后還應(yīng)初步會(huì)將簡單的非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))【課標(biāo)要求】【核心掃描】v當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，要借助于散點(diǎn)圖，與已學(xué)過的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較，找到合適的函數(shù)模型，利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，從而使問題得以解決1可線性化的回歸分析v(1)確定變量確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)

2、報(bào)變量為y；v(2)畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；v(3)變量置換變量置換：通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；v(4)分析擬合效果分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或相關(guān)系數(shù)等來判斷擬合效果；v(5)寫出非線性回歸方程寫出非線性回歸方程2解決非線性回歸問題的方法及步驟：復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1122211()()()( )nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxn xaybx11niixxn11niiyyn其中其中，復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 線性相關(guān)系數(shù)線性相關(guān)系數(shù)r及性質(zhì)：及性質(zhì)： 值越大，變量的線性

3、相關(guān)程度就越高；值越大，變量的線性相關(guān)程度就越高； 值越接近于值越接近于0，線性相關(guān)程度就越低。，線性相關(guān)程度就越低。rr，其中，其中 。niiniiniiiynyxnxyxnyxr122122111r 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，兩變量時(shí)，兩變量正相關(guān)正相關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，兩變量時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，兩變量時(shí)，兩變量線性不相關(guān)線性不相關(guān)。0r0r0r1 1、下表是隨機(jī)抽取的、下表是隨機(jī)抽取的8 8對(duì)母女的身高數(shù)據(jù)對(duì)母女的身高數(shù)據(jù), ,試試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討y y與與x x之間的關(guān)系之間的關(guān)系母親身高母親身高女兒身高女兒身高 cm154 157 158 159 160 161 162

4、163 cm155 156 159 162 161 164 165 166練習(xí)練習(xí)154 1571638159.25x 155 1561668161y 82222218( )1541638 159.2559.5iixx 82222218( )1551668 161116iiyy 818154 155163 1668 159.25 16180iiix yxy 解解：，963.01165.5980r， 所以：所以： xy, a b所以可以認(rèn)為所以可以認(rèn)為與與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)的的 關(guān)系線性回歸模型關(guān)系線性回歸模型y=a+bx中中 81822181.345,8iiiiix

5、yxybxx53.191aybx xy345. 1191.53線性回歸方程為線性回歸方程為新課講解新課講解 下表按年份給出了下表按年份給出了19812001年我國出口貿(mào)易年我國出口貿(mào)易量（億美元）的數(shù)據(jù)，根據(jù)此表你能預(yù)測(cè)量（億美元）的數(shù)據(jù)，根據(jù)此表你能預(yù)測(cè)2008年我年我國的出口貿(mào)易量么？國的出口貿(mào)易量么？ 從散點(diǎn)圖中觀察，數(shù)據(jù)與直線的擬合性不好，從散點(diǎn)圖中觀察，數(shù)據(jù)與直線的擬合性不好，若用直線來預(yù)測(cè)，誤差將會(huì)很大。若用直線來預(yù)測(cè)，誤差將會(huì)很大。而圖像近似指數(shù)函數(shù)，呈現(xiàn)出非線性相關(guān)性。而圖像近似指數(shù)函數(shù)，呈現(xiàn)出非線性相關(guān)性。分析：分析： 考慮函數(shù)考慮函數(shù) 來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，將其轉(zhuǎn)來擬合數(shù)據(jù)

6、的變化關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)：化成線性函數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)： bxaey bxay lnln 即線性回歸方程，記即線性回歸方程，記1981年為年為x=1，1982年為年為x=2，變換后的數(shù)據(jù)如下表：變換后的數(shù)據(jù)如下表：設(shè)設(shè) ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)?，acyuln,lnbxcu對(duì)上表數(shù)據(jù)求線性回歸方程得：對(duì)上表數(shù)據(jù)求線性回歸方程得： 即：即：,138. 0,056. 5bcxu138. 0056. 5xueeey138. 0056. 5由此可得：由此可得： ，曲線如圖：，曲線如圖：xueeey138. 0056. 5這樣一來，預(yù)測(cè)這樣一來，預(yù)測(cè)2008年的出口貿(mào)易量就容易多了。年的出

7、口貿(mào)易量就容易多了。將下列常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。將下列常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。作變換作變換,ln,ln,lnacxvyu得線形函數(shù)得線形函數(shù) 。 bvcu)0, 1(ba)0, 1(ba1.冪函數(shù)：冪函數(shù)：baxy 2. 指數(shù)曲線：指數(shù)曲線：bxaey 作變換作變換,ln,lnacyu得線形函數(shù)得線形函數(shù) 。 bxcu)0,(ba0)0,(ba03. 倒指數(shù)曲線：倒指數(shù)曲線：xbaxy )0,(ba0)0,(ba0作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？ 思考交流思考交流4. 對(duì)數(shù)曲線：對(duì)數(shù)曲線：xbayln0b0b作怎樣的

8、變換，得到線形函數(shù)的方程如何？作怎樣的變換，得到線形函數(shù)的方程如何？ 下表是一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：下表是一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 試分析試分析 與與 之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若有，求若有，求 與與 之間的回歸方程。之間的回歸方程。yyxx1動(dòng)手做一做動(dòng)手做一做小結(jié)小結(jié) 非線性回歸方程：非線性回歸方程： 對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過變換，將非對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，可以通過變換，將非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，然后用線性回歸的方法進(jìn)線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，然后用線性回歸的方法進(jìn)行研究，最后再轉(zhuǎn)換為非線性回歸方程。行研究，最后再轉(zhuǎn)換為非線性回歸方程。 常見非線性回歸模型：常見非線性回歸模

9、型：1.冪函數(shù)：冪函數(shù)：baxy 2. 指數(shù)曲線：指數(shù)曲線：bxaey 3. 倒指數(shù)曲線：倒指數(shù)曲線：xbaxy 4. 對(duì)數(shù)曲線：對(duì)數(shù)曲線：xbaylnv例1在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程x0.250.5124y1612521t4210.50.25y1612521v由散點(diǎn)圖也可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：v 求回歸方程，應(yīng)注意首先對(duì)樣本點(diǎn)是否線性相關(guān)進(jìn)行檢驗(yàn)，因?yàn)閷?duì)于任何一組樣本點(diǎn)，都可以根據(jù)最小二乘法求得一個(gè)線性回歸方程，但這條線性回歸方程是否較好地反映了樣本點(diǎn)的分布呢，顯然不一定，特別是對(duì)于

10、不呈線性相關(guān)的回歸模型可以通過散點(diǎn)圖或求相關(guān)系數(shù)r首先作出是否線性相關(guān)的檢驗(yàn)，然后再選擇恰當(dāng)?shù)幕貧w模型進(jìn)行模擬.1234bbbxx利用變量代換將下列函數(shù)模型化為線性函數(shù)模型：（）y=ax ；（ ）y=ae ；（ ）y=ae ；（ ）y=a+交b流與探討：lnx.自主交流：自主交流：常見非線性回歸方程的回歸模型常見非線性回歸方程的回歸模型曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)yaxbcln a vln x uln y ucbv 曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)yaebxcln a uln y ucbx 自主交流：自主交流：ucbv 自主交流：自主交流：曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線

11、性函數(shù)yabln xvln x uy uabv 自主交流：自主交流：【解題流程】 v 電容器充電后，電壓達(dá)到100 V，然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式UAebt(b0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：v試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程v(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題)【練習(xí)】 t/s0123456789 10U/V 100 755540 30 20 15 10 10 55v對(duì)UAebt兩邊取對(duì)數(shù)得ln Uln Abt，令yln U，aln A，xt，則yabx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表：解： x012345678910y4.6

12、4.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6v(1)畫出散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)v(2)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程yabx)v(3)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)v(4)得出結(jié)果后分析是否有異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等建立回歸模型的基本步驟：課時(shí)小結(jié)：課時(shí)小結(jié)：課后反思：（1）本節(jié)課探討可線性化的回歸分析，重點(diǎn)是會(huì)將四種非線性回歸模型經(jīng)過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，進(jìn)而進(jìn)行回歸分析；（2）由于學(xué)生對(duì)必修1中的函數(shù)模型有些遺忘，所以需要對(duì)常見函數(shù)模型進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，可以將四種模

13、型的圖像畫在黑板上，特別是將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)模型的方法與技巧需要作探討交流，以加深學(xué)生的印象；（3）可線性化的回歸分析在現(xiàn)實(shí)生活中有重要的實(shí)際意義，因此指導(dǎo)學(xué)生掌握可線性化的回歸分析方法非常重要；（4）本節(jié)課以學(xué)生動(dòng)手操作為主，教師引導(dǎo)即可，因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系，未做練習(xí)。例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度與溫度x有關(guān)有關(guān),現(xiàn)收集現(xiàn)收集了了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 解解:1):1)作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖; ;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來很好地近似。這些

14、散點(diǎn)更像是集中用線性回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。解解: : 令令 則則z=bx+a,(a=lncz=bx+a,(a=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出出x x與與z z 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 z =lnyz =lnyx x和和z z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c c x x1 1用用y y = =c c e e模模型型; ;1)x x2121232325252727292932323535z z1.941.946 62.

15、392.398 83.043.045 53.173.178 84.14.19 94.744.745 55.785.784 42) 2) 用用 y=cy=c3 3x x2 2+c+c4 4 模型模型, ,令令 , ,則則y=cy=c3 3t+ct+c4 4 , ,列出列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t t與與y y 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 2 2t t = = x x散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184110241024

16、 12251225y y7 71111212124246666115115325325( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3( (2 2) )2 2y y= = e e, ,y y= = 0 0. .3 36 67 7x x - -2 20 02 2. .5 54 4( (1 1) )( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3i ii ii i( (2 2) )( (2 2) )2 2i ii ii ie e= = y y - -y y= = y y - -e e, , ( (i i = =1 1, ,2 2. . . .7 7) )e e= = y y - -y y= = y y - -0 0. .3 36 67 7x x + +2 20 02 2. .5 54 4, ,殘殘差差表表編號(hào)編號(hào)1 12 23 34 45 56 67 7x x212123232525272729