第二章恒定電場(chǎng) 2012-11

1、1) 靜電場(chǎng)存在于電介質(zhì)中，而恒定電場(chǎng)靜電場(chǎng)存在于電介質(zhì)中，而恒定電場(chǎng) 存在于導(dǎo)體中存在于導(dǎo)體中(包括良導(dǎo)體和不良導(dǎo)體包括良導(dǎo)體和不良導(dǎo)體).2) 前者場(chǎng)強(qiáng)處處為零并且為等位體；后者前者場(chǎng)強(qiáng)處處為零并且為等位體；后者 (庫侖庫侖)場(chǎng)強(qiáng)一般不為零并且為非等位體場(chǎng)強(qiáng)一般不為零并且為非等位體.3) 電場(chǎng)為恒定電場(chǎng)的條件為任何閉合面電場(chǎng)為恒定電場(chǎng)的條件為任何閉合面 電流量對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零。電流量對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零。 1) 1) 都是由電荷所激發(fā)的不隨時(shí)間變化的電場(chǎng)都是由電荷所激發(fā)的不隨時(shí)間變化的電場(chǎng) ; 前者電荷靜止而后者勻速運(yùn)動(dòng)前者電荷靜止而后者勻速運(yùn)動(dòng), 都與時(shí)間無關(guān)都與時(shí)間無關(guān)2) 對(duì)外界形成電場(chǎng)有相

2、似之處。對(duì)外界形成電場(chǎng)有相似之處。不同之處相同之處0E0E第二章 恒定電場(chǎng)I 是通量是通量, ,并不反映電流在每一點(diǎn)的流動(dòng)情況。并不反映電流在每一點(diǎn)的流動(dòng)情況。 1.1.電流面密度電流面密度2.1.2 2.1.2 恒定電場(chǎng)的基本物理量恒定電場(chǎng)的基本物理量電流密度電流密度 電流密度是一個(gè)矢量，在各向同性線性導(dǎo)電媒電流密度是一個(gè)矢量，在各向同性線性導(dǎo)電媒質(zhì)中，它與電場(chǎng)強(qiáng)度方向一致。質(zhì)中，它與電場(chǎng)強(qiáng)度方向一致。SJ dIS電流電流2.1.12.1.1電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度2.1 2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流圖圖2.1.1 2.1.1 電流面密度矢量電流面密度矢量圖圖2.1.2 2.1.2 電流

3、面密度電流面密度AdtdqI 單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量，簡稱為電流。單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量，簡稱為電流。分布的體電荷以速度分布的體電荷以速度v 作勻速運(yùn)動(dòng)形成的電流作勻速運(yùn)動(dòng)形成的電流。vJ2mA亦稱電流密度亦稱電流密度注意：注意：1) 電流密度電流密度的符號(hào)通常用：的符號(hào)通常用： 2) 電荷密度電荷密度的符號(hào)通常用：的符號(hào)通常用：,JKI,圖圖2.1.3 電流元示意電流元示意 同軸電纜的外導(dǎo)體同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線密度分布；視為電流線密度分布； 交變電場(chǎng)的集膚效應(yīng)交變電場(chǎng)的集膚效應(yīng)，即高頻情況下，電流，即高頻情況下，電流 趨於表面分布，可用電流線密度表示。趨於表面分布，可用

4、電流線密度表示。 媒質(zhì)的磁化媒質(zhì)的磁化，其表面產(chǎn)生磁化電流可用電，其表面產(chǎn)生磁化電流可用電 流線密度表示流線密度表示, ,如圖示；如圖示；圖2.1.3 電流線密度及其通量工程意義：工程意義：圖圖2.1.4 2.1.4 媒質(zhì)的磁化電流媒質(zhì)的磁化電流2. 2. 電流線密度電流線密度 mAvK 分布的面電荷在曲面上以速度分布的面電荷在曲面上以速度 v 運(yùn)動(dòng)形成的電流。運(yùn)動(dòng)形成的電流。 dlIln)(eK電流電流e e 是垂直于是垂直于dl，且通過，且通過dl與曲面相切的單位矢量與曲面相切的單位矢量n n分布的線電荷沿著導(dǎo)線以速度分布的線電荷沿著導(dǎo)線以速度 v 運(yùn)動(dòng)形成的電流運(yùn)動(dòng)形成的電流I I =

5、= 。v 3 3、線電流、線電流恒定電場(chǎng)中幾個(gè)主要公式恒定電場(chǎng)中幾個(gè)主要公式 1)1) 歐姆歐姆(Ohm)定理定理 :2) 焦耳焦耳-愣次定律愣次定律:3) 歐姆定理和焦耳定理的微分形式如下歐姆定理和焦耳定理的微分形式如下： EJdVdddUdIdtdWdP)(SJlEIRU SlR/RIUIP2EJEndSdSdldlEndSRdUndSdIJ)/(2EEJdVdPp恒定電場(chǎng)的基本方程恒定電場(chǎng)的基本方程5. 電流連續(xù)方程（電荷連續(xù)方程）電流連續(xù)方程（電荷連續(xù)方程） 6. 電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路積分電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路積分 7. 上面兩個(gè)積分方程可以推出上面兩個(gè)積分方程可以推出恒定電場(chǎng)仍然是一個(gè)保守場(chǎng)恒定電

6、場(chǎng)仍然是一個(gè)保守場(chǎng). 且電流線方程滿足且電流線方程滿足 0SJdS，特別地ledl)EE(ldlE00, 0EJ0J把作用于單位正電荷上的局外力把作用于單位正電荷上的局外力Fe / q設(shè)想為一等效場(chǎng)強(qiáng)，稱設(shè)想為一等效場(chǎng)強(qiáng)，稱為局外場(chǎng)強(qiáng)為局外場(chǎng)強(qiáng)Ee ,而電源的電動(dòng)勢(shì)而電源的電動(dòng)勢(shì) 就可表示為就可表示為 dlEe3.3.不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件 (1) (1) 兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件 0SdJSnnJJ210ldlEttEE21對(duì)對(duì)線性各向同性線性各向同性媒質(zhì)媒質(zhì)， 111EJ222EJ2121tgtg注意注意: 靜電場(chǎng)的

7、邊界銜接條件仍然成立靜電場(chǎng)的邊界銜接條件仍然成立. (2) (2) 良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體分界面上的邊界條件良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體分界面上的邊界條件 PJ2n21J12121o901o02例如例如，鋼的電導(dǎo)率 1 = 5106 S/m，周圍土壤的電導(dǎo)率2 = 10-2 S/m，1 = 89，可知，2 8。良導(dǎo)體表面可近似看作為等位面(3) (3) 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件 02nJ01nJ01nE1121/tttJEE因?yàn)閷?dǎo)體的電導(dǎo)率 1 很大，而理想介質(zhì)電導(dǎo)率為0.02nE很小。E2nJ2tE2t導(dǎo)體導(dǎo)體(4) (4) 兩種有損電介質(zhì)分界面上的兩種有損電介質(zhì)分界面

8、上的邊界條件邊界條件 PJ2J12, 21, 1nnJJ21nnEE2211nnDD12nnEE1122nJ22121121-3-1 有恒定電流通過兩種不同的導(dǎo)體媒質(zhì)有恒定電流通過兩種不同的導(dǎo)體媒質(zhì)(介電常數(shù)和介電常數(shù)和電導(dǎo)率分別是電導(dǎo)率分別是 和和 )的分界面的分界面. 問若要使兩種電解問若要使兩種電解質(zhì)分界面處的電荷面密度為零質(zhì)分界面處的電荷面密度為零, 則應(yīng)該滿足何條件則應(yīng)該滿足何條件?11, 22,12120恒定電場(chǎng)的邊值問題恒定電場(chǎng)的電位方程恒定電場(chǎng)的電位方程:恒定電場(chǎng)的邊界銜接條件恒定電場(chǎng)的邊界銜接條件:0002EEJEEnn2211213-2 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 導(dǎo)電媒質(zhì)中的

9、恒定電場(chǎng)導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)( (電源外電源外) ) 介質(zhì)中的靜電場(chǎng)介質(zhì)中的靜電場(chǎng)( ( = 0= 0處處) ) 只要兩者對(duì)應(yīng)的邊界條件相同，則恒定電流場(chǎng)中電位只要兩者對(duì)應(yīng)的邊界條件相同，則恒定電流場(chǎng)中電位 、電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度E E和電流密度和電流密度J Jc c 的分布將分別與靜電場(chǎng)中的電位的分布將分別與靜電場(chǎng)中的電位 、電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度E E和電位移矢量和電位移矢量D D的分布相一致。的分布相一致。 0/ ;dUE dlEdE U d 0/dUE dl EdE U d dUED/JEU d()/dxE dlU d x d ()/dxE dlU dx dDSSdDdsqSSJSSdJISdU

10、Sq/dUSI/圖圖2-7 同一種介質(zhì)中的靜電比擬同一種介質(zhì)中的靜電比擬 圖圖2-8 不同介質(zhì)中的靜電比擬不同介質(zhì)中的靜電比擬 成立條件成立條件332211/電容與電導(dǎo)的比擬公式電容與電導(dǎo)的比擬公式根據(jù)上面公式，更加一般地可得：根據(jù)上面公式，更加一般地可得：兩式相比，得兩式相比，得lSlSlSlSl dESdEl dESdJUIGl dESdEl dESdDUQCGC圖圖2-9 恒定電場(chǎng)中鏡像法恒定電場(chǎng)中鏡像法 (a) (b) (c)I,I”對(duì)比對(duì)比P43頁公式頁公式思考思考: P90 2-5 如果導(dǎo)電媒質(zhì)不均勻如果導(dǎo)電媒質(zhì)不均勻, 媒質(zhì)中的電位是否媒質(zhì)中的電位是否滿足方程滿足方程 ? P91

11、 2-12 在電流密度不為零的地方在電流密度不為零的地方, 電荷體密度是電荷體密度是否可以等于零？否可以等于零？ 02電導(dǎo)及其計(jì)算1.1. 電導(dǎo)電導(dǎo)的定義的定義： 電阻是它的倒數(shù)： 2. 電導(dǎo)的求法電導(dǎo)的求法: 1) 已知電流已知電流, 按照按照 2) 已知電壓已知電壓, 按照按照 3) 從拉普拉斯方程求解從拉普拉斯方程求解. 4) 滿足靜電比擬條件滿足靜電比擬條件, 可以使用可以使用靜電比擬公式靜電比擬公式.UIG/IUR/GUEJIUEJIG EJIG 注意注意1: 下面幾何體可以直接用電流強(qiáng)度下面幾何體可以直接用電流強(qiáng)度I表示表示J: 1) 平行板平行板; 2) 同心圓柱同心圓柱; 3)

12、 同心球；同心球；注意注意2 2: : 它們與第一章相應(yīng)幾何體的場(chǎng)強(qiáng)公式對(duì)比它們與第一章相應(yīng)幾何體的場(chǎng)強(qiáng)公式對(duì)比. .圖圖2-11 需要注意幾種常見幾何圖形中電流密度表達(dá)需要注意幾種常見幾何圖形中電流密度表達(dá) 例例2.5.12.5.1 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長度為，長度為 , ,中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為 。l解法一解法一 直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法設(shè)設(shè)l2IJEl2IJI電導(dǎo)電導(dǎo)12RRl2UIGln絕緣電阻絕緣電阻12RRl21G1Rln解法二解法二 靜電比擬法靜電比

13、擬法由靜電場(chǎng)解得由靜電場(chǎng)解得,ln12RRl2C則根據(jù)則根據(jù)GC關(guān)系式得關(guān)系式得,ln12RRl2G同軸電纜電導(dǎo)同軸電纜電導(dǎo)12RRl21Rln絕緣電阻絕緣電阻2112ln22RRRRlIdlIdUlE圖2.5.1 同軸電纜橫截面同軸電纜例例2.5.22.5.2 求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)，已知給定求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)，已知給定 。0U,;00時(shí)時(shí)， 01222200U,0 方程通解方程通解為為 ，代入邊界條件代入邊界條件，可得，可得21CC電流密度電流密度eEJ0U電流電流1200ln)()(21RRhUhdUdISRReeSJ電導(dǎo)電導(dǎo))(lnmSRRhUIG120eeE00,)(UU電位函數(shù)電位函數(shù)

14、解：取圓柱坐標(biāo)系，解：取圓柱坐標(biāo)系， ，邊值問題：邊值問題：)(圖2.5.2 弧形導(dǎo)電片2-4-2 半徑為半徑為a的長直圓柱導(dǎo)體放在無限大的導(dǎo)體平板上的長直圓柱導(dǎo)體放在無限大的導(dǎo)體平板上方方, ,圓柱軸線距離平板的距離為圓柱軸線距離平板的距離為 h，空間充滿導(dǎo)電率為，空間充滿導(dǎo)電率為 的不良導(dǎo)體的不良導(dǎo)體. 若導(dǎo)體的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于若導(dǎo)體的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 , ,求圓柱和平板求圓柱和平板間對(duì)應(yīng)截面單位長度的電阻間對(duì)應(yīng)截面單位長度的電阻. )45(lnPahbahbU課本解解: 設(shè)電軸與圓柱幾何軸線重合設(shè)電軸與圓柱幾何軸線重合, 依據(jù)經(jīng)典比擬原理依據(jù)經(jīng)典比擬原理, 先求電容先求電容C.設(shè)圓柱帶有線電

15、流設(shè)圓柱帶有線電流 ，則兩圓柱，則兩圓柱之間電壓為之間電壓為22ahbGRahbahbGahbahbUC1)()(ln2)()(ln201. 1. 深埋球形接地器深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考慮地面影響解：深埋接地器可不考慮地面影響, ,其電流場(chǎng)可其電流場(chǎng)可與無限大區(qū)域與無限大區(qū)域 的孤立圓球的電流場(chǎng)相似。的孤立圓球的電流場(chǎng)相似。)(2.5.2 2.5.2 接地電阻接地電阻圖2.5.3深埋球形接地器 接地電阻接地電阻 安全接地與工作接地的概念安全接地與工作接地的概念接地器電阻接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）土壤電阻（接地電阻以

16、此電阻為主）解法一解法一 直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法法2r4IJI解法二解法二 靜電比擬法靜電比擬法24rIJEaIdrrIUa442aR41GC,a4C,a4GaR412. 2. 直立管形接地器直立管形接地器解：解： 考慮地面的影響，可用鏡像法考慮地面的影響，可用鏡像法。實(shí)際電導(dǎo)實(shí)際電導(dǎo),212GUIG即dl 4l21Rln,4ln4dllC 由靜電比擬法由靜電比擬法 圖2.5.4 直立管形接地器 )(lndl2dl4l4G則則,GC3. 3. 非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。圖2.5.5 非深埋的球形接地器00000021)11(412)211(41)2(44RRRRRhhRRhIRIU時(shí)，當(dāng)為保護(hù)人畜安全起見為保護(hù)人畜安全起見OUU （危險(xiǎn)電壓取（危險(xiǎn)電壓取40V)40V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，在電力