2020年中考數(shù)學專題復習：有理數(shù)的相關概念

1、注：數(shù)軸的定義包含三層涵義： 第一層涵義是說數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延2020 年中考數(shù)學人教版專題復習：有理數(shù)的相關概念.教學內容：有理數(shù)的相關概念1. 有理數(shù)的分類.2什么叫數(shù)軸，怎樣正確地畫出一條數(shù)軸；如何把有理數(shù)在數(shù)軸上表示出來.3. 絕對值的意義.4. 有理數(shù)的大小比較.知識要點:1. 有理數(shù)(1) 向東和向西、買進和賣出、零上和零下、收入和支出、運進和運出等，都具有相反的意義.其中每一對量中的兩個量都是具有相反意義的量.一般地，對于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為正的，并在表示這個量的前面放上一個“ + ”(讀作“正”)來表示；把與意義相反的量規(guī)定為負的，并

2、在表示這個量的前面放上一個“-”(讀作“負”)來表示.(2) 0 既不是正數(shù)，也不是負數(shù).正整數(shù)整數(shù) 0正有理數(shù)(3)有理數(shù)負整數(shù)也可以這樣：有理數(shù) 零正分數(shù)負有理數(shù)分數(shù)倍負分數(shù)(4) 只有符號不同的兩個數(shù)，我們稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù) 互為相反數(shù).0 的相反數(shù)規(guī)定為 0.2. 數(shù)軸一般地，在數(shù)學中人們用畫圖的方式把數(shù)“直觀化”，通常用一條直線上的點表示數(shù),這條直線叫做數(shù)軸.女口. -6 -5 -4 -3 -2 -101 23 4 56(1)在直線上任取一個點表示數(shù)0,這個點叫做原點；(2) 規(guī)定直線上從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負方向；(3) 選取適當

3、的長度為單位長度.伸；第二層涵義是說數(shù)軸有三要素一一原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；第三層涵 義是說原點的選定、正方向的選取、單位長度大小的確定， 都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的. 所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來.正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示.3.一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a 的點與原點的距離叫做數(shù) a 的絕對值，記作丨 a | ._ I I I I m I 1 I I I I沖-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0 的絕對值是 0.(1) a 是正數(shù)時，|

4、a | =_ ;(2) a 是 0 時，| a | =_ ;(3) a 是負數(shù)時，| a | =_ .4.兩個有理數(shù)如何比較大小在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，于是：(1) 正數(shù)大于 0, 0 大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；(2) 兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.-5-3 -20256注：異號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對值.三重點難點：重點有三個：一是有理數(shù)的分類；二是相反數(shù)、絕對值、數(shù)軸等相關的內容；三是有理 數(shù)比較大小.難點有：比較兩個負數(shù)的大??；從分類討論的角度去認識“已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)”的二重性.【典型例題】例 1.下列說法正確的是(

5、)A. 整數(shù)、分數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B. 有理數(shù)包括正數(shù)和負數(shù)C. 正整數(shù)都是整數(shù)、整數(shù)都是正整數(shù)D. 0 是整數(shù)，也是自然數(shù)分析：A 分類時有重復，應改為整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，B 有遺漏，應改為有理數(shù)包括:正有理數(shù)、0、負有理數(shù)在 C 中正整數(shù)和整數(shù)在有理數(shù)系中屬不同的等級，不是兩個相同 的概念，應改為：正整數(shù)都是整數(shù)，但整數(shù)不是正整數(shù).只有D 是正確的.解：D評析：數(shù)的范圍擴大到有理數(shù)后， 注意數(shù)的分類方法，特別是 0 的歸屬.0 既不是正數(shù), 也不是負數(shù)；整數(shù)包括正整數(shù)、0、負整數(shù)，所以 0 是整數(shù)，當然也是有理數(shù).例 2.指出數(shù)軸上 A、B、C、D、E、F 各點分別表示什么數(shù)？F E

6、D C B A-1-1- 1-A- _I-a-*-1*I-1- a-6 -5 -4 -3-2 -101234 5 6分析：根據(jù)各點距原點多少個單位長度；在原點的左邊為負數(shù)，在原點的右邊為正數(shù)， 在原點的是“零”.解：A 表示 4; B 表示 2.5; C 表示 1; D 表示 0; E 表示一 1.5; F 表示一 3.評析：找出數(shù)軸上的點對應的有理數(shù)的步驟是：確定點與原點的位置關系（負左，右正，零原點）；確定點距原點的距離.例 3.下列各數(shù)哪些是正數(shù)，哪些是負數(shù)？5125 一土 0, 0.56, - 3, - 25.8, ,- 0.0001 , + 2, 600 75分析：首先確定我們熟悉的

7、大于 0 的數(shù)，即正數(shù)，然后再觀察帶有“-”號的數(shù)，看“-” 號后的部分是否大于 0,因為“正數(shù)的前面加上負號便是負數(shù)” .特別注意：0 不是正數(shù)，也 不是負數(shù).125解：正數(shù)有：5, 0.56, + 2;負數(shù)有：-二，3, - 25.8, - 0.0001 , - 60057評析：分類要做到“不重復，不遺漏”.例 4.已知 a = -5,1a | = | b |,貝 U b 的值等于（）A. + 5 B. - 5 C. 0 D. 5分析：因為 a= - 5,所以| a |= 5,所以| b|= 5,所以 b = 5.解：D評析：本題常見的思維誤區(qū)是由| a | = | b |推出 a = b

8、,錯選 B.事實上，由| a | =Ib |,可得 b = a,所以 b= a 或 b=- a，即 b = 5 或 b =- 5.例 5.預計 21 世紀初的某一年，以下六國的服務出口額比上一年的增長率如下表:美國德國英國中國日本意大利3.4%0.9%5.3%2.8%7.3%7.3%貝 U 以上六國服務出口額的增長率由高到低的順序中，排在第三位的國家是_分析：本題所列的這些有理數(shù)有正數(shù)也有負數(shù)，比較大小時，要先將正數(shù)和負數(shù)分類，然后分別將每一類用v”連接起來，最后把連接好的正數(shù)放在右邊，把連接好的負數(shù)放在左邊，7.3%v5.3%V 3.4%v0.9%V2.8%v7.3%.解：德國評析：兩個負數(shù)

9、的大小比較可以用求絕對值的方法來進行，也可以用數(shù)軸來比較， 用絕對值比較兩個數(shù)的大小的步驟：先求各數(shù)的絕對值，比較絕對值的大小，根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”比較原數(shù)的大小.例 6.已知：絕對值小于 a ( a 0)的整數(shù)有 9 個.(1) a 是什么整數(shù).(2) 求這 9 個整數(shù)的絕對值的和.分析：從絕對值的定義入手：“一個數(shù) a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a 的點與原點的距離”.畫出數(shù)軸，從特例出發(fā)，展開探究.IIITI1IIII.-6 -5 -4 -3 -2 -101 234561絕對值小于 1 的數(shù)在1 和 1 之間，整數(shù)只有 02絕對值小于 2 的數(shù)在2 和 2 之間，整數(shù)只有 0

10、, 13絕對值小于 3 的數(shù)在3 和 3 之間，整數(shù)只有 0, 1, 24絕對值小于 4 的數(shù)在4 和 4 之間，整數(shù)只有 0, 1 , 2, 35絕對值小于 5 的數(shù)在5 和 5 之間，整數(shù)只有 0, 土 1 , 2, 3，土 4從上面的探究我們已經(jīng)知道，當a 為 5 時，滿足條件的整數(shù)有 9 個.解：(1 )滿足條件的整數(shù) a 為 5(2) 這 9 個整數(shù)是：0, 土 1，土 2，土 3，土 4故它們的絕對值的和為：丨 0 丨+丨 11+121+13 丨+丨 4| + | 1 丨+丨一 2 | +I -3| + | 4|=20評析：絕對值的定義是依據(jù)數(shù)軸給出的， 因此，在研究絕對值的有關問

11、題時，可以利用 數(shù)軸來幫助思考，使問題通過圖形直觀化.這種利用數(shù)形結合來研究問題的思想人們稱之為 數(shù)形結合思想.女如:| x|v5,轉化為幾何意義是有理數(shù) x 在數(shù)軸上表示的點到原點的距離小于5,這時的 x 就在一 5 和 5 之間.-6 -5 -4 -3 -2 -10 123456又如：| x | 5，這時的 x 為 x5 或 xv 5.-6 -5 -4 -3 -2 -10 123456【方法總結】1. 通過本節(jié)的學習我們要掌握整數(shù)、分數(shù)、正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)的區(qū)分方法，體會符號化在數(shù)學問題中的重大意義，理解把實際問題轉化為數(shù)學問題來解決的轉化思想.2. 引入數(shù)軸后，把有理數(shù)轉化為數(shù)軸上的點的

12、數(shù)形結合的方法.3. 已知| x |= 3，求 x.我們采用分類討論的方法求解，當x0 時，x= 3;當 xv0 時,x= 3.【模擬試題】（答題時間：45分鐘）一.選擇題1. 規(guī)定正常水位為 0m，高于正常水位 0.5m 時，記作+ 0.5 米，下列說法錯誤的是 （）A.高于正常水位 1.5m 記作+ 1.5m B.低于正常水位 1.5m 記作一 1.5mC. 1 m 表示比正常水位低 1m D. + 2m 表示比正常水位低 2m2. 正整數(shù)集合和負整數(shù)集合合在一起，構成的數(shù)的集合是（）A.整數(shù)集合B.有理數(shù)集合C.自然數(shù)集合D.非零整數(shù)集合3. 下列各式中，不成立的是（）A. | 3 |

13、= 3 B. | 3 |= 3 C. | 3 | = | 3 | D. | 3 | = 314. 在 0, 2, 1 , $這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. 0B. - 25零是（）A.最大的負整數(shù)B.最小的負整數(shù) C.最小的自然數(shù) D.以上都不對*6.如果兩個數(shù)的絕對值相等，這兩個數(shù)（A.相等C.相等或互為相反數(shù)*7.數(shù)軸上點 A 到原點的距離是11A53B.38.下列說法正確的是（）A.在 0 和+ 1 之間沒有正數(shù)C.在一 1 和+ 1 之間沒有負數(shù)*9.下面是關于有理數(shù)的敘述：1有理數(shù)分為正有理數(shù)和負有理數(shù)兩部分；2有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)兩部分；3有理數(shù)分為正數(shù)、負數(shù)和零三部分；4有理數(shù)分

14、為正分數(shù)、負分數(shù)、正整數(shù)、負整數(shù)和零五部分;5有理數(shù)分為正整數(shù)、負整數(shù)和零三部分.其中正確的有（）*10.文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊 20m處，玩具店位于書店東邊 100m 處，小明從書店沿街向東走了 40m，接著又向東走了 60m , 此時小明的位置在（）.填空題B. 互為相反數(shù)D.都是 01 一5，點 A 表示的數(shù)是（）1 1C. 53 或53D.不能確定B.在 0 和+ 1 之間的有理數(shù)有無窮多個D.在一 1 和+ 1 之間的有理數(shù)只有0A. 1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個A.文具店B.玩具店C.文具店西邊 20m D.玩具店東邊60

15、m2. 在電視上看到的天氣預報中，綿陽王朗國家級自然保護區(qū)某天的氣溫為“一1.如果把順時針轉60記作+ 60,那么逆時針轉30記作5C” ,表(9)負有理數(shù)集：；示的意思是_.33. 絕對值等于 4 的數(shù)是_, _ 的絕對值等于它本身.4. 絕對值小于 4 的整數(shù)是_.5. 數(shù)軸上到原點的距離為2 的點所表示的數(shù)是_ .6. 寫出一個比一 3 小的數(shù)_ .*7. 一個數(shù)的絕對值的相反數(shù)等于它本身，這個數(shù)是 _.*8.數(shù)軸上有三點 A、B、C,它們分別是一 3,1 ,2，則此三點到原點的距離之和是 _三解答題1. 用正、負數(shù)表示下面各組具有相反意義的量，并指出它們的分界點.(1) 零上 10C與

16、零下 5C；(2) 高出海平面 100m 與低于海平面 200m；(3) 收入 8 元，支出 6 元.2. 工商部門抽查了一些 500g 包裝的白糖，檢查的記錄如下：10, 15, 13 , 20, 18, 15, 31, 24, 25, 5, 14, 9.你估計這里的正、負數(shù)表示什么？從這些數(shù)據(jù)中， 你能獲得哪些信息？20, 0.08 , - 23, 4.5 , - 3, 0, 1, 3.14, - 3, + 5.(1)整數(shù)集：;(2)正整數(shù)集：;(3)負整數(shù)集：;(4)分數(shù)集：;(5)正分數(shù)集：;(6)負分數(shù)集：;3.把下列各數(shù)分別填入相應的括號：14(7)有理數(shù)集：;(8) 正有理數(shù)集:

17、(9)負有理數(shù)集：；4. 已知有理數(shù) a 在數(shù)軸上的對應點為 A,將點 A 向左平移 3 個單位長度后，再向右平移 2 個單位長度得到點 B,點 B 對應的數(shù)是一 1 有理數(shù) a 是多少？*5.比較數(shù)的大?。?118(1)刁和一 0.28(2)| 不 | 與一(+ -)7129*6.在數(shù)軸上點 A 表示 7,點 B、C 所表示的數(shù)互為相反數(shù)，且 C 與 A 間的距離為 2,求點 B、C 對應的數(shù).試題答案一. 選擇題1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. C 7. C 8. B 9. C 10. A二. 填空題3331. 30 2.該地氣溫為零下 5C3. ；(或填“3或；”)

18、，正數(shù)和零(或填“非負數(shù)”)4444. 3, 2 , 1, 0, 1, 2, 3 5. 2 6. 4 (答案不唯一)7.負數(shù)或零 8. 6三. 解答題1.(1)+ 10C,5C,它們的分界點是 0C(2)+ 100m, 200 m,分界點是海平面，用 0 表示(3)+ 8 元，一 6 元，它們的分界點是不收入也不支出，用0 表示.2. 正數(shù)表示包裝超過 500g，負數(shù)表示包裝少于 500g .一共抽查了 12 包白糖，其中不足500g 的有 8 包，超過 500g 的只有 4 包，不足秤的約占 67%，且個別不足秤的達到31g,是嚴重的缺斤少兩現(xiàn)象.3.(1 )整數(shù)集： 20, 3, 0, 1,+ 5;(2) 正整數(shù)集：20,+ 5;(3) 負整數(shù)集： 3, 1;(4)分數(shù)集： 0.08, 23, 4.5, 3.14, 3;33(5) 正分數(shù)集：4.5, 3.14;(9)負有理數(shù)集：；14(6) 負分數(shù)集：-0.08, - 2, 3;14(7)有理數(shù)集:20, 0.08, 23, 4.5, 3, 0, 1 , 3.14, 3, + 5;(8) 正有理數(shù)集： 20, 4.5