吉林長(zhǎng)春普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)三數(shù)學(xué)文試題

1、長(zhǎng)春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)（文科）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選才i題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘,其中第n卷22題-24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2 .選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 .請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀第I卷、選

2、擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）1 .已知集合A=x1wxw1,B=x0wxw2,則AB=A.-1,0B.-1,2C.0,1D.（-二,1U2,二）2 .設(shè)復(fù)數(shù)z=1十i（i是虛數(shù)單位），則2=zA.1-iB.1iC.-1-iD.-1i3 .已知a=1,b=5/2,且a_Lb,則|a+b|為A.2B.3C.2D.222.224 .已知ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=b+c-bc,bc=4,則ABC的面積為A.1B.1C.3D.225 .x<2>x-3x+2<0成立

3、的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件226.已知雙曲線y=1（a>0）的離心率為J2,則a的值為a1-a1 21:37.2.2.3.3閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序.若輸出的則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是A.n=6C.n<68.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為三視圖，則該多面體的體積為1,粗線畫出的是某多面體的9.32A.3B.64323C.3函數(shù)f(x)=2cos(x十中)(。#0)對(duì)任意x都有A. 2或0B. -2或2C.0nf(x)T4D.2或064D.3x-4y+4<010.在平面直角坐標(biāo)系中，若P(x,y)滿足2x+y-10&

4、lt;0,則x+2y的最大值是、5x-2y+2>0A.2B.8C.14D.1611 .已知拋物線C:y2干4x的焦點(diǎn)為F,直線y=J3(x1)與C交于A,B(A在x軸上方)兩點(diǎn).若AF=mFB,則m的值為A.3B.3C.2D.312 .對(duì)定義在0,1上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱為M函數(shù)：(i)對(duì)任意的x0,1,恒有f(x)>0;(ii)當(dāng)x1>0,x2>0,x1+x2w1時(shí)，總有f(x1+x2)>f(為)+f(x2)成立.則下列三個(gè)函數(shù)中不是M函數(shù)的個(gè)數(shù)是f(x)=x2f(x)=x2+1f(x)=2x1A.0B.1C.2D.3第n卷本卷包括必考題和

5、選考題兩部分，第13題-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題-24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.一1.313.函數(shù)y=-sinx+=一cosx（xw0,）的單倜遞增區(qū)間是22214 .將高一9班參加社會(huì)實(shí)踐編號(hào)為：1,2,3,，48的48名學(xué)生，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知5號(hào)，29號(hào)，41號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一名學(xué)生的編號(hào)是.15 .已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在0,十無）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，則不等式f（x2）>0的解集是.16 .底面是正多邊形，頂點(diǎn)在

6、底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-ABCD,該四棱錐的體積為4-2,則該半球的體積為3&三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17 .（本小題滿分12分）99等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1+a7=9,S9=.2求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;，一1一3設(shè)bn=，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求證：下一2Sn418 .（本小題滿分12分）某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投10次,投中的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班65798乙班48977從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，甲、乙兩個(gè)

7、班哪個(gè)班成績(jī)更穩(wěn)定（用數(shù)字特征說明）；在本次訓(xùn)練中，從兩班中分別任選一個(gè)同學(xué)，比較兩人的投中次數(shù)，求甲班同學(xué)投中次數(shù)高于乙班同學(xué)投中次數(shù)的概率.19 .（本小題滿分12分）如圖，在四錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，/DAB=60"PDL平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E,F分別為為AB和PD中點(diǎn).求證：直線AF/平面PEC;求三棱錐P-BEF的表面積.AEB20.（本小題滿分12分）22已知橢圓C:今+4=1（a>b>0）的上頂點(diǎn)為（0,2）,且離心率為ab求橢圓C的方程；證明：過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)Q（x0,y0）的切線方程為x0x+y0y=r2；從橢圓C上一

8、點(diǎn)P向圓x2+y2=1引兩條切線，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M,N兩點(diǎn)時(shí)，求MN的最小值.21 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3ax2,awR.若a=1,過點(diǎn)(1,0)作曲線y=f(x)的切線l,求l的方程；若曲線y=f(x)與直線y=x1只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.請(qǐng)考生在22,23,24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.22 .(本小題滿分10分)選彳41:幾何證明選講如圖所示，AB為圓O的直徑，CB,CD為圓O的切線，D為切點(diǎn).,求證：AD/OC;若圓O的半徑為2,求ADOC的值.做答時(shí)，用B

9、,在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為'x=3+2cos9y=-4+2sin823 .(本小題滿分10分)選彳%4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；已知A(2,0),B(0,2),圓C上任意一點(diǎn)M(x,y),求AABM面積的最大值.24 .(本小題滿分10分)選彳45:不等式選講已知a,b都是正數(shù)，且a#b,求證：a3+b3aa2b+ab2；已知a,b,c都是正數(shù)，求證:2,2,2222abbcca,>abc.abc長(zhǎng)春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評(píng)分參考說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參

10、考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分）1. C2,A3.B4.C5.A6.B7.C8,D9.B10.C11.D12,B簡(jiǎn)答與提示：1 .【命題意圖】本小題主要考查集合的計(jì)算，是一道常規(guī)問題【試

11、題解析】CAQB=x-1<x<1Qx0<x<2=x0<x<1,故選C.2 .【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，對(duì)考生的運(yùn)算求解能力有一定要求.一,22【試題解析】A由=11,故選A.z1i3 .【命題意圖】本小題主要考查平面向量的的位置關(guān)系以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，另外本題也對(duì)考生的分析判斷能力進(jìn)行考查.222【試題解析】B因?yàn)閍_Lb,所以ab=0,于是由a+b=|a+2ab+|b=3,于是可求得a+b=5故選B.4 .【命題意圖】本小題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積的求法，對(duì)學(xué)生的推理論證能力和數(shù)形結(jié)合思

12、想提出一定要求【試題解析】C由a2=b2+c2bc,可彳#A=601則所求面積S='bcsinA=J3,2故選C.5 .【命題意圖】本小題通過二次不等式的解法來考查充分必要條件，是一道經(jīng)典題【試題解析】A由x23x+2<0解得1<x<2,再根據(jù)已知條件易知選A.6 .【命題意圖】本小題是一道簡(jiǎn)單題，考查雙曲線離心率的表達(dá)式，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【試題解析】B由雙曲線的離心率為e=-=-=4i,則a=滅,故選B.aa27 .【命題意圖】本小題主要通過程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)算法思想的理解與剖析.11111-【試題斛析】C.一+'=因

13、此應(yīng)選擇n=6時(shí)滿足24612而n=8時(shí)不滿足條件n<6,故選C.8 .【命題意圖】本小題主要考查立體幾何中的三視圖問題，并且對(duì)考生的空間想象能力及利用三視圖還原幾何體的能力進(jìn)行考查，同時(shí)考查簡(jiǎn)單幾何體的體積公式【試題解析】D由三視圖可知，該多面體是一個(gè)四棱錐，且由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂直，長(zhǎng)度都為4,.其體積為留，故選D.39 .【命題意圖】本小題結(jié)合函數(shù)的對(duì)成性來考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不但要求考生對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)有著深刻的認(rèn)識(shí)，更重要的是對(duì)基本抽象函數(shù)的表達(dá)有著充分的認(rèn)知.ITTT【試題解析】B由f(2L+x)=f(工_x)可知函數(shù)圖像關(guān)于直線x=二對(duì)稱，則在X=44

14、44TT處取得最值，所以f(二)=2,故選B.410 .【命題意圖】本小題主要考查二元一次不等式組所表示的可行域的獲取以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是線性規(guī)劃的一種簡(jiǎn)單應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求【試題解析】C根據(jù)線性規(guī)劃的方法可求得最優(yōu)解為點(diǎn)(2,6),此時(shí)x+2y的值等于14,故選C.11 .【命題意圖】本小題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】D將y=v3(x1)聯(lián)立，解得xA=3,xB=1，,2/3y=4x3因?yàn)樗o直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且其準(zhǔn)線為x=-1,所以A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,據(jù)拋物線定義可有AF

15、=3FB,結(jié)合已知條件即可確定，故選D.312.【命題意圖】本小題通過函數(shù)的運(yùn)算與不等式的比較，另外也可以利用函數(shù)在定義域內(nèi)的變化率、函數(shù)圖像的基本形式來獲得答案，本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】B(i)在0,1上，三個(gè)函數(shù)都滿足；(ii)x10,x20,x+x2M1；222對(duì)于,f(x1+x2)-f(x1)+f(x2H=(x1+x2)-(x+x2)=2x1x2之。，滿足；對(duì)于,f(x1x2)-f(x1)f(x2)=(xx2)21-(x121)(x221)=2x1x2-1<0,不滿足.對(duì)于，f(x1x2)一f(x1)f(x2)=(2""

16、-1)-(2%12x2-1)=2%2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1)>0,滿足；故選B.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)4、2二13.0,-14.1715.(-二,1U3,二)16.簡(jiǎn)答與提示：13.【命題意圖】本小題主要考查輔助角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求取，屬于基本試題.1 .3.,二、【試題解析】-y=-sinx+cosx=sin(x+)，2 235二二二二.函數(shù)的增區(qū)間為2kn,2kn+(k=Z),又x=0,增區(qū)間為0,一.662614 .【命題意圖】本小題主要考查系統(tǒng)抽樣的基本概念，屬于概念題，也是考生必須準(zhǔn)備的簡(jiǎn)單題.【試題解析】

17、根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，所取的4個(gè)樣本的編號(hào)應(yīng)成等差數(shù)列，故所求編號(hào)為17.15 .【命題意圖】本小題主要考偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像的平移變換等，同時(shí)對(duì)考生的數(shù)形結(jié)合思想.【試題解析】由已知x2之1或x2E1,解集是（*,1U3,M）.16 .【命題意圖】本小題通過對(duì)球的內(nèi)接幾何體的特征考查三角函數(shù)的計(jì)算，對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題.【試題解析】設(shè)所給半球的半徑為R,則棱錐的高h(yuǎn)=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA=J2R,所以其體積2R3=42,則R3=2以，33于是所求半球的體積為V=2-R3=-.33三、解答題17 .

18、（本小題滿分12分）【命題意圖】本小題主要考查有關(guān)于數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，其中包括數(shù)列基本量的求取，以及利用裂項(xiàng)求和等內(nèi)容，屬于一道中檔題，對(duì)考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求.2a1【試題解析】解：（I）設(shè)數(shù)列an的公差為d,則由已知條件可得：彳9al6d=936d二99，解得a132,于是可求得an2n1d-1(n)因?yàn)镾nn(n2)Tn-2(12121，故bnn(n2)1111)_(u二3n343丁3一，所以TnA.24-1(12n1卜5n12)12分18 .【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，其中包括方差的求法、基本事件概率的求取等內(nèi)容.本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力

19、.【試題解析】解：（1）兩個(gè)班數(shù)據(jù)的平均值都為7,甲班的方差s2(6-7)2+(5-7)，(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2o=2,乙班的方差s；(4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)214一二一，5因?yàn)閟2<s2,甲班的方差較小，所以甲班的成績(jī)比較穩(wěn)定6分（2）甲班1到5號(hào)記作a,b,c,d,e,乙班1到5號(hào)記作1,2,3,4,5,從兩班中分別任選一個(gè)同學(xué)，得到的基本樣本空間為建=a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5,d1,d2,d3,d4,d5,e1,e2,e3,e4,e5夏由25個(gè)基本事件組成，這

20、25個(gè)是等可能的；將“甲班同學(xué)投中次數(shù)高于乙班同學(xué)投中次數(shù)”記作A,則A=a1,b1,c1,d1,d2,d4,d5,e1,e4,e5,A由10個(gè)基本事件組成,所以甲班同學(xué)投中次數(shù)高于乙班同學(xué)投中次數(shù)的概率為10225519.【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面的平行關(guān)系、空間12分幾何體表面積的求法等【試題解析】解：（1）.本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求證明：作FM心D交PC于M.點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，F(xiàn)M1Jcd21AEAB=FM2.AF平面PEC,.,直線AF平面PEC.,AEMF為平行四邊形,.AF/EM,(6分)(2)連結(jié)ED可知ED_LAB,PA

21、_L平面ABC'D:PA_AB二平面ABC'DDE_1AB產(chǎn)ABPEAB_L平面F=AB_LP,EAJBFE，一1一由此SPEF=PFF2C1fL-SPBF=PFBD2ED11.3T*=FE平面.38'S|_PBESLBEF111二一1PEBEJ2EF222f1,1EB1一22因此三棱錐P-BEF的表面積SprffPBEF4.37"SPEFSPBFSpbeSBef812分20 .【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方.本小題對(duì)考生的化歸程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)以及圓錐曲線中最值的求取與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很

22、高要求.【試題解析】解：（1）e一二二，.a=4,b=2a22二橢圓C方程為x+162y=1.4（2）當(dāng)切線的斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-y0=k（xx0）,又因?yàn)閤0k二-,V0故切線方程為y-y0=-瓦（x-x0）,x0xy0y=r2Vo當(dāng)k不存在時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為（士r,0）,切線方程為x=±r,符合x0x+y0y=廠,綜上，切線方程為x0x,y0y=r2.（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（xp,yp）,PA,PB是圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),過點(diǎn)A的圓的切線為X1X+y1y=1,過點(diǎn)B的圓的切線為x2x+y2y=1兩切線都過P點(diǎn)，二KXp+yyp=1,x?

23、Xp+y2yp=1二切點(diǎn)弦AB的方程為xpx+ypy=1,由題知xpyp#0,1M(0,一),yp1c、N(,0)，,MNxp21xp111=+16416x21yp11121一-2+-2yp4xp164V64時(shí)取等號(hào),二MN父3,二MN的最小值為42yp2xp2yp34xp-2yp-2xp12169216，當(dāng)且僅當(dāng)xP=16312分2yp21 .【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到曲線的切線方程的求取，利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的單調(diào)性等情況.本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用,對(duì)考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求【試題解析】解：11)設(shè)切點(diǎn)P為(,y0),則P處的切線方

24、程為2_32一y=(3x02%)(xx°)+x0-x0.該直線經(jīng)過點(diǎn)(1,0),所以有0=(3x2-2x0)(1-x0)+xox2,化簡(jiǎn)得x3-2x2+%=0,解得=0或x0=1,所以切線方程為y=0和y=x1.(2)法一：由題得方程x3ax2x+1=0只有一個(gè)根，32_2_2設(shè)g(x)=x-ax+x+1,則g'(x)=3x-2ax-1,因?yàn)?4a+12a0,所以g'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，即3xi2-2axi-1=0(i=1,2),日n3x2-12xi不妨設(shè)x<0<x2,所以g(x)在(-°°,x1),(x2,f)單調(diào)遞增，在(“

25、供)單調(diào)遞減,g(x1)為極大值，g(x2)為極小值，32萬程x-axx+1=0只有一個(gè)根等價(jià)于g(x)A0且g(x2)>0,或者g(x1)<0且g(x2)<0,又g(X)=x3-ax2-x1=x33-21*：一為1二一gx3一裔1(i=1,2)，2x、22乂涇：0,a=-,21x2<0,所以h(x)為減函數(shù),21Qx設(shè)h(x)=x+1,所以h'(x)=22又h(1)=0,所以x<1時(shí)h(x)>0,xa1時(shí)h(x)<0,所以x(i=1,2)大于1或小于1,由x1<0<x2知，x(i=1,2)只能小于1所以由二次函數(shù)g'(x)

26、=3x22ax1性質(zhì)可得g'(1)=32a1>0,所以a<1.12分法二：曲線y=f(x)與直線y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程ax2=x3x+1只有一個(gè)實(shí)根.11顯然x*0,所以萬程a=x-十=只有一個(gè)實(shí)根.xx3設(shè)函數(shù)g(x)=x一一,貝Ug'(x)=1-=x.xxxxx設(shè)h(x)=x3+x2,h'(x)=3x2+1>0,h(x)為增函數(shù)，又h(1)=0.12分所以當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù);當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)；所以g(x)在x=1時(shí)取極小值1.又當(dāng)x趨向于0時(shí)，g(x)趨向于正無窮；又當(dāng)x趨向于負(fù)無窮時(shí)，g(x)趨向于負(fù)無窮；又當(dāng)x趨向于正無窮時(shí)，g(x)趨向于正無窮.所以g(x)圖象大致如圖所示：所以方程a=xl+只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(*,