固體物理(第12課)能態(tài)密度

1、nNNNNNNNbbbaaa 321321321321、被限制在第一布里淵區(qū)點(diǎn)的數(shù)目）：中的分布密度（單位體積點(diǎn)占據(jù)的體積：平均一個(gè)、kVVkkVNNNbNbNbkZhhhbNhbNhbNhk 221 221*1 , . 13333332211321333222111示意圖示意圖KLnJLnILnkzyx 222a2a2Na2k kx xk ky yk kz za2a2Na2KLnJLnILnkzyx 222倒易點(diǎn)陣波矢空間空間k321NaLNaLNaLzyxzyxnNanNanNanLnLnLk 2電子具有的波長22Nb33Nb11Nb電子以平面簡諧波形式存在于金屬晶體中，其波長由k確定，而

2、k又取決于倒易矢量b，每個(gè)倒易矢量b都與晶格點(diǎn)陣中的一族晶面垂直，且代表這族晶面的面間距。故k的取值為lb/n，即l2/na時(shí)，意味著電子波長 為na/l，即L/l， na代表了某方向的晶體的長度L，且該平面波與晶面垂直?？梢娊饘倬w邊長L是電子波長的l倍，這里采用了波恩-卡門周期性邊界條件。駐波一定要求格波在邊界處為0，相比之下，波恩-卡門周期性邊界條件是一種行波，比駐波的要求更加寬松。邊長為L的金屬中，電子以波長(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平面簡諧波存在。晶格常數(shù)為a的簡立方晶格常數(shù)b為2/a的倒易格點(diǎn)。b對(duì)應(yīng)面間距。最大的 k，對(duì)應(yīng)波長為2a。最小的 k，對(duì)應(yīng)波長為L。

3、K越小，所對(duì)應(yīng)波長越長。b原胞體積 )(222321213132321aaaVVaabVaabVaaba能態(tài)密度:單位能量間隔內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)量電子能級(jí)是簡并的222222222zyxnnnmLhmkEdEdZEZENZZZEEEE 0lim)(dkkVdkkVkkkkEEEkk232344dZ48 E 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的量量子子態(tài)態(tài)數(shù)數(shù)為為：點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)為為：球球殼殼中中對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的球球面面半半徑徑：點(diǎn)點(diǎn)分分布布在在球球面面上上的的空空間間中中：能能量量為為在在示意圖232233)2(33482(k)Z :,kEmVkVe電子的狀態(tài)數(shù)的球體中半徑為kxkykzE E+dEE E+dE k k+dk k

4、k+dkE E為等能面為等能面( (紅色線紅色線) )2/122222/12/32223)(2222244CEdEdZENmEddkmEkmkEdEEhmVdkkVdZ(1) 費(fèi)米狄喇克分布費(fèi)米狄喇克分布量。個(gè)電子時(shí)自由能的增加情況下，系統(tǒng)中增加一的子化學(xué)勢。指體積不變：費(fèi)米能級(jí)（量），電幾率為：的量子態(tài)被電子占據(jù)的為在熱平衡狀態(tài)下，能量 11)( /FTKEEEeEfEBF 1)( 0)( 0KT .EfEEEf EEaoFoF時(shí)時(shí)：占據(jù)的最高能級(jí)占據(jù)的最高能級(jí)是電子是電子時(shí)，時(shí)，oFEKT0 示意圖示意圖21)( 0KT . EfEEbF時(shí)時(shí)：幾幾率率相相等等被被電電子子占占據(jù)據(jù)和和不不占

5、占據(jù)據(jù)的的的的量量子子態(tài)態(tài)的的能能級(jí)級(jí)，則則該該能能級(jí)級(jí)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)大大小小相相等等若若金金屬屬中中存存在在一一個(gè)個(gè)同同F(xiàn)E返回返回 11)(/ TKEEBFeEfT=0KT=0K T3 0)()(dEENEfNN個(gè)個(gè)電電子子，則則設(shè)設(shè)金金屬屬中中有有3/222oF3232228-2/322/3oFE01/232E)/1010(109.1m 24E32CE1N 0 .oFnmcmnnVNghmVCCdEKTa：電子濃度時(shí)：1.51.57eV7eV oFoFoFEEECECNdECEENdEENEEfNEdNEoF533252 1)()(2/32/502/100 l上式表明,即使在絕對(duì)零度,電子的平

6、均動(dòng)能也不為0,這不同于經(jīng)典理論.l經(jīng)典理論:電子的平均動(dòng)能等于3kBT/2,當(dāng)T趨于0K時(shí),平均動(dòng)能為0.l量子理論：電子必須遵守泡利不相容原理.因此,即使在絕對(duì)零度,不可能所有的電子都填在最低的能量狀態(tài).計(jì)算結(jié)果表明,即使在T=0K,電子的速度也高達(dá)108cm/s.平面波平面波 02/302/302/302/3002/31/20)(32)(3232)(32 )(32CE)()()(NdEEfEgNCEEgdEEfCEdEEfCEEECfdEECfdEEfdEENEf，則則令令示意圖示意圖 )()()( )(21 )()()(2102FFFFFFFFFEgIEgIEgIdEEfEEEgdEE

7、fEEEgdEEfEgNEEEg 則有：則有：附近作泰勒級(jí)數(shù)展開，附近作泰勒級(jí)數(shù)展開，在在將將 nnxxxfnxxxfxxxfxfxf)(!1 )(! 21)()()(00200000類似于類似于 函數(shù)，故可函數(shù)，故可擴(kuò)展到擴(kuò)展到- - + + 222/32/3oF22210222210121)(32)( )E(32N)(6)()()()(601oFBoFFFFFBFFFFBFFETkEEECEgCEgTkEgEgIEgIEgINTkdEEfEEIdEEfEEIdEEfI ，示意圖示意圖 FoFFoFFETbEEEEa，隨隨著著比比較較接接近近且且和和 )( )(返回返回降降應(yīng)應(yīng)隨隨著著溫溫度

8、度的的上上升升而而下下增增大大。金金屬屬中中的的自自由由電電子子數(shù)數(shù)上上升升，溫溫度度，則則由由于于如如果果FoFFEENEEE NT)( 費(fèi)米球費(fèi)米球FFmEk2 費(fèi)米半徑：費(fèi)米半徑：0K KT=0K時(shí),E=EF0以下能級(jí)全被電子占據(jù).T0K時(shí),EF-kBT范圍內(nèi)電子被激發(fā)到EF+kBT范圍內(nèi).對(duì)金屬熱傳導(dǎo)有重大影響. EF-kBT EF+kBTkBT2.3510-2eV1 如果電子濃度為n，用自由電子模型，求零度(0K)時(shí),k空間中費(fèi)米球的半徑kF0。解: 根據(jù)自由電子模型，K空間的狀態(tài)密度為每個(gè)狀態(tài)可容納自旋方向相反的兩個(gè)電子，如果費(fèi)米球的半徑取kF0，則總電子數(shù)為 解出32V30334)2(2FkVN3120)3(nkF電電子子數(shù)數(shù)目目。的的價(jià)價(jià)計(jì)計(jì)算算該該金金屬屬中中每每個(gè)個(gè)原原子子個(gè)個(gè)原原子子占占據(jù)據(jù)的的體體積積，試試為為金金屬屬中中每每，時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)某某金金屬屬在在？多多少少個(gè)個(gè)相相差差和和，則則，在在金金屬屬中中若若VVkKTTkEEEfEfoFB3/12212190 . 21 . 0)(9 . 0)( . 1 多多少少？是是多多少少？對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)波波矢矢k k