王振發(fā)版分析力學(xué)課件第2章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程

1、 第二章第二章 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程方程1.動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程2.拉格朗日方程拉格朗日方程3.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式4.拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分5.碰撞問題的拉格朗日方程碰撞問題的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的應(yīng)用舉例拉格朗日方程的應(yīng)用舉例引言引言1：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題12擺長不定，如何確定擺長不定，如何確定其擺動(dòng)規(guī)律？其擺動(dòng)規(guī)律？K混沌擺問題混沌擺問題多桿擺問題多桿擺問題引言引言2：慣性力的概念：慣性力的概念達(dá)朗伯（達(dá)朗伯（1717-1785）通過引入）通過引入慣性力慣性力的概念，建立

2、了著名的的概念，建立了著名的達(dá)朗伯原理（用靜力學(xué)建立平衡方程的方法處理動(dòng)力學(xué)問達(dá)朗伯原理（用靜力學(xué)建立平衡方程的方法處理動(dòng)力學(xué)問題）；題）；約翰約翰伯努利（伯努利（1667-1748）于）于1717年精確表述了年精確表述了虛位移原理虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動(dòng)力學(xué)的方法研究靜力學(xué)中（建立虛位移、虛功的概念，用動(dòng)力學(xué)的方法研究靜力學(xué)中的平衡問題）；的平衡問題）；拉格朗日（拉格朗日（1736-1813）應(yīng)用達(dá)朗伯原理，把虛位移原理推廣）應(yīng)用達(dá)朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題中，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，到非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題中，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格

3、朗日方程。進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。vPMl其加速度為其加速度為令令R=P+T則則ma = R = P + T擺錘擺錘M在受到在受到P、T的同時(shí)，將給施力體的同時(shí)，將給施力體（地心和繩子）一對(duì)應(yīng)的反作用力，（地心和繩子）一對(duì)應(yīng)的反作用力，反作用力的合力為反作用力的合力為TR=R= ma此力是擺錘被迫作非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的此力是擺錘被迫作非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的“ “反作用力反作用力” ”，稱為，稱為慣性力慣性力。a n PTPTPTa na na nsin2lvaan 圖示圓錐擺擺長為圖示圓錐擺擺長為l，擺錘，擺錘M的質(zhì)量的質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v，錐

4、擺的頂角為錐擺的頂角為2，擺錘擺錘 M 受力如圖受力如圖。RvRvRvR結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用一個(gè)慣性力，該力的大小等于其質(zhì)量與加速度的乘體會(huì)作用一個(gè)慣性力，該力的大小等于其質(zhì)量與加速度的乘積，方向與其加速度方向相反。積，方向與其加速度方向相反。若用若用Fg表示慣性力，則有表示慣性力，則有 Fg = ma說明：說明：1.此力是不是真實(shí)的力！此力是不是真實(shí)的力！2.此力作用于施力給質(zhì)點(diǎn)的物體上！此力作用于施力給質(zhì)點(diǎn)的物體上！3.此力又稱為牛頓慣性力！此力又稱為牛頓慣性力！引言引言3：達(dá)朗伯原理：達(dá)朗伯原理一

5、、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，受力有，受力有主動(dòng)力主動(dòng)力F、約束反力約束反力FN，加速度為加速度為a，則根據(jù)牛頓，則根據(jù)牛頓第二定律，有第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma = F+FNFg= ma令令則則F+FN+Fg = 0形式上的平衡方程形式上的平衡方程結(jié)論：結(jié)論：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其上假想地加上一慣性在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其上假想地加上一慣性力力Fg，則此力與主動(dòng)力、約束反力在形式上組成一平衡力系，則此力與主動(dòng)力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。二、

6、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成， 第第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受力有主動(dòng)力，受力有主動(dòng)力Fi ，約束反力，約束反力FNi ，加速度為，加速度為ai ，假想地加上其慣性力，假想地加上其慣性力Fgi=miai ，則根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，則根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i 、 FNi與與Fgi應(yīng)組成形式上的應(yīng)組成形式上的平衡力系，即平衡力系，即對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說，在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，虛加于質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，虛加于質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束反力將組成形式點(diǎn)的慣性力與作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束反力

7、將組成形式上的平衡力系上的平衡力系。Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，n）MO(Fi) + MO( FNi ) + MO( Fgi ) =0Fi + FNi +Fgi=0質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理即即或或1 .動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡單結(jié)合的產(chǎn)物。動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡單結(jié)合的產(chǎn)物。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受主動(dòng)力受主動(dòng)力Fi，約束反力，約束反力FNi，加速度為，加速度為ai，虛加上虛加上其慣性力其慣性力Fgi=miaiFiFNiFgiaiMFNiFN

8、iMMFgiaiFgiaiFiFi則根據(jù)達(dá)朗伯原理，則根據(jù)達(dá)朗伯原理， Fi 、FNi 與與Fgi，應(yīng)組成形式上的平衡力系，即應(yīng)組成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +Fgi= 0若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有0)(1niigiirFF或或0)(1niiiiimraF動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所做虛功之和的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所做虛功之和等于零。等于零。則則動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方

9、程的坐標(biāo)分解式為的坐標(biāo)分解式為01niiiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX , kjiFiiiiZYX, kjiiiiizyxa ,kjiriiiizyx若若例例1. 兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；中心用質(zhì)量為中心用質(zhì)量為m2的連桿連接，在傾角為的連桿連接，在傾角為的斜面上的斜面上。求。求連桿的加速度。連桿的加速度。研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；解：解：設(shè)桿的加速度為設(shè)桿的加速度為a，則，則m2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgam2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg

10、1MgMgam2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgaFg1= m1a，,raJJMgFg2= m2a，給連桿以平行于斜面向下給連桿以平行于斜面向下的虛位移的虛位移 s， 則相應(yīng)地兩則相應(yīng)地兩輪有轉(zhuǎn)角虛位移輪有轉(zhuǎn)角虛位移 ，且且rs根據(jù)動(dòng)力學(xué)普根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程，得遍方程，得:samm)2(21sgmmsin)2(2102rsraJsgmmsin)2(21sFFgg)2(2102gM于是于是解得解得gJrmmrmma2)2(sin)2(221221(a)(b)2. 拉格朗日方程拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)出

11、將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)出第二類拉格第二類拉格朗日方程朗日方程。111jjjkijjxiijkijjyiijkijjziijfm xFxfm yFyfm zFz n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到k 個(gè)如個(gè)如下形式的完整約束下形式的完整約束fi ,又若系統(tǒng)中又若系統(tǒng)中質(zhì)量為質(zhì)量為mj的第的第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力Fj，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足3n個(gè)方程個(gè)方程如左，稱為如左，稱為第一類拉格朗日方第一類拉格朗日方程程，i稱為拉各朗日未定乘稱為拉各朗日未定乘子。子。*第一類拉格朗日方程用到的較少第一類拉格朗日方程用到的較少拉格朗日拉格朗日1736 1813,法籍法籍

12、意大利人，數(shù)學(xué)家、意大利人，數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家，力學(xué)家、天文學(xué)家，十九歲成為數(shù)學(xué)教十九歲成為數(shù)學(xué)教授，與歐拉共同創(chuàng)授，與歐拉共同創(chuàng)立變分法，是十八立變分法，是十八世紀(jì)繼歐拉后偉大世紀(jì)繼歐拉后偉大的數(shù)學(xué)家。的數(shù)學(xué)家。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有s個(gè)完整理想約束，則有個(gè)完整理想約束，則有N=3n-s個(gè)自由度（個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)）。）。 用用q1，q2，qN表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，第表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，矢徑為矢徑為ri。則。則 ri= ri(q1，q2，qN，t)對(duì)上式求變分得對(duì)上式求變分得ttqqqqqqiNiiiiN2211r

13、rrrrNikiqq1kr動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫成動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫成011niiiiniiimrarF其中其中nikNkkiiiniiiiqqmm111rrra Nkknikiiiqqm11rr 根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有NkkkniiiqQ11rFniiiiniiim11rarF011kNknikiiikqqmQrr 因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣義坐標(biāo)因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣義坐標(biāo)的變分的變分 qk是任意的，為使上式恒成立，須有是任意的，為使上式恒成立，須有01nikiiikqmQrr (

14、k =1，2，N)廣義力廣義力廣義慣性力廣義慣性力以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗伯原理以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗伯原理對(duì)式對(duì)式111nnniiiki iiiiiiiikkkddQmmmqdtqdtqrrrrvv中廣義慣性力進(jìn)行變換：中廣義慣性力進(jìn)行變換：01nikiiikqmQrr kiiikiiikiiiqdtdmqdtdmqdtdmrvrvrvnikiiinikiiinikiiiqdtdmqmqdtdm111rvrrrv kiiikiiiqdtdmqmrvrr 將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）iikkqqrr iikkddtqqrr （ 廣義速度）廣義速度）

15、 kq得得111nnniiii iiiiiiiikkkdmmmqdtqqrvvrvv1112nniiiiiiiikkdmmdtqqvvvv22111122nniiiiiikkdmmdtqqvv所以所以1nii iikkkdTmTqdtqqrr 代入第一項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)代入第一項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)代入第二項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)代入第二項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)得到得到這就是這就是第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組，是一個(gè)方程組，該方程組的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分方程，方程，揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義

16、力之間的關(guān)系。若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢(shì)力（保守力）若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢(shì)力（保守力）則廣義力則廣義力Qk可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式kkqVQ于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成), 2 , 1(,NkqVqTqTdtdkkk,(1,2,)kkkdTTQkNdtqq用函數(shù)用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能與勢(shì)能V之差，即之差，即 L = TVL稱為稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。則在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為則在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為), 2 , 1(0NkqL

17、qLdtdkk若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力為有勢(shì)力及非有勢(shì)力兩部分構(gòu)成時(shí)若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力為有勢(shì)力及非有勢(shì)力兩部分構(gòu)成時(shí)kkkQqVQ), 2 , 1(NkQqLqLdtdkkktqqLLkk, 用拉格朗日方程的意義用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中的重要方程。的普遍方程，是分析力學(xué)中的重要方程。2.拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本量，是拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本量，是用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程。用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程。3.拉格朗日方程形式簡潔，運(yùn)用時(shí)只

18、需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能；拉格朗日方程形式簡潔，運(yùn)用時(shí)只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能；對(duì)于保守力系統(tǒng)，只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。對(duì)于保守力系統(tǒng)，只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。用拉格朗日方程概述用拉格朗日方程概述1.靜力學(xué)靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問題，根據(jù)虛：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)立平位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的求解變得簡單。束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的求解變得簡單。2

19、.動(dòng)力學(xué)：動(dòng)力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的動(dòng)力學(xué)問題，可以對(duì)受完整約束的多自由度的動(dòng)力學(xué)問題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡稱為拉格朗日方程。程，稱為拉格朗日第二類方程，簡稱為拉格朗日方程。用拉格朗日方程解題的步驟用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；2.選廣義坐標(biāo)；選廣義坐標(biāo)；3.計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來

20、表示動(dòng)能；，且用廣義速度來表示動(dòng)能；4.計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。rRMMO AM例例1 位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿的均質(zhì)細(xì)桿OA，可繞，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為、半徑為r的均質(zhì)的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為小齒輪，小齒輪沿半徑為R的的固定固定大齒輪大齒輪純滾動(dòng)純滾動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿。當(dāng)細(xì)桿受力偶受力偶M的作用時(shí)，求細(xì)桿的的作用時(shí)，求細(xì)桿的角加速度角加速度 。OA解：解： 研

21、究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo) ， OA則則OA)(rRvA系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為221)(3121rRm2221)(92(121rRmmARMrO 221OJ2222121AAAJvm22222222121)(21rrRrmrRmP P P行星輪瞬心為行星輪瞬心為P，rrRrvAA)( 角速度為角速度為vAvAvAO AvAR Mr又關(guān)于廣義坐標(biāo)又關(guān)于廣義坐標(biāo) 的的廣義力為廣義力為代入代入Lagrange方程：方程：于是得于是得221)(92(6rRmmMOA FWQMMdTTQdt2121(29)() 2 ,12TmmRr2121(29)()6dTmmRrdt0T2121

22、(29)()6mmRrMO例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為繞在半徑為R的的固定圓柱固定圓柱上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部分長度為部分長度為l。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。Rml l lRlOmm系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為22)(21RlmT選選 =0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V = mg（l+Rsin ）（）（lR ）cos 系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為VTL,)(2RlmL 22)()(2RlmRlmRLdtdsin)()(2RlmgRlmRLcos)()s

23、in()(2122RlRlmgRlm 解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo) ， 22)()(2RlmRlmRLdtdsin)()(2RlmgRlmRL已求得已求得0LLdtd將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程0sin)(2gRRl O O O例例3 3 已知質(zhì)量為已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)。求由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)。求三棱柱的加速度。三棱柱的加速度。OO( (設(shè)圓柱設(shè)圓柱o

24、o的半徑為的半徑為r r) )選選x1、x2為廣義坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)，x1x2O1x 1x 2x 圓柱中心的速度為圓柱中心的速度為 cos22122212xxxxvO圓柱的角速度為圓柱的角速度為rxO2vO解：解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為21121xm cos43)(212122222121xxmxmxmm21121xmT2222121OOOJvm)cos2(212122212xxxxm22222121rxrm則三棱柱速度為則三棱柱速度為,1x 加速度為加速度為1x x21x 1x 2x vOx21x 1x 2x vOx21x 1x 2

25、x vO x2x1x2Oo1o201xT02xTm1gFNm2gx1,111xQxTxTdtd,222xQxTxTdtd0cos)(22121xmxmm sincos2321222gmxmxm 聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：222121cos2)(32sinmmmgmx 2221212cos2)(3sin)(2mmmgmmx 1xTdtd,cos)(22121xmxmm 2xTdtd,cos231222xmxm 代入代入L程：程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1 、x2的廣義力的廣義力分別為：分別為：, 011xWQFxsinsin2222

26、22gmxxgmxWQFx例例4 4 圖示均質(zhì)桿圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為質(zhì)量為m1，長為，長為3l，B端鉸接一質(zhì)量為端鉸接一質(zhì)量為m2，半徑為，半徑為r的均質(zhì)圓盤。桿的均質(zhì)圓盤。桿AB在在O處為鉸支，兩彈簧的剛處為鉸支，兩彈簧的剛性系數(shù)均為性系數(shù)均為k；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動(dòng)的固；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動(dòng)的固有頻率。有頻率。Okkllll2rACB解：解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選選 1、 2為廣義坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)，OkkllllACB2r12則桿的角速度為則桿的角速度為,1圓盤的角速度為圓盤的角速度為 ,2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為所以，

27、系統(tǒng)的動(dòng)能為2121OJT22222121BBJvm2121212)3(12121lmlm22222122121)2(21rmlm22222122141)4(21rmlmm12 12系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為OkACkllll2rB 2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l 1重力與振動(dòng)方向相同，重力與振動(dòng)方向相同，系統(tǒng)受力如圖，系統(tǒng)受力如圖，2121)(21)(21lklkV212kl系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為VTL21222222122141)4(21klrmlmm1Ldtd1221)4( lmm 1212klL2Ldtd22221 rm02LF1F2

28、F1F2F1F2取平衡位置處為零勢(shì)點(diǎn)，取平衡位置處為零勢(shì)點(diǎn)，彈性力變形從平衡位置處計(jì)彈性力變形從平衡位置處計(jì)算，可以不計(jì)重力勢(shì)能！算，可以不計(jì)重力勢(shì)能！代入保守系統(tǒng)的拉氏方程代入保守系統(tǒng)的拉氏方程, 011LLdtd022LLdtd02)4(121221kllmm 021222 rm0421211mmk 02 可見，圓盤的角加速度為零！可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！系統(tǒng)的固有頻率為圓盤作平動(dòng)！系統(tǒng)的固有頻率為得得所以所以2142mmknOkACkllll2rB 2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l 1l 1F1F2F1F2F1F2例例5 5 桿

29、桿OA與與AB以鉸鏈相連，且以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓懸掛于圓柱鉸鏈上柱鉸鏈上， A、B處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為 m1和和m2，各處摩擦及，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分方程。兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分方程。m1bam2OABvAvAvAvAbaOAB,1avA 1 2則則解解 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度， 選選 1、 2為廣義坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)，2bvBA)cos(212222BAABAABvvvvv系統(tǒng)動(dòng)能為系統(tǒng)動(dòng)能為212222122211221)(21abbamamT212222122abba21222222122121)(

30、21abmbmamm1Tdtd221221)( abmamm01T2Tdtd12222 abmbm02TvAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，cos( 2 1)1 1 2 2 1系統(tǒng)受力如圖。系統(tǒng)受力如圖。m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo) 2的廣義力：的廣義力：1 1 2XOYO1211)(1gammWQF112111sinsingamgamWFm2gm1g22222gbmWQF222singbmWFm1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1 12 2b

31、2b2b2a1a1a1a1a1a111sin22sin給給1，則，則給給2，則，則求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo) 1的廣義力：的廣義力：,111QTTdtd,222QTTdtd代入代入Lagrange方程：方程：121221221)()(gmmaabmamm 2222212gbmbmabm 0122121agabmmm 0221agab 化簡得化簡得3. 動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 iniiiniiiiniiirrmvvmvmT1112212121 拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階微分方程組。應(yīng)拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階微分方程組。應(yīng)用拉格朗日

32、方程時(shí)用拉格朗日方程時(shí),須先計(jì)算出以廣義坐標(biāo)和廣義速度表示須先計(jì)算出以廣義坐標(biāo)和廣義速度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能。為便于應(yīng)用拉格朗日方程的系統(tǒng)的動(dòng)能。為便于應(yīng)用拉格朗日方程,一般可將質(zhì)點(diǎn)系一般可將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示為廣義速度的代數(shù)齊次式結(jié)構(gòu)的形式。的動(dòng)能表示為廣義速度的代數(shù)齊次式結(jié)構(gòu)的形式。 由于由于r是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)函數(shù),所以所以akj, bk, c也是廣義坐標(biāo)也是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。及時(shí)間的函數(shù)。111111112122nNNiiiiikjikjkjnNNNiiiiiiikjkikjkkjkrrrrTmqqqtqtrrrrrrmq qqqqqttt令令11112niikji

33、ikjniikiikniiiirramqqrrbmqtrrcmtt于是于是,動(dòng)能動(dòng)能T可表示為可表示為 再設(shè)再設(shè)cTqbTqqaTkNkkjNkNjkkj01111221012TTTT 可見可見, T2是廣義速度的二次齊次式是廣義速度的二次齊次式, T1是廣義速度的一次齊是廣義速度的一次齊次式，次式，T0是廣義速度的零次齊次式。這樣是廣義速度的零次齊次式。這樣, 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T可可看成是由以上三種不同次的廣義速度的代數(shù)齊次式構(gòu)成看成是由以上三種不同次的廣義速度的代數(shù)齊次式構(gòu)成. 4. 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分(首次積分首次積分） 求解二階微分方程組的積分時(shí)常會(huì)遇到數(shù)

34、學(xué)上的困難求解二階微分方程組的積分時(shí)常會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難,但對(duì)于保守系統(tǒng)但對(duì)于保守系統(tǒng),在某些條件下在某些條件下,卻很容易求得其初積分卻很容易求得其初積分,使方使方程組的求解變得簡單起來程組的求解變得簡單起來. 現(xiàn)在現(xiàn)在,我們?cè)谏弦还?jié)闡明的動(dòng)能的我們?cè)谏弦还?jié)闡明的動(dòng)能的廣義坐標(biāo)表達(dá)式的基礎(chǔ)上廣義坐標(biāo)表達(dá)式的基礎(chǔ)上,來討論拉格朗日方程的初積分。來討論拉格朗日方程的初積分。 由于勢(shì)能函數(shù)由于勢(shì)能函數(shù) V 僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此它是廣義速僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此它是廣義速度的零次函數(shù)。設(shè)度的零次函數(shù)。設(shè) L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V拉格朗日函數(shù)可表示為拉格

35、朗日函數(shù)可表示為 L = T V = T2 + T1 + T0 V顯然，顯然，L2，L1和和L0分別是廣義速度的二次齊次函數(shù)、一次齊分別是廣義速度的二次齊次函數(shù)、一次齊次函數(shù)和零次齊次函數(shù)，得次函數(shù)和零次齊次函數(shù)，得 L=L2+L1+L0 1廣義能量積分廣義能量積分初積分之一初積分之一將主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程式乘以將主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程式乘以 ，并將這，并將這N個(gè)個(gè)式子相加，得式子相加，得kq 011kNkkkkNkqqLqqLdtdkkkkkkqqLqqLdtdqqLdtd 其中其中011NkkkkkNkkkqqLqqLqqLdtd 帶入上式得：帶入上式得：當(dāng)拉格朗日函數(shù)不

36、顯含時(shí)間當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t（則（則 ），即），即時(shí)有：時(shí)有：0tLkkqqLL,NkkkkkqqLqqLdtdL1 帶入上式得：帶入上式得：01NkkkLqqLdtdELqqLNkkk1從而有：從而有： E 為積分常數(shù)為積分常數(shù)再根據(jù)歐拉齊次式定理再根據(jù)歐拉齊次式定理(P56)有：有：1210111212LLqqLqqLqqLqqLNkkkNkkkNkkkNkkk帶入上式得：帶入上式得：（2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E即即L2-L0 = EEVTTLqqLNkkk021進(jìn)一步得到：進(jìn)一步得到：這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的廣義能量積分廣義能量積分，又稱，又稱雅可比積分雅可比積分。*由于由于約束是非定常的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒約束是非定常的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒。*NkkkLqqL1為廣義能量為廣義能量系統(tǒng)稱為廣義保守系統(tǒng)。系統(tǒng)稱為廣義保守系統(tǒng)。2能量積分能量積分如果約束是定常的如果約束是定常的，則，則0irt可知可知 bk = 0,c = 0, 因此得因此得 T1=0，T0=0， 于是得于是得 T=T2廣義能量積分變?yōu)閺V義能量積分變?yōu)镋VTLqqLNkkk1這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的能量積分能量積分，上式即為，上式即為保守系統(tǒng)的