【2020年高考數(shù)學】三角函數(shù)中的實際應用問題專項復習

1、【2020年高考數(shù)學】三角函數(shù)中的實際應用問題專項復習類型對應典例以解三角形為背景借助正余弦定理建立函數(shù)關(guān)系典例1以三角形面積為背景借助基本不等式求解最值典例2以三角函數(shù)圖象為背景探求實際問題的最值典例3以組合圖形為背景考查解三角形的實際應用問題典例4以三角探究性問題研究方案的可能性問題典例5以實物為背景建立三角函數(shù)關(guān)系借助導數(shù)求最值典例6以實際方位為背景考查三角函數(shù)求值與三角實際問題典例7【典例1】【山東省泰安市2019-2020學年高三上學期期末數(shù)學試題】如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊ABC, A 90°, BC長2千米，現(xiàn)對這塊地進行綠化改造，計劃從BC的中點D引出兩條成4

2、5°的線段DE和DF,與AB和AC圍成四邊形區(qū)域 AEDF ,在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域種植草坪；設(shè) BDE，試求花卉種植面積 S的取值范圍.【典例2】【江蘇省鹽城中學 2018屆高三上學期期末考試數(shù)學試題】我校為豐富師生課余活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為 S （平方米）的11 / 33AMPN矩形健身場地，如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知 ACB 60 ,AC 30 米，AMx米，x 10,20 .設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價為37k 75兀，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為12kY兀（k為正

3、吊數(shù)）試用x表小S ,并求S的取值范圍;(2)求總造價T關(guān)于面積S的函數(shù)T f S ;（3）如何選取 AM ,使總造價T最低（不要求求出最低造價）【典例3】【遼寧省普通高中 2019-2020學年高三上學期學業(yè)水平測試數(shù)學試卷】OSM,該曲線段如圖，某市擬在長為 8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段為函數(shù)y Asin x(A 0,0) , x 0,4的圖象，且圖象的最高點為 S(3,2 J3);賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定 MNP 120°.(1)求點M的坐標；(2)應如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長?【典例4】【河北省邢

4、臺市 2019-2020學年高三上學期第二次月考】某生態(tài)農(nóng)莊有一塊如圖所示的空地，其中半圓。的直徑為300米，A為直徑延長線上的點，OA 300米,B為半圓上任意一點，以 AB為一邊作等腰直角 VABC ,其中BC為斜邊.，2. 一 一 1若 AOB ；，求四邊形OACB的面積； 32現(xiàn)決定對四邊形 OACB區(qū)域地塊進行開發(fā)，將VABC區(qū)域開發(fā)成垂釣中心， 預計每平方米獲利10元,將VOAB區(qū)域開發(fā)成親子采摘中心，預計每平方米獲利20元，則當 AOB為多大時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大？【思路點撥】21計算 AOB 時VAOB和VABC的面積，求和得出四邊形 OABC的面積； 32設(shè)

5、AOB ,求出VAOB和VABC的面積和，得出目標函數(shù)的解析式，再求該函數(shù)取得最大值時對應 的值.【典例5】【廣東省汕頭市金山中學 2018-2019學年高三上學期期末】汕頭市有一塊如圖所示的海岸，OA, OB為岸邊，岸邊形成120角，現(xiàn)擬在此海岸用圍網(wǎng)建一個養(yǎng)殖場，現(xiàn)有以下兩個方案：方案1：在岸邊OA, OB上分別取點E, F ,用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形 EOF （ EF為圍 網(wǎng)）.方案2：在 AOB的平分線上取一點 P，再從岸邊OA,OB上分別取點 M , N，使得 MPO NPO用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成四邊形 PMON （ PM , PN為圍網(wǎng)）.記三角形EOF的面

6、積為Si,四邊形PMON的面積為S2.請分別計算8的最大值，并比較哪個方案好.【思路點撥】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面積最值，方案 2中，利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積最值，然后比較大小，即可得哪種方案好【典例6】【江蘇省蘇州市 2019-2020學年高三上學期期中數(shù)學試題】如下圖所示，某窯洞窗口形狀上部是圓弧CD ,下部是一個矩形 ABCD ,圓弧CD所在圓的圓心為 O,經(jīng)測量AB 4米，BC Y3米， COD 120 ,現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形EFGH ,其中3E, F在邊AB上，G, H在圓弧CD上.設(shè) OGF ,矩形EFGH的面積為S.(1)求矩形EFGH

7、的面積S關(guān)于變量 的函數(shù)關(guān)系式；(2)求cos為何值時，矩形 EFGH勺面積s最大？【思路點撥】EFGH的面積S關(guān)于變量。的函數(shù)關(guān)系式；S 0時的cos的值，三角計算即可得出結(jié)(1)結(jié)合幾何圖形計算的直角三角形勾股定理，找出矩形(2)對S關(guān)于變量。的函數(shù)關(guān)系式進行求導思路點撥，算出 果.O (如圖)的東偏南【典例7】在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市2(cos ;5)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北 45萬向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為 60km,并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲?1km的扇形EAF

8、,中心角1.【江蘇省徐州市2019屆高三上學期期中質(zhì)量抽測數(shù)學試題】某地擬規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域I）設(shè)計成半徑為EAF .為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域H）和休閑區(qū)（區(qū)42域出），并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴建成正方形知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是ABCD,其中點E , F分別在邊BC和CD上.已10萬元、20萬元、20萬元.（1）要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，求的最大值;（2）試問：當 為多少時，年總收入最大?2.【河北省衡水市深州市長江中學2019-2020學年高三上學期12月月考數(shù)學】PAQ始如圖，有一塊邊長為1 （百米）

9、的正方形區(qū)域 ABCD.在點A處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角終為45 （其中點P, Q分別在邊BC, CD上），設(shè)BP= t （百米）.（1）用t表示出PQ的長度，并探求 CPQ的周長L是否為定值;（2）設(shè)探照燈照射在正方形 ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為 S （平方百米），求S的最大值.3 .如圖，摩天輪上一點 P在t時刻距離地面高度滿足 y Asin（ t ） b,，已知某摩天輪的半徑為50米，點。距地面的高度為 60米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3分鐘轉(zhuǎn)一圈，點P的起始位置在摩天輪的最低點處.（i）根據(jù)條件寫出y （米）關(guān)于t （分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點p距離地面超

10、過85米？4 .【山西省長治市第二中學 2019-2020學年高三11月月考】如圖，在VABC中，已知AB 1,BC 2, ABC 60 , M為BC中點，E, F分別為線段AB, AC上動點（不包括端點），記 EMB .（1）當 EM FM 時，求證：EM J3FM ;（2）當 EMF 60時，求四邊形 AEMF面積S關(guān)于 的表達式，并求出 S的取值范圍5 .平潭國際 花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y （米）是隨著一天的時間t 0 t 24,單位小時 呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：t03691215182124y1

11、.52. 41.50. 61.42.41.60.61.5（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖（坐標系在答題卷中）.觀察散點圖，從 y Asin t ， y Acos t b, y Asin t b（A 0,0,0）中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；（2）為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的518時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全6.在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時間相距12h,低潮時水的深度為 8.4m,高潮時為16m, 一次高潮發(fā)生在10月10日4:00,每天漲潮落潮時，水的深度 d

12、(m)與時間t(h)近似滿足關(guān)系式d Asin t h A 0,0,-.2(1)若從10月10日0:00開始計算時間，選用一個三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系.(2) 10月10日17:00該港口水深約為多少？(精確到0.1m)(3) 10月10日這一天該港口共有多長時間水深低于10.3m?7.【河北省衡水中學 2019屆高三上學期六調(diào)考試】如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地OAB,其中OA 3km, OB 3 J3km , AOB 90o .當?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點， 擬在中間挖一個人工湖OMN，其中M , N都在邊AB上，且 MON 30°

13、;,挖出的泥土堆放在OAM地帶上形成假山，剩下的 OBN地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在 OAN的周圍安裝防護網(wǎng).3(1)當AM km時，求防護網(wǎng)的總長度； 2(2)為節(jié)省投入資金，人工湖 OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使 OMN的面積最小?最小面積是多少？8.12019屆四川省成都市高三第一次診斷性檢測】某大型企業(yè)一天中不同時刻的用電量(單位：萬千瓦時)關(guān)于時間(，單位：小時)的函數(shù)近似地滿足，下圖是該企業(yè)一天中在 0點至12點時間段用電量與時間的大致圖象.（I）根據(jù)圖象，求，的值；（n）若某日的供電量（萬千瓦時）與時間（小時）近似滿足函數(shù)關(guān)系式=+（）.當該日內(nèi)供電量小

14、于該企業(yè)的用電量時，企業(yè)就必須停產(chǎn).請用二分法計算該企業(yè)當日停產(chǎn)的大致時刻（精確度0.1）.參考數(shù)據(jù)：（時）10111211.511.2511.7511.62511.6875（萬千瓦時）2. 252.4332.52.482.4622.4962.4902.493（萬千瓦時）53.522.753. 1252.3752.5632.469三角函數(shù)中的實際應用問題專項復習【典例1】如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊ABC, A 90°, BC長2千米，現(xiàn)對這塊地進行綠化改造，計劃從BC的中點D引出兩條成45。的線段DE和DF,與AB和AC圍成四邊形區(qū)域 AEDF ,在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域

15、種植草坪；設(shè) BDE，試求花卉種植面積 S 的取值范圍.12/33.3【解析】在4BDE中，/ BED=4BE 1,由正弦定理得sin3sin 4BEsin.3sin 4在ADCF中,FDCCFDFC ,由正弦定理得3- sin 41sin ，sinCFsinS BDES DCFBEBDsin 一4CD sin 一4BF CFsin.3sin 一4sin4sin二4. 3sin cos42.5sin4 cos sinsin3.cossin4cos sin, 2 sin.33.sin - cos cos- sin44sin、2 2sin2 4 2 sin1 sin 2cos sin42 / 33

16、2 sin2 cos2 24 2sin cos ,2 sin21 sin 2cos 222 sin 2cos 211 1 12 sin 2 cos2 12 22sin 224ABCBDEDCF2,2 sin 224AEDF為四邊形區(qū)域,4 244 4sin 2 一4取值范圍是1-2,1 42花卉種植面積S【典例2】【江蘇省鹽城中學 2018屆高三上學期期末考試數(shù)學試題】我校為豐富師生課余活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為 S （平方米）的AMPN矩形健身場地，如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知 ACB 60 ,一 . 37k _ AC 30米，A

17、M x米，x 10,20 .設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價為 香兀，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為12k元（k為正常數(shù)）H(1)試用x表小S ,并求S的取值范圍；(2)求總造價T關(guān)于面積S的函數(shù)T f S ;(3)如何選取 AM ,使總造價T最低(不要求求出最低造價)【解析】(1)在 Rt PMC 中，顯然 MC 30 x, PCM 60 ,PM MC tan PCM 百 30 x ,矩形 AMPN 的面積 S |PM| |MC| 相x 30 x ,x 10,20于是200。S 22573為所求(2)矩形AMPN健身場地造價T 37k VS.12k -又 AB

18、C的面積為450 J3,即草坪造價丁2 店 450V3S 225、373x30 x 216/3 解得 x 12 或 x 18由總造價T T1 T2, T 25k S 型四,200.3SRS 216S3 12 益 當且僅當 相組包即S 21673時等號成立，此時,、S答：選取 AM的長為12米或18米時總造價T最低.【典例3】【遼寧省普通高中 2019-2020學年高三上學期學業(yè)水平測試數(shù)學試卷】如圖，某市擬在長為 8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y Asin x(A 0,0) , x 0,4的圖象，且圖象的最高點為 S(3,2j3);賽道的

19、后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定 MNP 120°.(1)求點M的坐標;(2)應如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長?【思路點撥】(1)利用圖象分別求得周期和 A的值，進而求得最后得到函數(shù)解析式，即可求得 M的坐標.(2)設(shè) PMN,利用正弦定理表示出 NP10.3 . sin3MN-n 60 3,即可表不出NP MN ,用兩角和差的正弦公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值解：(1)由題意知A 2J3, T4y 273sin -x .當 x 4 時，y 63, T -22 - 3 sin 3'-6 '3, M (4,3).(2)連接MP,如圖所示

20、.又 P(8,0) , MPJ( 4)2 32 5-在 AMNP 中，MNP 120 , MP 5.設(shè) PMN ，則 060 ,MP NP MNsin120 sin sin 6010 3NP -sin , MN 310 3sin 603NP MNin 60 310 331 .一sin 23cos 2"sin6036 6060120 ，10 3sin36010 .3330時，折線段賽道MNP最長.所以將 PMN設(shè)計為30時，折線段賽道 MNP最長.【典例4】【河北省邢臺市 2019-2020學年高三上學期第二次月考】。的直徑為300米，A為直徑延長線上的點，OA 300米,某生態(tài)農(nóng)莊有

21、一塊如圖所示的空地，其中半圓VABC，其中BC為斜邊.1若 AOB ；，求四邊形 OACB的面積;32現(xiàn)決定對四邊形 OACB區(qū)域地塊進行開發(fā)，將VABC區(qū)域開發(fā)成垂釣中心， 預計每平方米獲利10元,將VOAB區(qū)域開發(fā)成親子采摘中心，預計每平方米獲利20元，則當 AOB為多大時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大?【思路點撥】21計算 AOB 時VAOB和VABC的面積，求和得出四邊形 OABC的面積;2設(shè) AOB ,求出VAOB和VABC的面積和，得出目標函數(shù)的解析式，再求該函數(shù)取得最大值時對應 的值. 2解：1當 AOB 時， 311J3SVAOB -OA OB AOB 300 150 1

22、1250石（平萬米）； 222在VOAB中，由余弦定理得，AB2 OA2 OB2 2OA OBcos AOB 157500；12S7ABe AB 78750（平萬米）， 21125073 78750（平方米）;四邊形OABC的面積為0,-1 ，AOB 300 150 sin 22500sin ，2Sg邊形 OACB SVAOB SVABC2設(shè) AOB ,則1 一 所以 SVAOBOA OBsin2在VOAB中，由余弦定理得，AB2 OA2 OB2 2OA OBcos AOB 112500 90000cos ;c1r2SVABc AB 56250 15000cos , 2不妨設(shè)垂釣中心和親子中心

23、獲利之和為y元，則有 y 20SVAOB 10SVABC ；化簡得 y 450000sin56250 450000cos450000 V2sin562500 ；43因為 0,所以當 時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大. 4【典例5】【廣東省汕頭市金山中學 2018-2019學年高三上學期期末】汕頭市有一塊如圖所示的海岸，OA, OB為岸邊，岸邊形成120角，現(xiàn)擬在此海岸用圍網(wǎng)建一個養(yǎng)殖場，現(xiàn)有以下兩個方案：方案l：在岸邊OA, OB上分別取點E, F ,用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形EOF （ EF為圍網(wǎng)）方案2：在 AOB的平分線上取一點 P,再從岸邊OA,OB上分別取點 M ,

24、 N，使得 MPO NPO用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成四邊形 PMON （ PM , PN為圍網(wǎng)）.記三角形EOF的面積為S,四邊形PMON的面積為S2.請分別計算S, S2的最大值，并比較哪個方案好.【思路點撥】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面積最值，方案2中，利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積最值，然后比較大小，即可得哪種方案好解：方案 1：設(shè) OE a km, OF b km ,在 EOF中，由余弦定理得：EF2 OE2 OF22OE OF cos EOF，即12b2 2ab cos -3 1b2 a b2abab3ab （當且僅當ab 立時等號成立）3 Si1absin

25、2312（當且僅當ab 時等號成立）3一、3°-S取大值為km .12方案2：在 MPO中，由正弦定理得:POsin PMOPOsin POM sin 1201_2_sin 60PO 旦in3120,S2 PM PO sin立sin 120 6sin13 ''3 sinsin sin2621. 2cos -sin23 ,3 .1 cos 2sin 21222二 &in2 1cos2312 22243 sin 212,333.362412 24 -8(當且僅當不時等號成立)，與最大值為 吏km2, g Y3, 方案2好. 38128【典例6】【江蘇省蘇州市 20

26、19-2020學年高三上學期期中數(shù)學試題】如下圖所示，某窯洞窗口形狀上部是圓弧CD ,下部是一個矩形 ABCD ,圓弧CD所在圓的圓心為 O,經(jīng)測量AB 4米，BC Y3米， COD 120，現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形EFGH ,其中3E, F在邊AB上，G, H在圓弧CD上.設(shè) OGF ,矩形EFGH的面積為S.(1)求矩形EFGH的面積S關(guān)于變量 的函數(shù)關(guān)系式;(2)求cos為何值時，矩形 EFGH的面積S最大？【思路點撥】EFGH的面積S關(guān)于變量。的函數(shù)關(guān)系式;S 0時的cos的值，三角計算即可得出結(jié)(1)結(jié)合幾何圖形計算的直角三角形勾股定理，找出矩形(2)對S關(guān)于變量。的函數(shù)

27、關(guān)系式進行求導思路點撥，算出果.解：(1)如圖，作OP CD分別交AB , GH于M, N,由四邊形 ABCD, EFGH是矩形，O為圓心，COD 120 ,所以 OM AB, ON GH , P, M, N 分別為 CD , AB , GH 中點， CON 60 ,在 Rt COP 中，CP2, COP60 ，所以 OC 4J3, OP3所以O(shè)M OPPMOPBC在Rt ONG中,GONOGF所以GN4V3sin 3ON4V3 cos 3所以GH2GN3 3 3 sin3GF MN ONOM443 cos3所以GF GH一 3 cos 3一 3 sin 38一 (4cos 31)sin所以S

28、關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為:8- (4cos31)sin9?(2)由（1）得:8- 4cos324sincos因為9?所以cos28cos cos160,，且 cos 03112916'0,即S在0, 0單調(diào)遞增,S 0,得0，即S在 0,一單調(diào)遞減33所以當 0時，S取得最大值，所以當cos 1 9時,矩形EFGH的面積S最大. 16【典例7】在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O （如圖）的東偏南2（cos ；1）萬向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北 45萬向移動，臺風侵襲的氾圍為圓形區(qū)域，當前半徑為 60km,并以10km/h的速度不斷增大，問

29、幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲?【解析】設(shè)在t時刻臺風中心位于點Q,此時|OP|=300, |PQ|=20t,北臺風侵襲范圍的圓形區(qū)域半徑為10t+60,由cos 2 ,可知sin10.1 cos27 .2"Tc-，cos/ OPQ=cos( -45o)= cos 0cc 4coS+5in 0 sin45 一5在4PQ中，由余弦定理,|OQ|2 |OP|2|PQ|22|OP| |PQ|cos OPQ= 3002 (20t)22 30020t2=400t9600t90000若城市O受到臺風的侵襲,則有|OQ|Wr(t)即2400t2 9600t 90000(10t整理，得t2 36t

30、 2880,解得 12<t<24,答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲【針對訓練】1.【江蘇省徐州市2019屆高三上學期期中質(zhì)量抽測數(shù)學試題】1km的扇形EAF ,中心角某地擬規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域I）設(shè)計成半徑為EAF-.為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域H）和休閑區(qū)（區(qū)域出)，并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴建成正方形ABCD,其中點E, F分別在邊BC和CD上.已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10 萬元、20萬元、20 萬元.(1)要使觀賞區(qū)的年收入不低于 5萬元，求 的最大值;(2)試問：當 為多少時，年總收入最大?

31、【思路點撥】(1)由 AF AE 1, AD AB , D花B 一,所以 ADF與ABE全等. 2可得 DAF1 BAE2兀 . 一 ,根據(jù)面積公式,2 1可求得觀賞區(qū)的面積為 g 2 -DF ?AD21一 cos ，2要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求 41(2)由題意可得種植區(qū)的面積為 & - AF AE入為W( )萬元，則1 ,解不等式即可求出結(jié)果.20 412 1 sin 一 一，正萬形面積為 S AD ,設(shè)年總收22W( ) 10s 20Sn 20Sm 10 10sin5 ,利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，即可求出結(jié)果【解析】(1) AF AE 1, AD AB , D花

32、B 一，所以 ADF與ABE全等. 2_1 冗，,一，所以 DAFBAE ，觀賞區(qū)的面積為2 21111Sn 2 DF ?AD sin DAF ?cos DAF sin 2 DAF sin -cos22222.一 51_1兀 兀 兀的年收入不低于5萬兀，則要求Sn一，即cos 一 ,結(jié)合一一可知一2042424大值為.31 1(2)種植區(qū)的面積為 Si AF AE , 一,2 2,要使得觀賞區(qū)花一,則的最3正方形面積為S AD2 cos2 DAF1 cos2 DAF1 sin設(shè)年總收入為W()萬元，則W( ) 10s 20Sn 20Sm 10s 20(S S) 5201 sin10 10sin

33、-. TTTT_其中-求導可得 W( ) 10cos 5.42, 冗冗冗當 時，W( ) 0 , W()遞增；當433時，W( ) 0, W()遞增. 2 冗 .所以當 時 W()取得最大值，此時年總收入最大 32.【河北省衡水市深州市長江中學2019-2020學年高三上學期12月月考數(shù)學】如圖，有一塊邊長為1 (百米)的正方形區(qū)域 ABCD.在點A處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角PAQ始BC , CD 上)，設(shè) BP= t (百米).終為45 (其中點P, Q分別在邊(1)用t表示出PQ的長度，并探求 CPQ的周長l是否為定值;(2)設(shè)探照燈照射在正方形 ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為 S (平方

34、百米)，求S的最大值.【思路點撥】(1)求出CP 1 t ,設(shè) PAB ,表示出DQ和CQ ,由勾股定理即可求出 PQ ,再求出周長L,即 可判斷是否為定值；(2)由S SE方形 ABCD S ABP S ADQ 求出面積S,由基本不等式即可求出面積的最大值.解：(1)由 BP t,得 CP 1 t , 0 t 1 ,設(shè) PAB,則 DAQ 451 tt2t22DQ tan 45, CQ 1 1二，PQ JcP2 CQ21 t1 t 1 t(1 t)222t1 t2CP CQ PQ2t1 t2(2)SE方形 ABCDS ABPS ADQ1t 21由于1 t時等號成立,故探照燈照射在正方形ABC

35、D內(nèi)部區(qū)域的面積S最大為2J2平方百米.,已知某摩天輪3.如圖，摩天輪上一點 P在t時刻距離地面高度滿足y Asin（ t的半徑為50米，點。距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每 3分鐘轉(zhuǎn)一圈，點P的起始位置在摩天輪的最低點處.（1）根據(jù)條件寫出y （米）關(guān)于t （分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點P距離地面超過【解析】，一2（1）由題設(shè)可知 A 50, b 60,又T 3,所以 2，從而>'=50皿=力+ 中） + 80 3-再由題設(shè)知t 0時y 10 ,代入= 50sin（一工+中）+ 60 ,得血卡=一, 丁.27r 人從而。=一一，因此 下 二

36、 60 50cs 丁心"> 0）；23(2)要使點P距離地面超過85米，2 1則有 v=60-50co5f>85 ,3即 ".一，.一 ,：.，；：- 1 ,323解得主二主jc三,即：14£2 ,333所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點P距離地面超過85米的時間有1分鐘.如圖，在VABC中，已知AB 1,BC4.【山西省長治市第二中學 2019-2020學年高三11月月考】2, ABC 60 , M為BC中點，巳F分別為線段AB, AC上動點(不包括端點)，記 EMB(1)當 EM FM 時，求證：EM 73FM ;(2)當 EMF 60時，求四邊形 A

37、EMF面積S關(guān)于 的表達式，并求出 S的取值范圍.【思路點撥】(1)用余弦定理和勾股定理逆定理證得ABC是直角三角形，然后用正弦定理求得 EM,FM后可證結(jié)論成立；(2)用正弦定理求出 BE,CF ,求出 BEM和 CFM的面積，四邊形 AEMF的面積就等于直角三角形ABC的面積減去這兩個三角形的面積，從而得S(的單調(diào)性，得其取值范圍.解：(1)在VABC中，根據(jù)余弦定理得 AC2 1故 BC2 AB2 AC2,因此 BAC 90 , ACBBM當EM FM時，在4BEM中，.”sin 60 ._兀),在直角三角形中得出 0< 9<一，用導數(shù)可求得S() 34 2 12 cos60

38、 3,30 .EMsin60 '即EMsin60sin 603 cos sin '在 ACFM 中，CMF90CFM60CM,sin 60FMsin30，sin 30即FM - sin 601.3 cos sin故 EM 、3FM(2)當 EMF60時,在zBEM中,BE sinBEsinsin 60sin 60在ACFM中,CMF120, CFM 30CF,sin 120sin 30sin 120即CF.sin 30，一 一 11 一 .一故 SVBEM SVCFMBE sin60 CF sin30221. 3sinsin1204sin 60sin30=173sinsin12

39、04 sin 60sin303 2 1 8s24、3 2sin2所以四邊形AEMF面積S()、3SvBEMSVCFM、31cos2 1-0.42.3 2sin23S()0,2(cos2_1)3sin2(“3 2sin2 )2故S()在0,-上單調(diào)遞減，S(0),-,S -，34385 .平潭國際 花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y (米)是隨著一天的時間t0 t 24,單位小時 呈周期性變化，某天各時刻 t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表:t03691215182124y1.52. 41.50. 61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)

40、據(jù)畫出散點圖(坐標系在答題卷中).觀察散點圖，從 y Asin t ， y Acos t b, y Asin t b(A 0,0,0)中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的518時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(jù)(1)中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全【思路點撥】(1)先畫出散點圖，可知選作為函數(shù)模型，同時可求出各參數(shù), max min 八 max min .2代入最值點可求b, A,T -229 .3(2)由(1)知：y sin t 一，令y 1.05,結(jié)合t的范圍5 t 18,

41、可解得5 t 7或11 t 18 1062解：(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示:依題意，選y Acos tb做為函數(shù)模型,2.4 0.6A 22910'2.4 0.6 3T 12 2y Icos -t106又Q函數(shù)圖象過點(3,2.4),即 2.49 cos10cos 一 21,sin1；0,9cos10-t 6sin2 10(2)由(1)知：，1.05 ,10sin2k12k又Q59即一sin101.05-t 2k 6t 12k187或11 t，這一天可以安排早上185點至7點以及11點至18點的時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全6.在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時間相距

42、12h,低潮時水的深度為 8.4m,高潮時為16m, 一次高潮發(fā)生在10月10日4:00,每天漲潮落潮時，水的深度 d(m)與時間t(h)近似滿足關(guān)系式d Asinh A 0,0,(1)若從10月10日0:00開始計算時間，選用一個三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系.（2） 10月10日17:00該港口水深約為多少？（精確到0.1m）（3）10月10日這一天該港口共有多長時間水深低于10.3m?【思路點撥】（1）設(shè)d Asin th ,利用低潮時入口處水的深度為8.4m ,高潮時為16m ,求出h, A,利用兩次高潮發(fā)生的時間間隔12h,求出周期，從而求出，再求

43、出 ，即可得到這個港口的水深 d m和時間t h之間的函數(shù)關(guān)系；（2） 10月10日17:00,t 17 ,代入解析式即可求出水的深度；（3）解不等式 d 3.8sin t 612.2 610.3,即可求出10月10日這一天該港口共有多少時間水深低于10.3m.解析：（1）依題意知T =12,= 12.2,A= 16-12.2 = 3.8,所以 d= 3.8si-y/+ +12.2.又因為t=4時，d=16,所以 sin（M+1,所以(f)= ,所以 d= 3.8sin(+ 12.2.(2)t=17 時,d= 3.8sin)7 Ji 工-1+ 12.2 = 3.8sin+ 12.2 = 15.

44、5(m)<-n,一 了龍 工 工 一因此 2k %+：< _-t-'：r< 2k tt+ b 6 b(3)令 3.8sin GhV)+ 12.2v 10.3,有 sin ：一 一、，調(diào) 兀 _ 一(kC Z),所以 2k7t+ <1< 2kjt+ 2兀，kC 乙 J h所以 12k+8vtv12k+12.令 k=0,得 tC(8,12)；令 k= 1,得 te (20,24).故這一天共有 8 h水深低于 10.3 m.7.【河北省衡水中學 2019屆高三上學期六調(diào)考試】如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地OAB,其中OA 3km, OB 373km, AOB 90o.當?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點， 擬在中間挖一個人工湖 OMN，其中M , N都在邊AB上，且 MON 30°, 挖出的泥土堆放在 OAM地帶上形成假山，剩下的 OBN地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在 OAN 的周圍安裝防護網(wǎng).3(1)當AM km時，求防護網(wǎng)的總長度；2(2)為節(jié)省投入資金，人工湖 OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使 OMN的面積最小?最小面積是多少？【思路點撥】(1)證明 OAN為正三角形，可得OAN的周長為9,即防護網(wǎng)的總長度為 9km；(2)設(shè) AOM=,在 OAM和 OAN中使用正弦定理求