彈性力學(xué)切應(yīng)力大作業(yè)

1、彈性力學(xué)1題目請(qǐng)分別用極坐標(biāo)系下的半逆解法和有限元方法解答圖中平面薄板在周邊剪切荷載作用下的應(yīng)力集中問(wèn)題；并比較應(yīng)力分布及應(yīng)力集中系數(shù)的解析解和數(shù)值解2彈性力學(xué)解答【解】求出兩個(gè)主應(yīng)力，即口L(Jj+OvICfx-Oji,-±J(-十Tw二2V2應(yīng)力分量口原來(lái)的問(wèn)題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布?jí)毫,如圖所示:=qu產(chǎn)-qt學(xué)=0代入坐標(biāo)變換式，得到邊界上的邊界條件(t)p=-sin2(p(a)(b)（c）（d）Op為p的某一函數(shù)乘以COS即而【學(xué)為P的Op在孔邊，邊界條件是（0京一=0（0pcjp=F=0由邊界條件式（a）、（b）、（c）、（d）可見(jiàn)，用半逆

2、解法時(shí)，可假設(shè)另一函數(shù)乘以而=dpP那因此可假設(shè)將(e)式代入相容方程得cos巾=/(p)cos2(p(e)d4p)Jd力p)9d7(p)9d<(p)十一十dp，pdpp*dp1p1dpdp°刪去因子cos2fp以后，求解這個(gè)常微分方程，得，3D/(p)=Ap4+BpJ+C+-P，其中A,B,C,D為待定常數(shù)，代入式(e),得應(yīng)力函數(shù)4aD甲-J.-'-(f)p.由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式4C6D/=-cos2cp(2B+-+),p-P6D5=cos2tp(12Ap1+2B+),P32C6DTpifsm2(p(6Ap+2B)oPP將上述式代入應(yīng)力邊界條件(g)(h)(

3、i)(j)42,口nn4C60由式(a)得28+1+=-q.KRa/口“2C60由式(b)付n.-.；)-及於4,口rn4c6D八.由式(c)得_j:一一一口，fr由式(d)得.，？一二B二2一”.24trrc聯(lián)立求解式(g)(j),并命*0,得R,/=0,E=-C=qr12將各式系數(shù)值代入應(yīng)力分量的表達(dá)式得(22r尸0p=geos2中(1r)ip-P4r*5=-qcos2(p(l+3)，PTn?=Tw=-gsin卸。-)(1+3IPP沿著孔邊p7,環(huán)向正應(yīng)力是d,=-4?cos2(po它的幾個(gè)重要數(shù)值如下表所示：表i不同角度處的應(yīng)力值0。30。45。60。90。沿著y軸，（p-90，環(huán)向正應(yīng)

4、力是0卬=q（1+j-P它的幾個(gè)重要數(shù)值如下表所示。表2距孔處不同距徑處的應(yīng)力值Pr2r4rSr5L畋1.037L叫可以看出應(yīng)力在孔邊達(dá)到均勻拉力的4倍，但隨著遠(yuǎn)離孔邊而急劇趨近于q。3基于PDE求解結(jié)果有限元法是一種將連續(xù)體離散為有限大小單元體的集合，用以求解連續(xù)體力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法，有限元法具有求解精度高、通用性強(qiáng)等特點(diǎn)。3.1 數(shù)值分析模型計(jì)算模型為長(zhǎng)寬均為2mm中間開(kāi)一半徑為0.2mm的圓孔的薄板，薄板的楊氏模量為1*103Mpa,泊松比為0.3。1.建立如下的幾何模型，拉壓應(yīng)力均為1。2）劃分網(wǎng)格q3）求解結(jié)果將理論解與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比從上圖可以看出，雖然理論解與數(shù)值解之間存在一定的誤

5、差，主要是由于PDE建模時(shí)的諸多因素如網(wǎng)格密度、約束條件簡(jiǎn)化等引起的，但總的來(lái)說(shuō)沿孔邊的軸向正應(yīng)力的理論解和PDE計(jì)算的數(shù)值解擬合的很3.2其它計(jì)算模型1.改變計(jì)算模型，薄板的尺寸不變，改變中心圓孔半徑，分別為0.5mm和0.7mm,材料參數(shù)不變。1）孔徑為0.5的計(jì)算模型2）孔徑為0.7的計(jì)算模型2.理論解與數(shù)值解對(duì)比X方向應(yīng)力柒中屎散從上圖可以看出，在改變小孔半徑之后，理論解與數(shù)值解存在明顯差距，主要是因?yàn)榭卓诔叽缗c薄板尺寸接近，彈性力學(xué)小孔應(yīng)力計(jì)算方法已不適合該情況。同時(shí)對(duì)比pde計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，小孔的尺寸的大小顯著影響孔口應(yīng)力集中系數(shù)，直徑越大，應(yīng)力集中越明顯。4誤差分析產(chǎn)生誤差的原

6、因有：1. 計(jì)算原理產(chǎn)生的誤差有限元計(jì)算本身就是一種簡(jiǎn)化近似計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中由于一些條件的簡(jiǎn)化，以及一些假設(shè)，使得計(jì)算結(jié)果與理論值有差別。2. 模型的簡(jiǎn)化產(chǎn)生的誤差本例實(shí)際是模擬一種小孔處應(yīng)力集中現(xiàn)象，而在建模時(shí)，為了能夠清楚看到洞口邊應(yīng)力應(yīng)變變化，所以小孔選取較大，而整個(gè)模型本該延伸無(wú)限遠(yuǎn)處，所以這些造成模型簡(jiǎn)化誤差。3. 網(wǎng)格劃分誤差有限元軟件計(jì)算的重要步驟就是劃分網(wǎng)格，一般而言網(wǎng)格劃分越密結(jié)果精度越高，但實(shí)際中考慮到經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，在一些我們不需要過(guò)多信息的地方我們選取粗網(wǎng)格，這也在一定程度上產(chǎn)生誤差。4. 結(jié)果選取誤差由于關(guān)鍵部位網(wǎng)格劃分較密，在選取結(jié)果時(shí)，只能選取在較近處的值，在比較積分點(diǎn)處的值由于網(wǎng)格差異積分點(diǎn)也會(huì)有一定的出入。6結(jié)論本次作業(yè)通過(guò)對(duì)小孔處應(yīng)力集中現(xiàn)象的彈性力學(xué)有限元不同方法的模擬計(jì)算能得出如下結(jié)論：1 .彈性力學(xué)通過(guò)幾何方程，物理方程，力學(xué)平衡方程和邊界條件能夠很好地求解問(wèn)題的理論解。2 .彈塑性力學(xué)中，將帶圓孔平板受雙向?qū)ΨQ拉壓力的問(wèn)題，近似為平面應(yīng)力問(wèn)題。通過(guò)彈性力學(xué)分析得到，孔邊切向應(yīng)力be在0=±90°時(shí)最大,為4q。當(dāng)0=±90°時(shí)，e隨r