小學(xué)數(shù)學(xué)校本教材.

1、目錄.2.5.81142163.18120229.35.41第一講中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽劉徽-簡(jiǎn)介劉徽九章算術(shù)劉徽（生于公元 250 年左右），是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算術(shù)注和海島算經(jīng)，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。九章算術(shù)約成書于東漢之初，共有246 個(gè)問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn) 他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。在代數(shù)方面

2、，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法在幾何方面，提出了 " 割圓術(shù) " ，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法 他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率 3.14 的結(jié)果。他用割圓術(shù)，從直徑為 2 尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓， 依次得正 12 邊形、正 24 邊形 ，割得越細(xì)，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼?jì)算了 3072 邊形面積并驗(yàn)證了這個(gè)值劉徽提出的計(jì)算圓周率的科學(xué)方法， 奠定了此后千余年中國(guó)圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位。劉徽在數(shù)學(xué)上

3、的貢獻(xiàn)極多， 在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致， 它不僅是圓周率精確計(jì)算的必要條件， 而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生； 在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡(jiǎn)便的互乘相消法， 與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問題”； 他還建立了等差級(jí)數(shù)前 n 項(xiàng)和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念： 如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負(fù)數(shù)等等劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提。他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把九章算術(shù)及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注九章算術(shù)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)

4、知識(shí)實(shí)際上已經(jīng)形成了一個(gè)獨(dú)具特色、包括概念和判斷、 并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系劉徽在割圓術(shù)中提出的 " 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣 " ，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作海島算經(jīng)一書中，劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目劉徽思想敏捷，方法靈活， 既提倡推理又主張直觀他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生他雖然地位低下，但人格高尚他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。第二講法國(guó)數(shù)學(xué)家勒內(nèi)笛卡爾勒內(nèi)&

5、#183;笛卡爾勒內(nèi)·笛卡爾（ ReneDescartes ，1596 1650），著名的法國(guó)哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。 笛卡爾常作笛卡兒， 1596 年 3 月 31 日生于法國(guó)安德爾 - 盧瓦爾省笛卡爾 -1650 年 2 月 11 日逝于瑞典斯德哥爾摩）。 他對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。 他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張。 他的哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學(xué)。人物簡(jiǎn)介笛卡爾出身于一個(gè)地位較低的貴族家庭，父親是布列塔尼議會(huì)的議員。 1 歲多時(shí)母親患肺結(jié)

6、核去世，而他也受到傳染，造成體弱多病。母親去世后，父親移居他鄉(xiāng)并再婚，而把笛卡爾留給了他的外祖母帶大，自此父子很少見面，但是父親一直提供金錢方面的幫助，使他能夠受到良好的教育。在他 8 歲時(shí)笛卡爾就進(jìn)入拉夫賴士(La Flèche)的耶穌英語會(huì)學(xué)校接受教育，受到良好的古典學(xué)以及數(shù)學(xué)訓(xùn)練。1613 年到普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1616 年畢業(yè)。畢業(yè)后笛卡爾一直對(duì)職業(yè)選擇不定，又決心游歷歐洲各地，專心尋求“世界這本大書”中的智慧。因此他于1618 年在荷蘭入伍，隨軍遠(yuǎn)游。笛卡爾對(duì)數(shù)學(xué)的興趣就是在荷蘭當(dāng)兵期間產(chǎn)生的。一次他看到軍營(yíng)公告欄上用佛萊芒語寫的數(shù)學(xué)問題征答引起了興趣，并且讓一位他當(dāng)兵的

7、朋友，進(jìn)行了翻譯。他的這位朋友在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面有很高造詣，很快成為了他的老師。 4 個(gè)月后，他寫信給這位朋友， “你是將我從冷漠中喚醒的人 . ，”并且告訴他，自己在數(shù)學(xué)上有了 4 個(gè)重大發(fā)現(xiàn)?？上У氖沁@些發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在已經(jīng)無從知道了。26 歲時(shí)，笛卡爾變賣掉父親留下的資產(chǎn)，用4 年時(shí)間游歷歐洲，其中在意大利住了2 年，隨后定居巴黎。1621 年笛卡爾退伍，并在1628 年移居荷蘭，在那里住了20多年。在此期間，笛卡爾專心致力于哲學(xué)研究，并逐漸形成自己的思想。他在荷蘭發(fā)表了多部重要的文集，包括了方法論、形而上學(xué)的沉思(Méditations mtaphysiques)é 和哲學(xué)

8、原理(LesPrincipes de la philosophie)等。1649年笛卡爾受瑞典女王之邀來到斯德哥爾摩，但不幸在這片 “熊、冰雪與巖石的土地”上得了肺炎，并在1650年2 月去世。1663年他的著作在羅馬和巴黎被列入禁書之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是為了對(duì)當(dāng)時(shí)在法國(guó)流行起來的牛頓世界體系提供一個(gè)替代的東西。第三講速算與巧算一、知識(shí)要點(diǎn)：（一）四則運(yùn)算的定律、性質(zhì)、法則是進(jìn)行速算與巧算的重要依據(jù)。1、利用運(yùn)算定律使計(jì)算簡(jiǎn)便。2、利用運(yùn)算順序的改變使計(jì)算簡(jiǎn)便。3、利用運(yùn)算法則使計(jì)算巧妙。（二）轉(zhuǎn)化是速算與巧算的主要技巧。1、當(dāng)一個(gè)數(shù)接近整十、整百、整千 的時(shí)候，將其轉(zhuǎn)化為整

9、十、整百、整千的數(shù)，計(jì)算比較簡(jiǎn)便。2、利用數(shù)的分解或拆數(shù)，轉(zhuǎn)化后巧算。3、改變計(jì)算方法（變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）使計(jì)算簡(jiǎn)便。（三）認(rèn)真觀察算式及數(shù)的特征，剖析數(shù)于數(shù)之間的關(guān)系，是靈活的選擇和合理運(yùn)用計(jì)算技巧的主要方法。二、例題精講例 1：（湊整法） 計(jì)算下面各題。（ 1）、5.82.32 0.68 4.2（ 2）、1999199.9 19.99 1.999（ 3）、12.59 3.24 5.76（ 4）、8.1 7.8 8.2 8.4 7.9 7.6【思路點(diǎn)撥】（ 1）5.8 與 4.2 剛好湊成 10，2.32 與 0.68 剛好湊成 3，這樣湊整可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。（ 2）19

10、99 接近 2000，其余各加數(shù)也分別接近一個(gè)整數(shù)，可先把各加數(shù)看作與它接近的整數(shù)。再把多加的那部分減去。（ 3）3.24 與 5.76 的和是整數(shù) 9，可以運(yùn)用減法運(yùn)算的性質(zhì)把原式變?yōu)?12.59 （ 3.24 5.76 ），這樣計(jì)算就簡(jiǎn)便了。（ 4）算式中的 6 個(gè)數(shù)都接近 8，可以用 8 作為基準(zhǔn)數(shù)，先求出 6 個(gè) 8 的和，再加上比 8 大的數(shù)中少加的部分， 減去比 8 小的數(shù)中多加的部分。也可以運(yùn)用湊整法。例 2：（分解法）計(jì)算下面各題（ 1）18×5.5（2）8.88 ×1.25（3）34.7 ×0.25（ 4）238÷1.25 （5）0.2

11、5 ×12.5 ×3.2【思路點(diǎn)撥】（ 1） 運(yùn)用分解法巧算。把 18 分解為 9×2，然后運(yùn)用乘法結(jié)合律，把 2×5.5 結(jié)合積為 11，最后求出 9 與 11 的積。（ 2）把 8.88 分解為 8×1.11 ，然后運(yùn)用乘法結(jié)合律。（ 3）因?yàn)?4×0.25=1 ，所以一個(gè)數(shù)乘 0.25 ，就相當(dāng)于這個(gè)數(shù)除以 4. （4）因?yàn)?8×1.25=10 ，所以一個(gè)數(shù)除以 1.25 ，相當(dāng)于這個(gè)數(shù)除以 10，再乘 8，即先把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，再乘 8.（ 5）把 3.2 分解為 4×0.8 ，再運(yùn)用乘法結(jié)合律 。例

12、3：計(jì)算（ 1）124.68 324.68 524.68 724.68 924.68（ 2）5795.5795 ÷5.795 ×579.5【思路點(diǎn)撥】（1）可運(yùn)用拆分法巧算。把每一個(gè)加數(shù)都拆分為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)小數(shù)的和，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。（ 2）運(yùn)用改變運(yùn)算順序法使計(jì)算簡(jiǎn)便。 ，先求出 579.5 除以 5.795 的商得 100，然后再求出 5795.5795 ×100 的積。例 4：計(jì)算下面各題。（ 1）1990×198.9 1989×198.8（ 2）2.25 ×0.16 264×0.0225 5.2 ×2.25

13、 0.225 ×20【思路點(diǎn)撥】（1）利用擴(kuò)縮法巧算。根據(jù)積的變化規(guī)律：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變的道理，可以把被減數(shù)寫成 199×1989，然后利用乘法分配律巧算。（ 2）同樣利用擴(kuò)縮法簡(jiǎn)便計(jì)算，注意選擇最佳方案。例 5：計(jì)算：（ 10.28 0.84 ）×（0.28 0.84 0.66 ）（10.28 0.84 0.66 ） ×（ 0.28 0.84 ）【思路點(diǎn)撥】可以利用設(shè)數(shù)法解題。 整個(gè)式子是乘積之差的形式，兩個(gè)乘積斗的構(gòu)成很有規(guī)律：如果把 1 0.28 0.84 用字母 A 表示，把 0.28 0.84 用字母 B表示

14、，原式就可以變成 A×（ B0.66 ）（A 0.66 ） ×B。在運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。例 6：計(jì)算 4.82 ×0.59 0.41 ×1.59 0.323 ×5.9【思路點(diǎn)撥】先改變?cè)\(yùn)算順序（加法交換律），先求出 4.82 ×0.59與 0.323 ×5.9 的差，可運(yùn)用擴(kuò)縮法把0.323 ×5.9 寫成 3.23 ×5.9,后運(yùn)用乘法分配律計(jì)算，然后再加上0.41 ×1.59 ，再次運(yùn)用乘法分配律巧算。例 7：計(jì)算 654321×123456654322×1234

15、55.【思路點(diǎn)撥】觀察算式中數(shù)的特點(diǎn)， 發(fā)現(xiàn)被減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)分別比減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)少1 和多 1，即 654321 比 654322 少 1,123456 比123455 多 1，可以利用乘法分配律簡(jiǎn)算。解： 654321×123456654322×123455=654321×（ 1234551） （ 6543211）× 123455=654321×123455654321654321×123455123455=654321123455=530866例 8：計(jì)算 1998×1999199919991999×199

16、819981998【思路點(diǎn)撥】可以運(yùn)用數(shù)的分解和乘法分配律簡(jiǎn)算。因?yàn)閍bab=ab×101,abcabc=abc ×1001, 所以 199919991999=1999× 100010001,199819981998=1998×100010001.這樣被減數(shù)和減數(shù)都有相同因數(shù) 100010001，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算了。解： 1998 ×1999199919991999×199819981998= 1998 ×1999×1000100011999×1998×100010001 =0例 9

17、：計(jì)算（ 135 1999） （ 246 1998）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)減法的性質(zhì)，將原式拆開后，在配對(duì)組合，進(jìn)行等量變形。即（ 32）為一組，（54）為一組 （ 19991998）為一組，這樣每組的差都是 1，共分為（1998÷2）組，所以結(jié)果為 1000. 當(dāng)然本題也可以運(yùn)用等差數(shù)列求和的方法進(jìn)行計(jì)算。例 10：計(jì)算 10099989796959493 8765 4321.【思路點(diǎn)撥】本題按順序計(jì)算太繁，觀察算式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)數(shù)相加后，又會(huì)減去兩個(gè)數(shù)，我們可以考慮把它們四個(gè)數(shù)分為一組，每組結(jié)果都是 4，共分為 100÷4=25 組。所以結(jié)果是 4×25=100

18、.三、同步練習(xí)計(jì)算下面各題（ 1） 0.125×0.25 ×32（ 2）16×4.5（ 3） 0.25 ×1.25 ×22.4（ 4）0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999（ 5）（72×357357×28）÷（ 51×7×4）（ 6）98989898×99999999÷1010101÷11111111（ 7）3.14 ×6.5 4.5 ×3.14 3.14（ 8）1240×3.8 124×511.24 &

19、#215;1400760×9.6 0.76 ×700（ 9）1÷（2÷3） ÷（3÷4）÷（4÷5） ÷ ÷（ 1999÷2000）123456 9899100100（ 10）（258 2000） （ 147 1999）20112012×2012201120112011×2012201211123456789101112131415161985198619871988198919901991199219931994第四講平面圖形的面積（1 ）一、例題精講例 1已知平

20、行四邊形的面積是28 平方厘米，求陰影部分的面積。5厘米4厘米【思路點(diǎn)撥】4 厘米既是平行四邊形的高，也是陰影三角形的高，平行四邊形的面積是 28 平方厘米，它的底為 28÷4=7（厘米），平行四邊形的底減去 5 厘米就是三角形的底， 7-5=2（厘米）。根據(jù)三角形的面積公式直接求出陰影部分的面積。技巧的面積最直接的方法是利用計(jì)算公式直接求陰影面積；還可以用總面積減去空白面積求得陰影部分面積。這兩種是最常用最簡(jiǎn)便的方法。二：同步精練1. 下面的梯形中， 陰影部分的面積是 150 平方厘米，求梯形的面積。15 厘米25 厘米2已知平行四邊形的面積是48 平方厘米，求陰影部分的面積。5

21、厘米6厘米3如果用鐵絲圍成如下圖一樣的平行四邊形，需要用鐵絲多少厘米？（單位：厘米）912第五講平面圖形的面積（2 ）一、例題精講例 2 下圖中甲和乙都是正方形， 求陰影部分的面積。（單位：厘米）GA甲C乙FB6E4【思路點(diǎn)撥】圖中的陰影部分是一個(gè)三角形， 它的三條邊的長(zhǎng)都不知道，三條邊上的高也不知道。所以，無法用公式計(jì)算出它的面積。仔細(xì)觀察本題的圖，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果延長(zhǎng) GA 和 FC，它們會(huì)相交（設(shè)交點(diǎn)為 H），這樣就得到長(zhǎng)方形 GBFH（如下圖），它的面積很容易求，而長(zhǎng)方形 GBFH 中除陰影部分之外的其他三部分（ AGB 、 BFC 及 AHC ）的面積都能直接求出。二、同步練習(xí)1、

22、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米）43432、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米）8585第六講平面圖形的面積（3）一、例題精講例 3如圖所示：，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6 平方厘米，求 CE的長(zhǎng)度。A4厘米D甲4厘F米乙BCE【思路點(diǎn)撥】題目中告訴我們，甲三角形的面積比乙三角形的面積大 6 平方厘米，即甲- 乙=6（平方厘米），而甲和乙分別加上四邊形ABCF后相減的結(jié)果還是 6 平方厘米，即： 甲- 乙=6（平方厘米）（甲 +四邊形 ABCF）- （乙 +四邊形 ABCF）=6（平方厘米）即：正方形 ABCD-ABE=6（平方厘米）這就是說正方形 ABCD的面積比三角形 A

23、BE的面積大 6 平方厘米。用正方形的面積減去 6 就得到三角形 ABE的面積，再用三角形的面積乘以 2 再除以 AB，就得到 BE的長(zhǎng)度，從而求出 CE的長(zhǎng)度。同步練習(xí)1 、四邊形 ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為 10 厘米，寬 6 厘米的長(zhǎng)方形，三角形 ADE的面積比三角形 CEF的面積大 10 平方厘米。求 CF的長(zhǎng)是多少厘米？FEDCAB2、正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是 12 厘米，已知 DE是 EC長(zhǎng)度的 2 倍，求：（1）三角形 DEF的面積。AD（2）CF的長(zhǎng)。EBFC第七講：邏輯推理（ 1）一、知識(shí)要點(diǎn)四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過用列表法和假設(shè)法解答邏輯推理問題。 從廣義上說，任何一道數(shù)學(xué)題，任何一個(gè)思維

24、過程，都需要邏輯分析、判斷和推理。我們這里所說的邏輯問題，是指那些主要不是通過計(jì)算，而是通過邏輯分析、判斷和推理，得出正確結(jié)論的問題。邏輯推理必須遵守四條基本規(guī)律：（ 1）同一律 。在同一推理過程中，每個(gè)概念的含義，每個(gè)判斷都應(yīng)從始至終保持一致，不能改變。（ 2）矛盾律 。在同一推理過程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)互相矛盾的判斷，至少有一個(gè)是錯(cuò)誤的。例如，“這個(gè)數(shù)大于 8”和“這個(gè)數(shù)小于 5”是兩個(gè)互相矛盾的判斷，其中至少有一個(gè)是錯(cuò)的，甚至兩個(gè)都是錯(cuò)的。（ 3）排中律 。在同一推理過程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)恰好相反的判斷必有一個(gè)是對(duì)的，它們不能同時(shí)都錯(cuò)。例如“這個(gè)數(shù)大于 8” 和“這個(gè)數(shù)不大于 8”是兩

25、個(gè)恰好相反的判斷， 其中必有一個(gè)是對(duì)的，一個(gè)是錯(cuò)的。（ 4）理由充足律 。在一個(gè)推理過程中，要確認(rèn)某一判斷是對(duì)的或不對(duì)的，必須有充足的理由。我們?cè)谌粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中，在思考、分析問題時(shí)，都自覺或不自覺地使用著上面的規(guī)則，只是沒有加以總結(jié)。例如假設(shè)法，根據(jù)假設(shè)推出與已知條件矛盾，從而否定假設(shè)，就是利用了矛盾律。在列表法中，對(duì)同一事件“”與“×”只有一個(gè)成立，就是利用了排中律。二、例題精講例 1 張聰、王仁、陳來三位老師擔(dān)任五（ 2）班的語文、數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)、體育六門課的教學(xué)，每人教兩門?，F(xiàn)知道：（ 1）英語老師和數(shù)學(xué)老師是鄰居；（ 2）王仁年紀(jì)最??；（ 3）張聰喜歡和體育老師、數(shù)

26、學(xué)老師來往；（ 4）體育老師比語文老師年齡大；（ 5）王仁、語文老師、音樂老師三人經(jīng)常一起做操。請(qǐng)判斷各人分別教的是哪兩門課程。分析與解 ：題中給出的已知條件較復(fù)雜， 我們用列表法求解。先設(shè)計(jì)出右圖的表格，表內(nèi)用“”表示肯定，用“×”表示否定。因?yàn)轭}目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應(yīng)有 2 個(gè)“”；因?yàn)槊块T課只有一人教， 所以每一豎列都只有 1 個(gè)“”，其余均為 “×”。由（3）知，張聰不是體育、數(shù)學(xué)老師；由（ 5）知，王仁不是語文、音樂老師；由（ 2）（4）知，王仁不是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下表。由（ 3）知，體育老師與數(shù)學(xué)老師不是一個(gè)人，即陳來不是

27、數(shù)學(xué)老師，推知王仁是數(shù)學(xué)老師；由（ 1）知，數(shù)學(xué)老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術(shù)老師。至此，得到右上表。由（ 4）知，體育老師陳來與語文老師不是一個(gè)人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（ 5）知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。所以，張聰教語文、英語，王仁教數(shù)學(xué)、美術(shù)，陳來教音樂、體育。以上推理過程中， 除充分利用已知條件外， 還將前面已經(jīng)推出的正確結(jié)果作為后面推理的已知條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個(gè) “”，每列只有一個(gè) “”，其余都是“×”這個(gè)隱含條件。例 1 的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選

28、取符合條件的結(jié)論，這種方法叫做 排他法。例 2 小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項(xiàng)，并分別在一小、二小、三小中的一所小學(xué)上學(xué)?，F(xiàn)知道：（1）小明不在一??；（2）小芳不在二小；（3）愛好乒乓球的不在三?。唬?）愛好游泳的在一?。唬?）愛好游泳的不是小芳。問：三人上各愛好什么運(yùn)動(dòng)？各上哪所小學(xué)？分析與解 ：這道題比例 1 復(fù)雜，因?yàn)橐袛嗳恕?學(xué)校和愛好三個(gè)內(nèi)容。與四年級(jí)第 26 講例 4 類似，先將題目條件中給出的關(guān)系用下面的表 1、表 2、表 3 表示：因?yàn)楦鞅碇?，每行每列只能有一個(gè)“”，所以表3 可補(bǔ)全為表4。由表 4、表 2 知道，愛好游泳的在一小，小芳不愛游泳，所以小芳不

29、在一小。于是可將表 1 補(bǔ)全為表 5。對(duì)照表 5 和表 4，得到：小明在二小上學(xué)，愛好打乒乓球；小芳在三小上學(xué)，愛好打羽毛球；小花在一小上學(xué)，愛好游泳。例 1、例 2 用列表法求解。下面，我們用分析推理的方法解例3、例 4。例 3 小說鏡花緣中有一段林之祥與多久公飄洋過海的故事。有一天他們來到了“兩面國(guó)”，卻忘記了這一天是星期幾。迎面見了“兩面國(guó)”里的牛頭和馬面。他們知道，牛頭在星期一、二、三說假話，在星期四、五、六、日說真話；馬面在星期四、五、六說假話，在星期一、二、三、 日說真話。牛頭說： “昨天是我說假話的日子。 ” 馬面說：“真巧，昨天也是我說假話的日子?！闭?qǐng)判斷這一天是星期幾。分析與

30、解 ：因?yàn)榕ｎ^、馬面只有星期日都說真話， 其它時(shí)間總是一個(gè)說真話，另一個(gè)說假話，所以這一天不是星期日，否則星期六都說假話，與題意不符。由題意知，這一天說真話的，前一天必說假話； 這一天說假話的，前一天必說真話。 推知這一天同時(shí)是牛頭、 馬面說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子。因?yàn)樾瞧诙?、三、五、六都不是說假話與說真話轉(zhuǎn)換的日子，所以這一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛頭由說真話變?yōu)檎f假話的日子，但不是馬面由說假話變?yōu)檎f真話的日子， 所以這一天也不是星期一；星期四是牛頭由說假話變?yōu)檎f真話的日子，也是馬面由說真話變?yōu)檎f假話的日子，所以這天是星期四。例 4 A ，B，C，D 四個(gè)同學(xué)中有兩個(gè)同學(xué)在假日為街

31、道做好事，班主任把這四人找來了解情況，四人分別回答如下。A：“ C，D兩人中有人做了好事?！盉：“ C做了好事，我沒做?！盋：“ A，D中只有一人做了好事?！盌：“ B 說的是事實(shí)?！弊詈笸ㄟ^仔細(xì)分析調(diào)查， 發(fā)現(xiàn)四人中有兩人說的是事實(shí)，另兩人說的與事實(shí)有出入。到底是誰做了好事？分析與解 ：我們用假設(shè)法來解決。 題目說四人中有兩人說的是事實(shí)，另兩人說的與事實(shí)有出入。注意，此處的“與事實(shí)有出入”表示不完全與事實(shí)相符，比如，當(dāng)B，C 都做了好事，或B，C 都沒做好事，或 B 做了好事而 C 沒做好事時(shí)， B 說的話都與事實(shí)有出入。因?yàn)?B 與 D 說的是一樣的，所以只有兩種可能，要么 B 與 D 正

32、確，A與C錯(cuò)；要么 B與D錯(cuò)，A與C正確。（1）假設(shè) B與D說的話正確。這時(shí) C 做了好事， A 說 C，D 兩人中有人做了好事， A 說的話也正確，這與題目條件只有“兩人說的是事實(shí)”相矛盾。所以假設(shè)不對(duì)。（2）假設(shè) A 與 C 說的話正確。那么做好事的是 A 與 C，或 B 與 D，或 C 與 D。若做好事的是 A 與 C，或 C 與 D，則 B 說的話也正確，與題意不符；若做好事的是B 與 D，則 B 說的話與事實(shí)不符，符合題意。綜上所述，做好事的是B 與 D。三、同步練習(xí)1.A ，B，C，D，E 五個(gè)好朋友曾在一張圓桌上討論過一個(gè)復(fù)雜的問題。今天他們又聚在了一起，回憶當(dāng)時(shí)的情景。A說：“

33、我坐在B的旁邊。”B說：“坐在我左邊的不是C就是 D?！盋說：“我挨著D?！盌說：“ C坐在 B 的右邊。”實(shí)際上他們都記錯(cuò)了。 你能說出當(dāng)時(shí)他們是怎樣坐的嗎？沒有發(fā)言的 E 的左邊是誰？2.從 A ，B，C，D，E，F(xiàn) 六種產(chǎn)品中挑選出部分產(chǎn)品去參加博覽會(huì)。根據(jù)挑選規(guī)則，參展產(chǎn)品滿足下列要求：（ 1）A，B兩種產(chǎn)品中至少選一種；（ 2）A，D兩種產(chǎn)品不能同時(shí)入選；（ 3）A，E，F(xiàn) 三種產(chǎn)品中要選兩種；（ 4）B，C兩種產(chǎn)品都入選或都不能入選；（ 5）C，D兩種產(chǎn)品中選一種；（ 6）若 D種產(chǎn)品不入選，則 E種也不能入選。問：哪幾種產(chǎn)品被選中參展？3.三戶人家每家有一個(gè)孩子，分別是小平（女）

34、、小紅（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。（ 1）老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊(duì)；（ 2）老張的女兒不是小紅；（ 3）老陳和方麗不是一家人。請(qǐng)你將三戶人家區(qū)分開。4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業(yè)分別是教師、工人、演員。已知：（ 1）甲不是遼寧人，乙不是廣西人；（ 2）遼寧人不是演員，廣西人是教師；（ 3）乙不是工人。求這三人各自的籍貫和職業(yè)。5.甲說：“乙和丙都說謊?！币艺f：“甲和丙都說謊。”丙說：“甲和乙都說謊。”根據(jù)三人所說，你判斷一下，下面的結(jié)論哪一個(gè)正確：（ 1）三人都說謊；（ 2）三人都不說謊；（ 3）三人

35、中只有一人說謊；（ 4）三人中只有一人不說謊。6.五號(hào)樓住著四個(gè)女孩和兩個(gè)男孩，他們的年齡各不相同，最大的 10 歲，最小的 4 歲，最大的女孩比最小的男孩大4 歲，最大的男孩比最小的女孩也大4 歲，求最大的男孩的歲數(shù)。第八講邏輯問題（ 2）一、例題精講例 1 老師拿來五頂帽子， 兩頂紅的三頂白的。 他讓三個(gè)聰明的同學(xué)甲、乙、丙按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊(duì)，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子， 同時(shí)把余下的帽子藏起來。 當(dāng)他們睜開眼后，乙和丙都判斷不出自己所戴帽子的顏色， 而站在最前面的甲卻根據(jù)此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？分析與解 ：這是一個(gè)

36、典型的邏輯推理問題。甲站在最前面， 雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，因?yàn)橐还仓挥袃身敿t帽子， 那么丙就會(huì)判斷出自己戴的是白帽子。 丙判斷不出自己戴的帽子的顏色， 說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。甲接著想：乙也很聰明， 當(dāng)他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時(shí)，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時(shí)，如果他看到我戴是紅帽子， 那么他就會(huì)知道自己戴的是白帽子， 只有我戴的是白帽子時(shí)，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。例 1 中，甲的分析非常精采，嚴(yán)密而無懈可擊。例 2 三個(gè)盒子各裝兩個(gè)球，分別是兩個(gè)黑球、兩個(gè)白球、一個(gè)黑球一個(gè)

37、白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個(gè)盒子的標(biāo)簽全部貼錯(cuò)。如果只允許打開一個(gè)盒子，拿出其中一個(gè)球看，那么能把標(biāo)簽全部糾正過來嗎？分析與解 ：因?yàn)椤叭齻€(gè)盒子的標(biāo)簽全部貼錯(cuò)”了，貼錯(cuò)的情況見下圖（表示白球，表示黑球） :如果從標(biāo)簽是兩黑的盒子中拿一個(gè)球， 那么最不利的情況是拿出一個(gè)白球，此時(shí)無法判定是實(shí)際情況 1，還是實(shí)際情況 2，也就無法把標(biāo)簽全部糾正過來；同理，從標(biāo)簽是兩白的盒子中拿一個(gè)球，若拿的是黑球，則也無法把標(biāo)簽全部糾正過來；從標(biāo)簽是一黑一白的盒子中拿出一個(gè)球， 若拿出的是黑球， 則能確定出是實(shí)際情況 1，若拿出的是白球，則能確定出是實(shí)際情況 2，因此能把標(biāo)簽全部糾正過來。所以，只要從標(biāo)簽是一黑一白的盒

38、子中拿一個(gè)球， 就能糾正全部標(biāo)簽。例 3 A，B，C 三名同學(xué)參加了一次標(biāo)準(zhǔn)化考試，試題共 10 道，都是正誤題，每道題 10 分，滿分為 100 分。正確畫“”，錯(cuò)誤畫“×”。他們的答卷如下表：考試成績(jī)公布后，三人都得70 分。請(qǐng)你給出各題的正確答案。分析與解 ：我們先分析一下三人的得分情況。因?yàn)槿硕嫉?0分，所以每人都錯(cuò)了3 道題。比較A，B 的答卷發(fā)現(xiàn)，他們有6 道題的答案不一樣，說明這6 道題 A，B 兩人各錯(cuò) 3 道，也就是說， A，B答案相同的題都對(duì)了，因此找到了第1，3，4，10 題的正確答案。同理， A，C的答卷也有 6 道題的答案不一樣，因此找到了第3，6，8，9

39、 題的正確答案；同理B，C的答卷也有 6 道題的答案不一樣，因此找到了第 2，3，5，7 題的正確答案。各題的正確答案如下表：例 4 A，B，C，D，E 五位選手進(jìn)行乒乓球循環(huán)賽，每?jī)扇硕贾毁愐槐P。規(guī)定勝者得 2 分，負(fù)者不得分?，F(xiàn)在知道的比賽結(jié)果是： A 與B并列第一名（有兩個(gè)并列第一名，就不再設(shè)第二名，下一個(gè)名次規(guī)定為第三名）， D比 C的名次高，每個(gè)人都至少勝了一盤。試求每人的得分。分析與解 ：因?yàn)槠古仪虮荣悰]有平局， 所以求勝的盤數(shù)與得分是一回事，勝的盤數(shù)乘以 2 就是得分。五人進(jìn)行循環(huán)賽，共需賽 10 盤，總得分是 2×10= 20 （分）。因?yàn)槊咳硕假?4 盤，所以第一名

40、最多勝 4 盤，但因?yàn)?A，B并列第一， A，B 不可能都勝 4 盤，所以 A，B 最多各勝 3 盤。如果 A，B沒有各勝 3 盤，而是各勝 2 盤，那么剩下的 10-2 ×2= 6 （盤）的勝利者只會(huì)是 C，D，E，根據(jù)抽屜原理， C，D，E三人中至少有 1 人勝了至少 2 盤，與第一名勝2 盤矛盾。所以， A，B 各勝 3 盤，各得 6分。還有 4 盤，已知 D 比 C 名次高，每個(gè)人都至少勝一盤，只能是D勝 2 盤得 4 分， C，E 各勝一盤，各得2 分。注意：題目中“每個(gè)人都至少勝一盤”是制約結(jié)果的重要條件，如果沒有這個(gè)條件，那么該題的結(jié)果就有兩種可能：一是A，B 各勝3

41、盤，各得 6 分， D勝 2 盤得 4 分，C，E 各勝 1 盤，各得 2 分；二是A，B 各勝 3 盤，各得 6 分，D，E 各勝 2 盤各得 4 分，C勝 0 盤，得 0 分。二、同步練習(xí)1. 有個(gè)老漢想考考他的四個(gè)聰明的兒子， 他拿出六頂帽子， 三頂紅的、兩頂藍(lán)的和一頂黃的。然后，讓四個(gè)兒子按大的在前小的在后的順序排成一路縱隊(duì)，并讓他們閉上眼睛。接著，給他們每人戴上一頂帽子，藏起其余兩頂。當(dāng)他們睜開眼睛后，每個(gè)人都只能看見前邊人的帽子。這時(shí)，老漢依次問小兒子、三兒子和二兒子， “你戴的帽子是什么顏色？”他們都回答“不知道”。最后，老漢又問大兒子。大兒子想了一會(huì)兒，正確地說出了自己戴的帽子

42、的顏色。問：大兒子戴的帽子是什么顏色？他是如何判斷的？2. 五年級(jí)有四個(gè)班， 每個(gè)班有兩名班長(zhǎng)， 每次召開年級(jí)班長(zhǎng)會(huì)議時(shí)各班參加一名班長(zhǎng)。參加第一次會(huì)議的是 A，B，C，D，參加第二次會(huì)議的是 E，B，F(xiàn)，D，參加第三次會(huì)議的是 A，E，B，G。已知 H三次會(huì)都沒參加，請(qǐng)問每個(gè)班各是哪兩位班長(zhǎng)？3. 甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生坐在同一排的相鄰座位上，座號(hào)是號(hào)至 4 號(hào)。一個(gè)專說謊話的人說： “乙坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙1的中間，乙的座位不是3 號(hào)。”問：坐在2 號(hào)座位上的是誰？4. 李大娘問三位青年人的年齡。小張說：“我 22 歲。比小吳小 2 歲。比小徐大 1 歲。”小吳說： “我不是年齡最小

43、的。小徐和我差3 歲。小徐 25 歲。”小徐說： “我比小張年齡小。小張23 歲。小吳比小張大3 歲。”這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯(cuò)的。李大娘難辯真真假假，請(qǐng)你幫助李大娘弄清這三人的年齡。5. A ，B，C三支足球隊(duì)舉行循環(huán)比賽（每隊(duì)之間賽一場(chǎng)），下面是記有詳細(xì)比賽情況的表。 但后來發(fā)現(xiàn)表中有四個(gè)數(shù)是錯(cuò)誤的。 請(qǐng)按規(guī)定重制一張正確的表格。 （勝一場(chǎng)記 2 分，負(fù)一場(chǎng)記 0 分，平一場(chǎng)雙方各記 1 分。）6. 某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)， 共有六道試題， 均是是非題。 正確的畫“”，錯(cuò)誤的畫“×”。每題答對(duì)得 2 分，不答得 1 分，答錯(cuò)得 0 分。甲、乙、丙、丁的答案及前三

44、人的得分如下表，求丁得了多少分。第九講列方程解應(yīng)用題一、知識(shí)要點(diǎn)有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題， 用算術(shù)方法求解比較困難。 此時(shí)，如果能恰當(dāng)?shù)丶僭O(shè)一個(gè)未知量為 x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個(gè)量，其中至少有一種方式含有未知數(shù) x，那么就得到一個(gè)含有未知數(shù) x 的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系清晰、解法簡(jiǎn)潔，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。二、例題精講例 1 商店有膠鞋、布鞋共 46 雙，膠鞋每雙 7.5 元，布鞋每雙 5.9 元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入 10 元。問：膠鞋有多少雙？分析：此題幾個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來， 用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達(dá)出來。設(shè)膠鞋有 x 雙，則

45、布鞋有（ 46-x）雙。膠鞋銷售收入為 7.5x 元，布鞋銷售收入為 5.9（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入 10 元可列出方程。解：設(shè)有膠鞋 x 雙，則有布鞋（ 46-x）雙。7.5x-5.9（46-x）=10，7.5x-271.4+5.9x=10，13.4x=281.4，x=21。答：膠鞋有 21 雙。分析：因?yàn)轭}目條件中黃球、 藍(lán)球個(gè)數(shù)都是與紅球個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，所以答：袋中共有 74 個(gè)球。在例 1 中，求膠鞋有多少雙，我們?cè)O(shè)膠鞋有 x 雙；在例 2 中，求袋中共有多少個(gè)球，我們?cè)O(shè)紅球有 x 個(gè)，求出紅球個(gè)數(shù)后，再求共有多少個(gè)球。像例 1 那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為 x，即求什么設(shè)

46、什么，這種方法叫 直接設(shè)元法 ；像例 2 那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個(gè)未知數(shù)為 x，這種方法叫間接設(shè)元法 。具體采用哪種方法， 要看哪種方法簡(jiǎn)便。 在小學(xué)階段，大多數(shù)題目可以使用直接設(shè)元法。例 3 某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的 2 倍，計(jì)劃修建住宅若干座。 若每座住宅使用紅磚 80 米 3，灰磚 30 米 3，那么，紅磚缺 40 米 3，灰磚剩 40 米 3。問：計(jì)劃修建住宅多少座？分析與解 一：用直接設(shè)元法。設(shè)計(jì)劃修建住宅 x 座，則紅磚有（80x-40）米 3，灰磚有（ 30x+40）米 3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的 2倍，列出方程80

47、x-40= （30x+40）× 2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。分析與解 二：用間接設(shè)元法。 設(shè)有灰磚 x 米 3，則紅磚有 2x 米 3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。（ x-40）× 80=（2x+40）× 30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米 3）。由灰磚有 220 米 3，推知修建住宅（ 220-40）÷ 30=6（座）。同理，也可設(shè)有紅磚x 米 3。留給同學(xué)們做練習(xí)。例 4 教室里有若干學(xué)生，走了10 個(gè)女生后，男生是女生人數(shù)的2 倍，又走了 9 個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5

48、倍。問：最初有多少個(gè)女生？分析與解 ：設(shè)最初有x 個(gè)女生，則男生最初有（x-10）× 2 個(gè)。根據(jù)走了10 個(gè)女生、9 個(gè)男生后，女生是男生人數(shù)的5 倍，可列方程x-10= （x-10 ）× 2-9 ×5，x-10= （2x-29 ）× 5，x-10=10x-145 ，9x=135，x=15（個(gè)）。例 5 一群學(xué)生進(jìn)行籃球投籃測(cè)驗(yàn)，每人投 10 次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表：還知道至少投進(jìn) 3 個(gè)球的人平均投進(jìn) 6 個(gè)球，投進(jìn)不到 8 個(gè)球的人平均投進(jìn) 3 個(gè)球。問：共有多少人參加測(cè)驗(yàn)？分析與解 ：設(shè)有 x 人參加測(cè)驗(yàn)。 由上表看出，至少投進(jìn) 3 個(gè)球的有（x-7-5-4）人，投進(jìn)不到 8 個(gè)球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到 3 個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn) 3 個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，0×7+1×5+2×4+6×（ x-7-5-4 ）= 5+8+6×（ x-16 ）= 6x-83 ，也等于進(jìn)球數(shù)不到8 個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8 個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，3&