浦東新王牌 高二數(shù)學(xué)暑假補(bǔ)習(xí)班 晉s老師 向量的坐標(biāo)表示

1、 第十一講 平面向量的概念及坐標(biāo)表示 本文由 提供，未經(jīng)同意，不得轉(zhuǎn)載一平面向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母，或用，表示.（3）模：向量的長(zhǎng)度叫向量的模，記作|或|.（4）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作；零向量的方向不確定.(5) 單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)長(zhǎng)度單位的向量叫做單位向量.(6) 共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.(7) 相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向量.二向量的運(yùn)算1.向量的加法：（1）定義：求

2、兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.如圖，已知向量，.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，則向量叫做與的和，記作，即（2）法則：三角形法則 ，平行四邊形法則（3）運(yùn)算律：，2.向量的減法：（1）定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.已知向量，求作向量 減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)， 作， 則. 即可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量注意：1) 表示差向量“箭頭”指向被減向量2) 用“相反向量”定義法作差向量， 3.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，規(guī)定：|=|.當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，與平行.（2）運(yùn)算律：，. 注：1) 向量的加、

3、減及其與實(shí)數(shù)的積的結(jié)果仍是向量。2) 重要定理：向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，即.三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1） 若，則=，= 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差（2） 若，則 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)（3）若和實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo) (4)向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹ (¹)的充要條件是自主學(xué)習(xí): （1）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)，則 （是坐標(biāo)原點(diǎn)）； ； （2）已知直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)，有，若與相

4、等的位置向量為 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ； （3）已知，則 ， ； （4）已知點(diǎn)，在上，且，則點(diǎn)的 坐標(biāo)是； （5）的頂點(diǎn)分別為，則重心的坐標(biāo)。解：（1）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， 。 （2）由題可知，即位置向量， 故點(diǎn)的坐標(biāo)是。 （3）， （4）。 （5）?？键c(diǎn)一： 向量及與向量相關(guān)的基本概念題型1. 概念判析【例1】判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9) 的充要條件是且；解題思路：正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例說(shuō)明

5、。解析：解：(1) 不正確，零向量方向任意, (2) 不正確，說(shuō)明模相等,還有方向 (3) 不正確，單位向量的模為1,方向很多 (4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確， （6）正確，向量相等有傳遞性 （7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8) 不正確, 如圖 （9）不正確，當(dāng)，且方向相反時(shí)，即使，也不能得到；練習(xí).判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是 模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

6、解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.、正確.不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.評(píng)述：本題考查基本概念，對(duì)于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.BCAP題型2: 結(jié)合圖型考查向量加、減法【例2】(2008·廣州市一模)在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是( )A B C D解題思路： 本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施求解【解析

7、】由,得,即,所以點(diǎn)是邊上的第二個(gè)三等分點(diǎn),如圖所示.故考點(diǎn)三: 向量平行的充要條件題型1: 平行、共線問題【例3】（1）已知是兩個(gè)非零向量，且，求證：的充要條件是； （2）已知非零向量，且，則與的關(guān)系是 。證明：（1）必要性 。 ， ， 所以必要條件成立。 充分性 ， 當(dāng)都不為零時(shí)，有 ，即， ，即。 當(dāng)時(shí)，則中至少有兩個(gè)為零， 若，則由知，必有，進(jìn)一步有，記，則，。若，則，同理可證。所以充分條件成立。 （2），且為非零向量，又， ， 與的關(guān)系是，且。點(diǎn)評(píng)：理解向量，所在直線與向量所在直線平行的異同?！纠?】 設(shè)是不共線向量,已知向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值解題思路：證明存在實(shí)數(shù)，使

8、得解析：, 使得【例5】已知三點(diǎn)互不重合，且滿足，求證三點(diǎn)共線的充要條件是。OABC證明：必要性 三點(diǎn)共線，且互不重合； 即存在，使。 。 又與不平行， 與是所在平面上所有向量的一組基向量， 又，根據(jù)平面分解定理，有 ， ， 所以必要條件成立。 充分性 ， ， 又， 。 若，則，與重合，這與互不重合矛盾，所以，又與起點(diǎn)相同，三點(diǎn)共線，所以充分條件成立。點(diǎn)評(píng)：“三點(diǎn)滿足，則共線的充要條件是”可作為結(jié)論加以應(yīng)用。練習(xí)：1、已知向量，若，則銳角等于_；A B C DB 解：，故選B2、若向量與共線且方向相同，則_；解：=(-1,x)與=(-x, 2) 共線 (-1)×2- x(-x)=0

9、x=± 與方向相同 x=3、和平行的單位向量是_；錯(cuò)解：因?yàn)榈哪５扔?，所以與平行的單位向量就是，即 (，)錯(cuò)因：在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情況。正解：因?yàn)榈哪５扔?，所以與平行的單位向量是，即(，)或(，)4、已知：，則下列一定成立的是（ ）A、A，B，C三點(diǎn)共線 B、A，B，D三點(diǎn)共線C、C，A，D三點(diǎn)共線 D、B，C，D三點(diǎn)共線答案：C 解析：，所以C，A，D三點(diǎn)共線5、（廣東北江中學(xué)2008高三統(tǒng)測(cè)）若則向量的關(guān)系是（ ） A平行 B重合 C垂直 D不確定答案：C 提示：分別表示平行四邊形的兩條對(duì)角線，它們相等，即說(shuō)明四邊形ABCD為矩形。故選C5-1-36、已知、

10、是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，、三向量的終點(diǎn)在一直線上，則實(shí)數(shù)_.【解析】如圖, 、t（+）三向量的終點(diǎn)在一直線上,存在實(shí)數(shù)使:t（+）=（）得（t）=（t）又、不共線，t=0且t=0 解得t=ABCD7、如圖，已知，用表示，則（ ）A B CD答案：B解析：8、已知+=，-=，用、表示= 。答案： 提示：（+）+（-）=+=所以=9、已知，且，試求關(guān)于的函數(shù)。答案：，則 -3t = ( 2t + 1 )( k2 1 )10、已知向量，則的最大值為 答案：2 解析：.11、已知向量，若不超過(guò)5，則的取值范圍是答案： -6，2 解析： =解得的取值范圍是-6，212、已知,當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí),

11、2與24平行？【解析】方法一: 24, 存在唯一實(shí)數(shù)使2=24）將、的坐標(biāo)代入上式得（6，24）=14，4）得6=14且24= 4，解得= 1方法二：同法一有2=（24）,即（2（24=0與不共線， = 113、已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5），且 =t（1） 當(dāng)t變化時(shí)，點(diǎn)P是否在一條定直線上運(yùn)動(dòng)？（2） 當(dāng)t取何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上？（3） OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由= t可得 = t，又、都過(guò)A點(diǎn)，故A、P、B三點(diǎn)在同一條直線上，而A、B為定點(diǎn)，所以P點(diǎn)恒在直線AB上運(yùn)動(dòng).（2）=（13t，23t），若P在y軸上，則13t=0，t=.（3）A、B、P三點(diǎn)在同一條直線上，OABP不可能為平行四邊形，若用 = 可列方程組，但方程組無(wú)解.【基礎(chǔ)練習(xí)】1、向量 （）的單位向量=_2、已知點(diǎn)和向量，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)。3、已知向量，且三點(diǎn)共線，求的值。4、已知，且，確定實(shí)數(shù)的值。5