數(shù)學與諾貝爾獎

1、數(shù)學與諾貝爾獎黃文璋 教授國立中山大學應(yīng)用數(shù)系86.7.14西元1994年10月11日，瑞典皇家科學院 ( The Royal Swedish Academy of Science) 宣佈美國普林斯頓大學 (Princeton University)的數(shù)學家John F. Nash獲得當年的諾貝爾獎 (Nash得獎的研究工作之介紹可參考張企(1995)。後來Keith Devlin在美國數(shù)學協(xié)會(The Mathematical Association of America)的通訊FOCUS上寫著“此為有93年歷史的諾貝爾獎第一次頒給一做純數(shù)學(pure mathematics)研究的學者”(

2、見Devlin (1994)。但是Nash並不是得到夙有諾貝爾數(shù)學獎(Nobel Prize of Mathematics)之稱的費爾茲獎(Fields Medal， 正式的稱呼為The International Medal for Outstanding Discoveries in Mathematics)。Nash所得到的是諾貝爾經(jīng)濟學獎(The Nobel Memorial Prize in Economic Science)。諾貝爾 (Nobel ， 1833-1896)並未設(shè)有數(shù)學獎。 先說費爾茲獎。這是根據(jù)加拿大多倫多大學 (University of Toronto)的數(shù)學教

3、授費爾茲(J.C. Fields ，1863-1932)的遺囑與捐贈所設(shè)立的。費爾茲本人是個不錯的數(shù)學家，不過他主要還是因設(shè)立了此獎而得名。西元1936年首度頒獎，然後因第二次世界大戰(zhàn)而中斷。自西元1950年起，在通常每四年召開一次的國際數(shù)學家會議( International Congress of Mathematicians，簡稱ICM)，每次頒發(fā)給二至四位已有傑出成就且極富潛力的數(shù)學家 (西元1924年在多倫多舉行的國際數(shù)學家會議通過每屆頒發(fā)二位，費爾茲為那屆會議的秘書。在西元1966年通過每屆最多可頒發(fā)四位)。由於它的國際性、權(quán)威性及獲獎之難度，在數(shù)學家心目中的地位，彷如諾貝爾獎。費

4、爾茲獎的得主年齡一向不超過40歲。至西元1994年止共有38位費爾茲獎得主。相對於諾貝爾獎每科每年常有不止一位得主，費爾茲獎顯然更難得到。西元1949年出生於廣東汕頭市，畢業(yè)於香港中文大學數(shù)學系，而於西元1971年獲得美國加州大學柏克萊分校(University of California at Berkeley)數(shù)學博士的丘成桐先生，於西元1983年獲得此獎，是唯一曾獲費爾茲獎的華人。丘先生亦為我國中央研究院院士，他成功地把微分幾何(這是十九世紀才發(fā)展出來的數(shù)學領(lǐng)域，主要是利用微分與積分去探討曲線與曲面幾何形狀) 與偏微分方程的技巧與理論結(jié)合在一起，解決許多著名的猜想，在數(shù)學的好幾個領(lǐng)域，甚

5、至物理中的廣義相對論均有極大的貢獻。至於日本則有Kadaira (小平邦彥，1954)Hironaka(廣中平佑，1970)及Mori(森重文，1990，曾來參加在國立中山大學應(yīng)用數(shù)學系舉辦的1994年國際數(shù)學會議(International Mathematics Conference'94)，給大會主講(Keynote Speech)。以上這四位也是僅有曾獲得費爾茲獎的東方人，他們的一些資料可參考康明昌(1991)。關(guān)於費爾茲獎的一些歷史由來，則可參考姜家齊(1978)一文。 數(shù)學中另有一大獎，就是為紀念芬蘭數(shù)學家Nevanlinna(1895-1980，關(guān)於Nevanlinna之

6、一些事蹟，可參考楊重駿（1997）一文)所設(shè)立的Nevanlinna獎(Nevanlinna Prize)，自西元1983年起，亦在國際數(shù)學家會議與費爾茲獎同時頒發(fā)，獎勵在資訊科學的數(shù)學理論有傑出貢獻的學者，到目前為止共有4位得主(每屆一位)，分別是Tarjan(1983)，Valiant(1986)，Razborov(1990)及Wigderson(1994)。又丘成桐院士得到過的獎項很多，在西元1994年，他與英國牛津大學(Oxford University)的Donaldson(出生於西元1957年，亦為西元1986年之費爾茲獎得主之一)，因在微分幾何的領(lǐng)域，有影響深遠的成果，而共同獲得

7、Crafoord獎(Crafoord Prize)，兩人均分約三十萬美元，相對於費爾茲獎每人可獲一萬多美元，顯然多許多。Crafoord獎是由瑞典工業(yè)家Crafoord夫婦，為了彌補諾貝爾獎項目之不足，而於西元1980年捐款給瑞典皇家科學院所設(shè)立(Anna-Greta and Holger Crafoord Fund)，目的是為促進瑞典和世界其他地區(qū)的基礎(chǔ)科學研究(to promote basic scientific research in Sweden and in other parts of the world)。自西元1982年Crafoord去世後開始頒發(fā)。以每六年為一循環(huán)，依序頒

8、給數(shù)學、地球科學 (the geosciences)、生物科學(the biosciences)、天文學(astronomy)、地球科學、生物科學等學門（均為諾貝爾獎所未頒發(fā)的學門，六年中地球科學及生物科學各頒兩次）中的傑出科學家。每年自當年輪到的學門中，挑出一領(lǐng)域(area)，頒給在此領(lǐng)域有重要影響的一至三位科學家。歷年獲Crafoord獎的數(shù)學家有Arnold(1982)，Nirenberg(1982)，Deligne(1988) ，Grothendieck(1988，但他拒絕受領(lǐng)獎金，造成一極大的插曲)，及丘成桐(1994)，Donaldson(1994)，能得獎相當不容易。 另外，費爾

9、茲獎只頒發(fā)給四十歲以下的數(shù)學家，未能顧及已是數(shù)學泰斗的大師級人物，也是美中不足。西元1978年，身兼發(fā)明家(inventor) 、 外交家(diplomat)及慈善家(philanthropist)的Ricardo Wolf ，在以色列設(shè)立了Wolf基金(Wolf Foundation)。此基金的目的是為提昇科學及藝術(shù)對人類之福祉(to promote science and art for the benefit of mankind)。自西元1978年起每年頒給數(shù)學、物理、化學、農(nóng)業(yè)(agriculture)、醫(yī)學(medicine)及藝術(shù)(the arts)等六個學門的科學家Wolf獎(

10、Wolf Prize)。由於沒有年齡限制，且依據(jù)科學家一生的工作來評審，所以獲獎?wù)呔鶠楫敶顐ゴ蟮目茖W家。自西元1978至1996年，已有160位學者獲獎，他們分別來自18個不同的國家。這項金額不小的獎項，已成為數(shù)學上傑出成就的最高象徵。Wolf於西元1887年生於德國，後來移民至古巴(Cuba)，並於西元 1961年被古巴政府任命為駐以色列的大使，他遂在以色列定居，直至西元1981年去世。Wo1f獎每年由以色列總統(tǒng)親自頒發(fā)。西元1984年5月，丘成桐院士的指導教授陳省身院士，與當代最多產(chǎn)的數(shù)學家Paul Erdos(1913-1996)，同獲當年的Wolf獎。師生分別獲得數(shù)學中一給年輕學者(

11、費爾茲獎)，一給終生成就的大獎，也是一段佳話。 附帶一提，被世界科學界公認的女性物理奇才，甫於西元1997年2月16日去世的中國最傑出的女性科學家吳健雄博士（1912-1997，為中央研究院第二屆院士），便為西元1978年的第一屆Wolf物理獎得主。另外，解決費馬最後定理(Fermat's Last Theorem)的年輕數(shù)學家，普林斯頓大學的Wiles(1953-，Wiles的一些介紹，見本人所寫“費馬最後定理”一文)，亦與普林斯頓大學高等研究所（Institute for Advanced Study）的Langlands，同獲西元1996年的Wolf獎，兩人均分十萬美元。 陳省身

12、(1911-)與華羅庚(1910-1985)為當代中國最偉大的兩位數(shù)學家，二者同為西元1948年產(chǎn)生的中央研究院第一屆院士 (陳為當屆最年輕者)。前者為德國漢堡大學( University of Hamburg)的博士，後者為自學成功的數(shù)學家。Wolf獎在給陳省身院士的獎狀上寫著 “此獎授予陳省身，因為他在大域微分幾何(global differential geometry)上的卓越貢獻，其影響遍及整個數(shù)學”。西元1990年，德國數(shù)學學會慶祝成立一百周年，特別出版 “一百年之數(shù)學(1890-1990)”，其中微分幾何方面對法國數(shù)學家Cartan及陳省身院士特別加以推崇，認為在過去一百年中，整

13、個微分幾何的發(fā)展多方面受到他們二人的影響。陳院士除了學術(shù)地位崇高，也一向樂意鼓勵年輕人。民國85年4月27日聯(lián)合報第39版刊登了一則標題為“學生樂透回饋陳省身師恩”的報導。原來在加州大學柏克萊分校任教的陳院士，曾有一位學生很喜歡上他的課。這學生後來回憶，一堂課下來，他甚至感到自己將來想做的就是一名幾何學家。但這學生於西元1969年大學畢業(yè)後，卻因成績不佳申請研究所被拒。陳院士知道後，極力鼓勵這學生再申請一次，並為他寫了一封推薦信。這學生第二次申請終於成功，並在西元1976年拿到數(shù)學博士學位。自從這學生畢業(yè)後，就一直在想，有朝一日，他要以陳教授的名義設(shè)立一講座。西元1995年1月，這學生贏了二千

14、二百萬美元的樂透（lottery）獎的第二天，便打電話給柏克萊數(shù)學系，表示要捐出一百萬美元設(shè)立“陳省身教授講座”。講座並於西元1996年3月設(shè)立。此故事真是發(fā)人深省。學生能遇此良師可謂三生有幸，而為人師者，有學生如此，又夫復何求。陳省身院士的事蹟可參考陳省身(1993)一書。 出生於匈牙利的猶太籍數(shù)學家Erdos，被公認為本世紀最偉大的天才之一。他在數(shù)論、組合學及機率論均有極大貢獻，並被視為離散數(shù)學的創(chuàng)始者，離散數(shù)學又為計算機科學的基礎(chǔ)。在他後半生，他的演講題目一成不變的都是“Problems in Combinatorics and Number Theory”。演講內(nèi)容則為他所曾提出而已解

15、出的問題，以及新提出的問題。他不斷地提出他認為僅利用已知的工具，只要是好的數(shù)學家便可解出的問題。若他認為某問題需要真正的新想法(genuinely new idea)，則他提供獎金給解答者。獎金從五十美元到一萬美元都有。在金錢刺激下或是為了得到他的肯定，許多人研究他所認為重要或有趣的數(shù)學問題。Erdos畢生發(fā)表的論文超過1500篇，但若加上別人所做但曾獲他關(guān)鍵性的提示之論文，則他的論文應(yīng)有數(shù)萬篇。 Erdos從來沒有一固定的職位，從來不定居在一個地方，也沒有結(jié)婚，帶著一半空的手提箱，穿梭於學術(shù)研討會，浪跡天涯，頗富傳奇色彩。有人稱他為流浪學者(wandering scholar)。他效忠的是科

16、學的皇后， 而非一特定的地方。各地都有熱心的數(shù)學家提供他舒適的食宿，安排他的一切，他則對招待他的主人，給出一些挑戰(zhàn)性的數(shù)學難題，或給予研究上的指導做為回饋。他可以和許多不同領(lǐng)域的數(shù)學家合作。數(shù)學家常將本身長久解決不了的問題和他討論，於是很快地一篇論文便誕生了。 數(shù)學家以下述方式來定義Erdos數(shù)(Erdos number) : Erdos本人之Erdos數(shù)為0，任何人若曾與Erdos合寫過論文，則其Erdos數(shù)為1。任何人若曾與一位Erdos數(shù)為El(且不曾與有更少的Erdos數(shù)) 的人合寫過論文， 則他的Erdos數(shù)為E?？梢娖湔撐闹?他的多產(chǎn)在數(shù)學史上僅次於歐拉(Euler ，1707-

17、1783，關(guān)於歐拉，可參考本人所寫“不世一出的數(shù)學奇才歐拉”一文)，與合作對象牽連之廣(他的合作者超過450位)。在西元1996年9月20日，於參加在波蘭華沙(Warsaw)舉行的一關(guān)於圖論(graph theory)的研討會中，因心臟病發(fā)作，而突然去世。他的去世，實在是數(shù)學界之一大損失。他的一些生平事蹟可見Babai(1997)。 發(fā)明黃色炸藥及其他威力更大的炸藥的諾貝爾，本質(zhì)上卻是一位和平主義者，他對文學也有長期的愛好。他擁有巨大的財富，但卻將他大部分的財產(chǎn)交付信託，而設(shè)立了後來成為國際最高榮譽的獎，共分文學(literature)、生理或醫(yī)學(physiology or medicine

18、)、物理(physics)、化學(chemistry)及和平(peace)等五項，自西元1901年首度頒發(fā)。西元1969年起又增設(shè)經(jīng)濟學獎，這是瑞典國立中央銀行(Central National Bank of Sweden)所設(shè)立的。早期偶而有某項獎當年從缺，每年每項獎的一筆獎金有時完全給一個人，有時由二位或三位均分，但從未有多過三人者。 常有人好奇為什麼有物理及化學獎，但諾貝爾卻未設(shè)數(shù)學獎。即使在很學術(shù)性的數(shù)學刊物上亦曾討論過此問題。例如，美國數(shù)學協(xié)會出版的美國數(shù)學月刊(The American Mathematical Monthly)曾有下述致編輯的信及編輯的答覆 ( 見King(19

19、83): 編輯先生:我曾試著去找出諾貝爾獎中沒有設(shè)立數(shù)學的確實理由。這真的是因諾貝爾與Mittag-Let Leffler不和嗎?誰若有這方面的證據(jù)，希望能提供給我知道。Amy C. King 敬上東肯他基大學數(shù)學系(Eastern Kentucky University)若有人能提供一些確實的證據(jù)（而不只是反覆的謠言而已），則可能本刊的許多讀者都會有興趣。本刊很樂意針對King教授的疑問，發(fā)表另一篇致編輯的信。編輯敬上稍後，在另一封致編輯的信Cooke(1984)寫著 : 針對King認為諾貝爾獎中缺乏數(shù)學獎的疑惑，我可提供一些說明。當我在六十年代初期在西北大學(Northwestern U

20、niversity)讀書的時候， 曾聽說是因為諾貝爾與數(shù)學家Mittag-Leffler不合，所以不願設(shè)置數(shù)學獎。不合的由來是兩人為爭奪一位女子。後來又聽說Mittag-Leffler累積不少財富，但在這過程中卻惹怒了諾貝爾。1981年我曾訪問Mittag-Leffler研究所三個月， 而有機會與檔案保管人Barbara Bjornberg交談，她對Mittag-Leffler周遭的那些人的個人生活知之甚詳。她早就聽說過那些傳聞，但是不相信其中有那一件是真實的。她對我說“諾貝爾從未結(jié)婚，而Mittag-Leffler之財產(chǎn)實際上都是他太太的陪嫁”。我找不到任何可支持那些謠言的佐證。由於缺乏證據(jù)

21、(absence of evidence)與沒有這回事的證據(jù)(evidence of absence)並不一樣，此問題實應(yīng)從另一方向來探討。就是誰先做這些斷言的?證據(jù)何在?更何況為什麼諾貝爾必須要設(shè)數(shù)學獎? Mittag-Leffler在世時為瑞典最具影響力的數(shù)學家，上述提到諾貝爾與Mittag-Leffler為了女子或財產(chǎn)不合的傳聞之假設(shè)是：諾貝爾認為若設(shè)了數(shù)學獎，則Mittag-Leffler會對瑞典皇家科學院施壓，使他成為首位獲獎?wù)?。另外，尚有一些說法，如諾貝爾中學時代厭惡數(shù)學，因此不願設(shè)數(shù)學獎。不過這些傳聞均未能證實?？赡苤皇腔赌撤N原因使諾貝爾認為不需設(shè)數(shù)學獎，或是他從未想過該設(shè)數(shù)學

22、獎。其他關(guān)於這方面的討論見Morrill(1995)。 至於費爾茲獎是否曾頒給經(jīng)濟學者呢?答案當然很明顯地是否定的。不過西元1966年費爾茲獎的得主之一，專長為微分拓樸的Smale，後來卻從事經(jīng)濟理論的研究，並加入經(jīng)濟學系。另外，以供求理論的數(shù)學證明獲西元1983年諾貝爾經(jīng)濟學獎的得主Debreu，曾為西元1974年的國際數(shù)學家會議之全會講演者(Plenary Lecturer)，他的講題是“Four aspects of the mathematical theory of economic equilibrium (經(jīng)濟均衡的數(shù)學理論的四種觀點) ”。Smale在獲知Debreu得到諾貝爾

23、獎時曾有下述評論 (見Smale(1984): Debreu之最大的貢獻是他能將數(shù)學深奧地用在經(jīng)濟理論的核心中，將亞當史密斯(Adam Smith ，1723-1790)兩百年前的看法整合起來。Debreu在他著名的價值理論(Theory of Value)著作中，給出了一般平衡理論的基礎(chǔ)。頒發(fā)諾貝爾獎給Debreu， 對從事數(shù)理經(jīng)濟 (mathematical economics)的基礎(chǔ)研究的人員是一大鼓舞。 事實上經(jīng)濟學中用到不少極深的數(shù)學，所以不足為奇有好幾位諾貝爾經(jīng)濟學獎的得主為數(shù)學家，除Debreu外，尚有西元1975年得獎的Arrow及Kantorovich。即使在國內(nèi)，有幾位經(jīng)濟

24、學者，他們均受過良好的數(shù)學訓練，做研究的工具涉及深奧的分析、機率論及隨機過程等理論。經(jīng)濟學系畢業(yè)，獲統(tǒng)計學博士學位目前任教於美國芝加哥大學(University of Chicago )商學院的中央研究院院士刁錦寰先生，鑒於政府單位的經(jīng)濟計量分析及一般民間的商業(yè)預測都需要高科技商務(wù)人材，及近年來臺灣學生在申請赴美留學時，在經(jīng)濟學及一般商學研究所被接受的很少，且即使順利赴美，在求學的過程中也倍感吃力，近來在國內(nèi)推動設(shè)立經(jīng)濟財務(wù)學程，課程分數(shù)學、統(tǒng)計、經(jīng)濟及財務(wù)等四個領(lǐng)域?？梢娏己玫臄?shù)學及統(tǒng)計背景，對欲從事更進一步的經(jīng)濟及財務(wù)方面的工作或研究的人，是很重要的。Nash 為普林斯頓大學數(shù)學系教授，他

25、得諾貝爾獎主要是他提出一Nash均衡(equilibrium)的概念。而這是源自於他二十一歲時畢業(yè)於普林斯頓大學數(shù)學系的那篇短短的博士論文 (這是普林斯頓大學數(shù)學系畢業(yè)生第三次獲諾貝爾獎，前兩次為John Bardeen分別在西元1956及1972年所獲的兩次物理獎 )。Nash得獎的資料可參考Milnor(1995)。由數(shù)學家的獲諾貝爾經(jīng)濟學獎，顯示出數(shù)學除了傳統(tǒng)上與物理、工程關(guān)係密切外，與經(jīng)濟學甚至整個社會科學均能有關(guān)連。其實不只如此，近年來數(shù)學工具之大量用在生物學上已是大家所熟知的。例如，西元1996年的Crafoord獎，輪到頒給生物科學學門。本次得獎?wù)邽榕＝虼髮W的Robert M.

26、May爵士，獲得獎金五十萬美元，於當年9月19日在斯德哥爾摩(Stockholm)由瑞典皇家科學院頒獎。他因成功地將深奧的數(shù)學引進生態(tài)學(ecology)，對整個生態(tài)學的發(fā)展，產(chǎn)生了根本上的影響，得到肯定而獲獎。見Levin(1996)一文的報導。只要願意了解別的學門的“語言”，數(shù)學家是很能夠在許多科學的領(lǐng)域中，開創(chuàng)出一片天地的。 雖然並未明文規(guī)定，但歷屆費爾茲獎的得主，年齡均未超過40歲（一般認為以40歲為上界，是最起碼的要求，此因大多數(shù)的數(shù)學家，其一生中最重要的成果，都是在更年輕時就已奠定了。而且年輕人的獲獎，對他們未來的研究工作是一大鼓舞）。另外，雖然瑞典國立中央銀行並未規(guī)定，但從未有諾

27、貝爾經(jīng)濟學獎的得主年齡在40歲以下。所以對一個很想獲大獎的年輕數(shù)學家，若已接近40歲，而看起來得費爾茲獎無望了，則不妨考慮轉(zhuǎn)行至經(jīng)濟學。事實上即使很簡單的經(jīng)濟模型，也常會較古典的物理或生物的世界，產(chǎn)生更複雜的動態(tài)行為。所以並非只具備基本的數(shù)學知識，就能在經(jīng)濟學的領(lǐng)域中有所突破。這可解釋為何年輕學者不易獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。 丘成桐院士曾說 (見丘成桐(1992) “中國人通常不太會找問題， 我覺得解決問題的能力固然很重要，但是訓練尋找問題的能力似乎更重要。你可以一輩子做研究，解決你所得到的第二流問題，但是你卻不能撿到第一流的問題。會主動尋找問題的人通常才是第一流人物。訓練尋找問題的能力必須從小培

28、養(yǎng)起。在這方面，外國學生找問題的能力似乎就比中國人強。另外，有關(guān)忍受挫折的能力，中國人也是較差的。我們做數(shù)學研究是屢敗屢戰(zhàn)，往往錯的機會是比對的機會多很多。即使是錯十次對一次也是很好的。因為嘗試更多錯誤的地方，你就越能從錯的地方找到繼續(xù)向前的方向，如此一來，你就學習到更深思熟慮的能力。這跟下棋不能修改錯誤，或一次考試決定你是否成功，是不一樣的”。 丘成桐院士點出了要做一名好的數(shù)學家該注意的事項:要做一流的問題，而不是做一大堆二流的問題。有人曾對西元1990年的兩位費爾茲獎的得主俄國的Drinfeld及日本的Mori統(tǒng)計其論文之發(fā)表情況。在著名的數(shù)學評論(Mathematical Review)

29、上 ， Drinfeld有52篇論文被收錄在其中。而科學引用指標(Science Citation Index， 簡稱SCI) 上 ，共收錄Drinfeld 23篇論文 (其中有19篇是得獎前發(fā)表的) ，其影響係數(shù)(impact factor)之總和為9.342 ( 得獎前之總和為8.566)。至於Mori有37篇論文被收錄於數(shù)學評論，有24篇被收錄於科學引用指標上 (其中有13篇是得獎前發(fā)表的) ，其影響係數(shù)之總和為9.744。要知在國內(nèi)有某些學門的年輕教授在三年間，科學引用指標上之影響係數(shù)，便可超過20。此一方面乃不同學門的差異，一方面也印證丘成桐院士所說的 “要做一流的問題，而不是做一大

30、堆二流的問題”。當然一流的學者畢竟是極少數(shù)，但顯然好的研究絕非是由論文的影響係數(shù)之總和的大小可看出。當自己的論文之影響係數(shù)總和若很大，但卻仍不是一流學者時，可能比較好的作法是便不要去強調(diào)自己論文之影響係數(shù)之總和有多大，否則很可能顯示出只是在作一大堆二流的問題。 讓我們共同期待下一位費爾茲獎的中國人得主的誕生，也期待中國數(shù)學家能早日獲諾貝爾獎。 參考文獻 1.丘成桐 (1992)。 我的求學經(jīng)驗。數(shù)學傳播季刊，第16卷第3期，30-33。 2.姜家齊 (1978)。數(shù)學的諾貝爾獎'費爾茲獎。數(shù)學傳播季刊，第3卷第1期， 68-71。 3.康明昌 (1991)。數(shù)學界的諾貝爾獎。 數(shù)學傳播季刊，第15卷第1期，33-38