初中數(shù)學(xué)包含哪些數(shù)學(xué)思想

1、解讀初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)課程標準在課程目標中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”.由此可知，數(shù)學(xué)課程標準已把基本的數(shù)學(xué)思想方法作為學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識來要求.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決，并具體地體現(xiàn)在解決問題的不同方法中，掌握一定的數(shù)學(xué)思想和方法遠比掌握一般的數(shù)學(xué)知識有用的多.通過七年級下冊數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)進一步理解和感受以下幾種數(shù)學(xué)思想方法：一、方程思想所謂方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）

2、模型，從而使問題得到解決的思維方法.方程知識是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，理解方程思想并應(yīng)用于解題當(dāng)中十分重要.課本中第6章、第7章列一次方程（組）解應(yīng)用題就是方程思想的具體應(yīng)用. 例1.一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù).分析:根據(jù)“邊形的內(nèi)角和等于”與“多邊形的外角和等于”和已知條件，列方程可求解.解答:設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)題意得方程： 解得 所以，這個多邊形的邊數(shù)為9評注：對方程思想的考查主要有兩個方面：一是列方程（組）解應(yīng)用題；二是列方程（組）解決代數(shù)問題或幾何問題.二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，每個幾何圖形中都要蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常

3、又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.數(shù)形結(jié)合思想即是把代數(shù)、幾何知識相互轉(zhuǎn)化、相互利用的一種解題思想. 在一元一次不等式（組）中，用數(shù)軸表示不等式的解集就是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn).例2.求不等式組的自然數(shù)解.分析:欲求不等式組的自然數(shù)解,一般思路是先求出不等式組的解集,再在數(shù)軸上表示出其解集,從而進一步求出問題的答案.解答:解不等式得 解不等式得 所以,原不等式組的解集是,其解集在數(shù)軸上表示如圖1所示 圖1 所以,其自然數(shù)解為0、1、2.評注：自然數(shù)也就是非負整數(shù)，在這里易漏掉0.三、分類討論思想分類討論思想就是要針對數(shù)學(xué)對象的共性與差異性，將其區(qū)分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查學(xué)

4、生思維的全面性與嚴謹性.要做到成功分類，需注意兩點：一是要有分類意識，善于從問題的情境中抓住分類對象；二是找出科學(xué)合理的分類標準，滿足不重不漏的原則.例3.等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長是6，求另兩條邊的長.分析:由于已知的“一條邊的長是6”，未告之是腰長,還是底邊長,所以應(yīng)分類討論求解.解答：(1)當(dāng)周長為16，腰長為6時,該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長為6，另一條邊為底邊，長為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4； (2)當(dāng)周長為16，底邊長為6時,該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長為（16-6）÷2=5，即另兩邊長為5、5. 評注：求解有關(guān)等腰三角形的邊、角問題時

5、，在題中未附圖形且未指名已知的邊、角是該等腰三角形的底或腰（底角或頂角）的情況下，均需用分類討論思想求解.四、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)問題的一種重要的思維方法.轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，就解題的本質(zhì)而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”，把“高次”轉(zhuǎn)化為“低次”，把一個綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個基本問題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等等.例4.在一個多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有幾個是銳角？分析：由于任意一個多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角的和等于

6、，所以若內(nèi)角為銳角，則其外角為鈍角，將該問題轉(zhuǎn)化為求多邊形的外角中最多有幾個鈍角就十分簡捷。 解答：因為 多邊形的外角和為 所以 多邊形的外角中最多有3個鈍角， 所以 多邊形的內(nèi)角中最多有3個銳角。 評注：此題充分體現(xiàn)了結(jié)論與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化.五、整體思想研究某些數(shù)學(xué)問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識放大考查問題的視角，將要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的，這就是整體思想.例5.已知某個三角形的周長為18，其中兩條邊的長度和等于第三條邊長度的2倍，而它們的差等于第三條邊長度的，求這個三角形的三邊長.

7、分析：三角形有三條邊，題目中有三個條件，此題需設(shè)三角形的三邊為未知數(shù)，列方程組解答.解答：設(shè)三角形的三邊長分別為、，（）則依題意得： 將（2）整體代入（1），得，解得再將代入（2）、（3）得： 解這個方程組得因此，所求三角形的三邊長為7、5、6.評注：所列方程組為三元一次方程組，在求解這個方程組時，將（2）整體代入（1），立即可求出C的大小，使得求解、就變得十分簡單.這種整體代入、整體加減的整體數(shù)學(xué)思想在整式、方程（組）、不等式（組）和有關(guān)幾何圖形的計算中經(jīng)常用到。六、對稱思想數(shù)學(xué)家赫爾曼外爾曾經(jīng)說過：對稱是一種思想，通過它，人們畢生追求并創(chuàng)造次序、美麗和完善”.利用對稱思想，同學(xué)們可較簡單地

8、進行圖案設(shè)計并能解決一些有關(guān)對稱的數(shù)學(xué)問題。例6.用四塊如圖2所示的瓷磚拼成一個正方形，形成軸對稱的圖案，和你的同伴比一比，看誰的拼法多.分析：抓住軸對稱圖形的定義即沿著某條直線對折，兩旁的部分能夠完全重合進行圖案設(shè)計.此題的答案不唯一.解答：如圖3所示. 圖2 圖3 評注：（1）在圖3中，黑、白顏色可互換；（2）生活中存在著大量的對稱現(xiàn)象，大到宇宙空間的星體，小到微觀世界的原子，精致的藝術(shù)珍寶，尖端科學(xué)中的基因工程，都可以找到圖形對稱的素材.熱身練習(xí)1、(2007年吉林省) 某商店在一次促銷活動中規(guī)定：消費者消費滿200元或超過200元就可享受打折優(yōu)惠一名同學(xué)為班級買獎品，準備買6本影集和若

9、干支鋼筆已知影集每本15元，鋼筆每支8元，問他至少買多少支鋼筆才能打折？2、(2006吉林省)如圖4.在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù).（1）在圖4（1）中各行、各列和對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出的值； （1） 圖4 （2）（2）把滿足圖4（1）的其他6個數(shù)填入圖4（2）中的方格內(nèi).3、（2007年成都市）解不等式組并寫出該不等式組的整數(shù)解4、（2007年杭州市）一個等腰三角形的一個外角等于，則這個三角形的三個角應(yīng)該為5、（2007年重慶市）已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）ABC或D圖66、（2006年天津市）如圖5，P、Q是的邊BC上的兩點，且B

10、P=PQ=QC=AP=AQ，則的大小等于_. 圖57、（2007年山西?。┤鐖D6，直線是一條河，兩地相距8千米，兩地到的距離分別為2千米，5千米，欲在上的某點處修建一個水泵站，向兩地供水現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）BDC8、（2007年山西省）若則圖79、（2007年青海?。┮阎淮畏匠探M則的值是（ ）A1B0CD10、（2007年資陽市）如圖7，已知ABC為直角三角形，C=90°，若沿圖中虛線剪去C，則1+2等于( )A. 90° B. 135°C. 270° D. 315°11、（2007年樂山

11、市）認真觀察圖8的4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：圖8（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征特征1：_；特征2：_（2）請在圖9中設(shè)計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征圖9 熱身練習(xí)答案：1、設(shè)每千克西紅柿元，每千克茄子元根據(jù)題意，得解得 答：每千克西紅柿元，每千克茄子元.2、（1）由已知條件得 解得，（2）略 ）3、 原不等式組的整數(shù)解是4、或、.（提示：分的角是底角的外角與頂角的外角兩種情形考慮）5、 C.（提示：分頂角與底角的度數(shù)比為與分底角與頂角的度數(shù)比為兩種情形解答）6、； 7、B. （提示：此題為一基本作圖題，解決這類問題的方法是將直線同側(cè)的某點通過軸

12、對稱變換轉(zhuǎn)化到的另一側(cè)，根據(jù)“兩點之間，線段最短”予以解決.在這里即是作點P關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交直線于點M，則在點M處修建水泵站可使鋪設(shè)的管道最短.）8、5；（提示：將兩方程整體相加得，所以）9、-1；（提示：將方程組中下面的一個方程減去上面的一個方程立即得）10、 C （提示：因為，所以，又由“四邊形的內(nèi)角和等于”知：，所以=.這里我們沒有分別求出、各等于多少度，而是視1+2為一個整體，通過四邊形的內(nèi)角和等于及已知條件整體求出其結(jié)果.）11、（1）特征1：都是軸對稱圖形；特征2：這些圖形的面積都等于4個單位面積；等；（2）滿足條件的圖形有很多，如下圖所示： 所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空

13、間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。1.函數(shù)與方程思想：函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問

14、題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。 笛卡爾的方程思想是：實際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。 函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f (x)的單調(diào)性、

15、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。 函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值

16、和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。 2.數(shù)形結(jié)合思想：“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對幾何問題用代數(shù)方法解答，對代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號（(a-1)2+(b-1)2）+根號(a2+(b-1)2)+根號(a-1)2+b2)

17、+根號(a2+b2)的最小值，就可以把它放在坐標系中，把它轉(zhuǎn)化成一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離，就可以求出它的最小值。 3.分類討論思想：當(dāng)一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候，就要討論a的取值情況。 4.方程思想：當(dāng)一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個二次方程的判別式。 5.整體思想：從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，

18、善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運用。 6.轉(zhuǎn)化思想：在于將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題。三角函數(shù)，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數(shù)學(xué)的尺規(guī)作等數(shù)學(xué)理論無不滲透著轉(zhuǎn)化的思想。常見的轉(zhuǎn)化方式有：一般 特殊轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化，復(fù)雜 簡單轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，類比轉(zhuǎn)化等。 7.隱含條

19、件思想：沒有明文表述出來，但是根據(jù)已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規(guī)或者真理。 8.類比思想：把兩個（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。 9.建模思想：為了描述一個實際現(xiàn)象更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進行相應(yīng)的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。 10.化歸思想：化歸思

20、想就是化未知為已知,化繁為簡,化難為易.如將分式方程化為整式方程,將代數(shù)問題化為幾何問題,將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題等.實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有:待定系數(shù)法,配方法,整體代入法以及化動為靜,由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想待定系數(shù)法：一種求未知數(shù)的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。 11.歸納推理思想：由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推

21、理稱為歸納推理(簡稱歸納),簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理另外，還有概率統(tǒng)計思想等數(shù)學(xué)思想，例如概率統(tǒng)計思想是指通過概率統(tǒng)計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外，還可以用概率方法解決一些面積問題。概率統(tǒng)計：研究自然界中隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學(xué)方法，叫做概率統(tǒng)計，又稱數(shù)理統(tǒng)計方法。 12. 極限思想：極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。 所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個

22、與它有關(guān)的變量，確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結(jié)果。 極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科”。 1.極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展 ：1）極限思想的由來 與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于

23、間接證法歸謬法來完成了有關(guān)的證明。 到了16世紀，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向”。 2）極限思想的發(fā)展 極限思想的進一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。 起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，

24、后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量S與時間的改變量t之比St表示運動物體的平均速度，讓t無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當(dāng)n無限增大時，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限”。 這種描述性語

25、言，人們?nèi)菀捉邮?，現(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)。 正因為當(dāng)時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟t是否等于零?如果說是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論。英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。 貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明

26、，弄清極限概念，建立嚴格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要的，而且有著認識論上的重大意義。 3）極限思想的完善 極限思想的完善與微積分的嚴格化密切聯(lián)系。在很長一段時間里，微積分理論基礎(chǔ)的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償。這是因為數(shù)學(xué)的研究對象已從常量擴展到變量，而人們對變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚；對變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對有限和無限的對立統(tǒng)一關(guān)系還不明確。這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。 到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將

27、極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出過各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量”，它接近于極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。 首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)定義為差商yx的極限f（x），他強調(diào)指出f（x）不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說清楚。 到了19世紀，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在分析教程中

28、指出：“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。 柯西把無窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零。 柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程度。 為了排除極限概念中

29、的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎(chǔ)。所謂 anA，就是指：“如果對任何0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)nN時，不等式anA恒成立”。 這個定義，借助不等式，通過和N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運動的直觀。 眾所周知，常量數(shù)學(xué)靜態(tài)地研究數(shù)學(xué)對象，自從解析幾何和微積分問世以后，運動進入了數(shù)學(xué)，人們有可能對物理過程進行動態(tài)研究。之后，維爾斯特拉斯建立

30、的N語言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢。這種“靜態(tài)動態(tài)靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。 2.極限思想的思維功能 極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質(zhì)變，從近似認識精確。 無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展。無限個數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來認識無限的。 “變

31、”與“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限，就是借助于極限的思想方法，從“不變”來認識“變”的。 曲線形與直線形有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，

32、一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是借助于極限的思想方法，從直線形來認識曲線形的。 量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關(guān)系。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起著重要作用。對任何一個圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積。這就是借助于極限的思想方法，從量變來認識質(zhì)變的。 近似與精確是對立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際計算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“

33、圓內(nèi)接正多邊形面積”，分別是相應(yīng)的“無窮級數(shù)和”、“瞬時速度”、“圓面積”的近似值，取極限后就可得到相應(yīng)的精確值。這都是借助于極限的思想方法，從近似來認識精確的。 3建立概念的極限思想 極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終。可以說數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法,然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如： 1）函數(shù) 在 點連續(xù)的定義，是當(dāng)自變量的增量 時，函數(shù)值的增量 趨于零的極限。 2）函數(shù) 在 點導(dǎo)數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量

34、與自變量的增量 之比 ，當(dāng) 時的極限。 3）函數(shù) 在 上的定積分的定義，是當(dāng)分割的細度趨于零時，積分和式 的極限。 4）數(shù)項級數(shù) 的斂散性是用部分和數(shù)列 的極限來定義的。 5）廣義積分 是定積分 其中 為任意大于 的實數(shù)）當(dāng) 時的極限，等等。 4解決問題的極限思想 極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。 有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個而是一連串越來越準確