新人教版七年級上冊數(shù)學(xué)-借助方程求解數(shù)軸上動點問題匯編

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載借助方程求解數(shù)軸上動點問題數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。為了便于初一年級學(xué)生對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個問題：1 數(shù)軸上兩點間的距離，即為這兩點所對應(yīng)的坐標差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去 左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點間的距離=右邊點表示的數(shù)一左邊點表示的數(shù)。2.點在數(shù)軸上運動時，由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運動的速度看作正速 度，而向作運動的速度看作負速度。這樣在起點的基礎(chǔ)上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標。即一個點表示的數(shù)為a,向左運動 b 個單位后表示的數(shù)為 a b;向右運動b 個單位后所表示的數(shù)為a+b。3 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分

2、析數(shù)軸上點的運動要結(jié)合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運 動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例 1 .已知數(shù)軸上有 A、B、C 三點，分別代表一 24, 10, 10,兩只電子螞蟻甲、乙 分別從 A、C 兩點同時相向而行，甲的速度為4 個單位/秒。問多少秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個單位？若乙的速度為 6 個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C 兩點同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？在的條件下，當(dāng)甲到A、B、C 的距離和為 40 個單位時，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由。分析：如圖 1,易求得 AB=14 , BC=20

3、, AC=34甲乙A BC-*-*- 4-4-24-100 W設(shè) x 秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個單位。此時甲表示的數(shù)為一 24+4x。1甲在 AB 之間時，甲到 A、B 的距離和為 AB=14甲到 C 的距離為 10( 24+4x) =34 4x依題意，14+ ( 34 4x) =40,解得 x=22甲在 BC 之間時，甲到 B、C 的距離和為 BC=20，甲到 A 的距離為 4x依題意，20+4x) =40 ,解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個單位。是一個相向而行的相遇問題。設(shè)運動t 秒相遇。依題意有，4t+6t=34，解得 t=3.4

4、相遇點表示的數(shù)為一 24+4X3.4= 10.4 (或：10 6X3.4= 10.4)甲至 U A、B、C 的距離和為 40 個單位時，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C 的距離和為40 個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。甲從 A 向右運動 2 秒時返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一 點，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：一24+4X2 4y ;乙表示的數(shù)為：106X2 6y學(xué)習(xí)必備歡迎下載依題意有，一 24+4X2 4y=10 6X2 6y，解得 y=7相遇點表示的數(shù)為：一 24+4X24y= 44 (或：106X2 6y= 44)甲從 A 向右運動 5 秒時返回。設(shè) y

5、 秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：一24+4X5 4y;乙表示的數(shù)為：10 6X5 6y依題意有，一 24+4X5 4y=10 6X5 6y，解得 y= 8 (不合題意，舍去)即甲從 A 點向右運動 2 秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點表示的數(shù)為一44。點評：分析數(shù)軸上點的運動，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進行分析。 點運動后所表示的數(shù)， 以起點所表示的數(shù)為基準， 向右運動加上運動的距離， 即終點所表示的數(shù)； 向左運動減去運 動的距離，即終點所表示的數(shù)。例 2.如圖，已知 A、B 分別為數(shù)軸上兩點，A 點對應(yīng)的數(shù)為一 20, B 點對應(yīng)的數(shù)為100。too求 AB 中點 M 對應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電

6、子螞蟻 P 從 B 點出發(fā)，以 6 個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子 螞蟻 Q 恰好從 A 點出發(fā)，以 4 個單位/秒的速度向右運動， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C 點 相遇，求 C 點對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻 P 從 B 點出發(fā)時，以 6 個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞 蟻 Q 恰好從 A 點出發(fā)，以 4 個單位/秒的速度也向左運動， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D 點 相遇，求 D 點對應(yīng)的數(shù)。分析：設(shè) AB 中點 M 對應(yīng)的數(shù)為 x，由 BM=MA所以 x( 20) =100 X,解得 x=40 即 AB 中點 M 對應(yīng)的數(shù)為 40易知數(shù)軸上兩點 AB 距離，AB=140

7、，設(shè) PQ 相向而行 t 秒在 C 點相遇，依題意有，4t+6t=120 ,解得 t=12(或由 P、Q 運動到 C 所表示的數(shù)相同，得一 20+4t=100 6t，t=12)相遇 C 點表示的數(shù)為：一 20+4t=28 (或 1006t=28)設(shè)運動 y 秒，P、Q 在 D 點相遇，則此時 P 表示的數(shù)為 1006y，Q 表示的數(shù)為一 20 4y。P、Q 為同向而行的追及問題。依題意有，6y 4y=120，解得 y=60(或由 P、Q 運動到 C 所表示的數(shù)相同，得一 204y=100 6y，y=60)D 點表示的數(shù)為：一 20 4y= 260 (或 100 6y= 260)點評：熟悉數(shù)軸上

8、兩點間距離以及數(shù)軸上動點坐標的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。是一個相向而行的相遇問題；是一個同向而行的追及問題。在、中求出相遇或追及的時間是基礎(chǔ)。例 3 .已知數(shù)軸上兩點 A、B 對應(yīng)的數(shù)分別為一 1，3,點 P 為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的 數(shù)為 X。學(xué)習(xí)必備歡迎下載若點 P 到點 A、點 B 的距離相等，求點 P 對應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點 P,使點 P 到點 A、點 B 的距離之和為 5 ?若存在，請求出 x 的值。若不存在，請說明理由？當(dāng)點 P 以每分鐘一個單位長度的速度從 0 點向左運動時，點 A 以每分鐘 5 個單位長 度向左運動，點 B 一每分鐘 20 個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)

9、，幾分鐘后P 點到點A、點 B 的距離相等？分析：如圖，若點 P 到點 A、點 B 的距離相等，P 為 AB 的中點，BP=PA。AE- *- -*-103依題意，3x=x ( 1)，解得 x=1由 AB=4，若存在點 P 到點 A、點 B 的距離之和為 5，P 不可能在線段 AB 上，只能 在 A 點左側(cè)，或 B 點右側(cè)。1P 在點 A 左側(cè)，PA= 1 x，PB=3x依題意，(一 1 x)+ ( 3 x)=5，解得 x= 1.52P 在點 B 右側(cè)，PA=x ( 1) =x+1 , PB=x 3依題意，(x+1 ) + (x 3) =5，解得 x=3.5點 P、點 A、點 B 同時向左運動

10、，點 B 的運動速度最快，點 P 的運動速度最慢。故 P 點總位于 A 點右側(cè)，B 可能追上并超過 A。P 到 A、B 的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運動 t 分鐘，此時 P 對應(yīng)的數(shù)為一 t, B 對應(yīng)的數(shù)為 3 20t, A 對應(yīng)的數(shù)為一 1 5t。1B 未追上 A 時，PA=PA，貝 U P 為 AB 中點。B 在 P 的右側(cè)，A 在 P 的左側(cè)。PA= t ( 1 5t) =1+4t, PB=3 20t ( t) =3 19t2依題意有，1+4t=3 19t，解得 t= U2B 追上 A 時，A、B 重合，此時 PA=PB。A、B 表示同一個數(shù)。4_依題意有，一 1 5t=3 20t

11、，解得 t= j即運動 二或二分鐘時，P 到 A、B 的距離相等。點評：中先找出運動過程中 P、A、B 在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩 點間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個運動過程。例 4.點 A?、A3、An(n 為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點Aj在原點 0 的左邊，且A10=1，點 A2在點 A1的右邊，且 A2A1=2，點 A3在點 A?的左邊，且 AsA2=3，點 AA在點 A3的右邊，且 AAA3=4 ,，依照上述規(guī)律點A2008、A2009所表示的數(shù)分別為()。A . 2008, 2009 B. 2008, 2009 C. 1004, 1005 D. 1004, 1004分析：如

12、圖,學(xué)習(xí)必備歡迎下載Ag血0 A2A4點 Ai表示的數(shù)為一 1 ;點 A2表示的數(shù)為一 1+2=1 ;點 A3表示的數(shù)為一 1+2 3= 2;點 A4表示的數(shù)為一 1+2 3+4=2 點 A2008表示的數(shù)為一 1+2 3+42007+2008=1004點 A2009表示的數(shù)為一 1+2 3+42007+2008 2009=1005點評：數(shù)軸上一個點表示的數(shù)為 a,向左運動 b 個單位后表示的數(shù)為 a b;向右運動 b 個單位后所表示的數(shù)為 a+bo運用這一特征探究變化規(guī)律時，要注意在循環(huán)往返運動過程中 的方向變化。練習(xí)題：1.已知數(shù)軸上 A、B 兩點對應(yīng)數(shù)分別為一 2, 4, P 為數(shù)軸上一動點，對應(yīng)數(shù)為xo若 P 為線段 AB 的三等分點，求 P 點對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在 P 點，使 P 點到 A、B 距離和為 10 ?若存在，求出 x 的值；若不存 在，請說明理由。若點 A、點 B 和 P 點（P 點在原點）同時向左運動。它們的速度分別為1、2、1 個單位長度/分鐘，則第幾分鐘時 P 為 AB 的中點？（參考答案：0 或 2;一 4 或 6 :2）2電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點 K0,第一