連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

1、1 2.4 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 概率密度及其性質(zhì) 指數(shù)分布 均勻分布 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2一一. .連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)定義定義 如果對(duì)于隨機(jī)變量如果對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)， 存在非負(fù)函數(shù)存在非負(fù)函數(shù) f (x)，使得對(duì)于任意，使得對(duì)于任意 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x，有，有則稱則稱 X 為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)其中函數(shù) f (x) 稱為稱為X 的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱概率密度概率密度.xdttfxF,)()(連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 X 由其密度函數(shù)唯一確定由其密度函數(shù)唯一確

2、定3證明： 所以有 0 aXP0 aanndxxf1lima)XnP(aa)P(Xn 1lim0. 2 aXPaX有，對(duì)任意的實(shí)數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的重要特點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的重要特點(diǎn):1.分布函數(shù)F(X)為連續(xù)函數(shù)由由2.2.可推知可推知1)()( aXPdxxf )(aRXP 而而 并非不可能事件，并非不可能事件， 并非必并非必然事件?？梢姡皇录?。可見，aRXaX 由由 不能推出不能推出. B1)( BP由由 不能推出不能推出; A0)( AP4 由定義知道，概率密度 f(x) 具有以下性質(zhì)：. 0)(10 xf. 1)(20dxxff (x)0 x1)( .)()()(

3、3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf (x)x01x2x).()()(40 xfxFxxf處連續(xù)，則有在點(diǎn)若5說說 明明 由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題 ，的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為若若已已知知連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量xfX取取值值的的概概率率為為，也也可可以以是是無無窮窮區(qū)區(qū)間間）上上間間；可可以以是是有有限限區(qū)區(qū)間間，閉閉區(qū)區(qū)間間，或或半半開開半半閉閉區(qū)區(qū)也也可可以以

4、是是可可以以是是開開區(qū)區(qū)間間（在在任任意意區(qū)區(qū)間間則則,GGX GdxxfGXP6注注 意意 連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是，密度函數(shù)不是概率！ badxxfaFbFaXPbXPbXaP)()()()()()( 利用以上關(guān)系可以推得，隨機(jī)變量利用以上關(guān)系可以推得，隨機(jī)變量 落落入某有限區(qū)間入某有限區(qū)間 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為X,(ba類似可得類似可得 取值落入取值落入 內(nèi)的概率為：內(nèi)的概率為：X),(x)(1)(1)(xFxXPxXP bXaPbXaPbXaPbXaP )(7例例1 1設(shè)設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

5、其它020242xxxcxf解：解： 由密度函數(shù)的性質(zhì)由密度函數(shù)的性質(zhì)；求求：常常數(shù)數(shù) c 1 XP 1dxxf dxxf1得20224dxxxc2032322xxcc3883 c所所以以， 2200dxxfdxxfdxxf8 11dxxfXP 221dxxfdxxf2122483dxxx213232283xx21例例1 1設(shè)設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 其它020242xxxcxf；求求：常常數(shù)數(shù) c 1 XP9例例2 2 某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以 10010010002xxxxf為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求

6、為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求 5 個(gè)同類型的元個(gè)同類型的元件在使用的前件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)恰有小時(shí)內(nèi)恰有 2 個(gè)需要更換的概率個(gè)需要更換的概率.解：解：設(shè)：設(shè)：A= 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)需要更換小時(shí)內(nèi)需要更換 150XPAP則 150dxxf1501002100dxx3110檢驗(yàn)檢驗(yàn) 5 個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn) B= 5 個(gè)元件中恰有個(gè)元件中恰有 2 個(gè)的使用壽命不超過個(gè)的使用壽命不超過150小時(shí)小時(shí) 32253231 CBP24380 10010010002xxxxf為密度函數(shù)的

7、連續(xù)型隨機(jī)變量求為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量求 5 個(gè)同類型的元個(gè)同類型的元件在使用的前件在使用的前 150 小時(shí)內(nèi)恰有小時(shí)內(nèi)恰有 2 個(gè)需要更換的概率個(gè)需要更換的概率.解：解：P(A)=1/3例例2 2 某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以11的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X xxxFarctan121 的密度函數(shù)的密度函數(shù)試求試求 X解：解：，則則的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè))(xfX xFxf 2111x 例例3 3 x12例例4 4的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X 其它021210 xxxxxf的分布函數(shù)試求 X解解： xdttfxFx

8、時(shí)，當(dāng)00 xdttfxFx時(shí)，當(dāng)10 xdttfdttf00 xtdt022x13 xdttfxFx時(shí)，當(dāng)21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212xx例例4 4的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X 其它021210 xxxxxf的分布函數(shù)試求 X解解：14 xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 xdttfdttfdttfdttf22110021102dtttdt1例例4 4的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X 其它021210 xxxxxf的分布函數(shù)試求 X解解：15的分布函數(shù)量綜上所述，可得隨機(jī)變X xxxxxxxxF21211221020022返回主目錄例例4 4的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變

9、量X 其它021210 xxxxxf的分布函數(shù)試求 X解解：16二二. . 常見的連續(xù)型隨機(jī)變量常見的連續(xù)型隨機(jī)變量1均均 勻勻 分分 布布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 其它01bxaabxf上的均勻分布，服從區(qū)間則稱隨機(jī)變量baX記作 X U a , b或 X R a, b17密度函數(shù)的驗(yàn)證 則有：是其密度函數(shù)，上的均勻分布，區(qū)間設(shè)xfbaX ；，有對(duì)任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxfbadxab11 確是密度函數(shù)其它01bxaabxf由此可知，18均勻分布的概率背景該子區(qū)間的位置無關(guān)間的長(zhǎng)度成正比，而與取值的概率與該子區(qū)上的任意一個(gè)子區(qū)間上，在區(qū)間變量上的均勻分布，則隨

10、機(jī)，服從區(qū)間如果隨機(jī)變量baXbaX上取值是等可能的，在區(qū)間量這時(shí)，可以認(rèn)為隨機(jī)變baXXXabxll0lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc19均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù) xbbxaabaxaxxF10abxF (x)01的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為：則則上上的的均均勻勻分分布布服服從從區(qū)區(qū)間間若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量XbaX,20例例5 5 設(shè)公共汽車站從上午設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔時(shí)起每隔15分鐘來一班車分鐘來一班車,如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到到7:30之間的均之間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車時(shí)間不超過勻隨機(jī)變量試求該乘客候車時(shí)

11、間不超過5分鐘的概分鐘的概率率其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 其其它它0300301xxf上的均勻分布上的均勻分布，服從區(qū)間服從區(qū)間則則300X解：解：設(shè)該乘客于設(shè)該乘客于7時(shí)時(shí)X分到達(dá)此站分到達(dá)此站令：令：B= 候車時(shí)間不超過候車時(shí)間不超過5分鐘分鐘 30251510 XPXPBP則則 30251510301301dxdx31 21例例6 6上的均勻分布，服從區(qū)間設(shè)隨機(jī)變量63試求方程02442xx有實(shí)根的概率解：解：的密度函數(shù)為隨機(jī)變量 其其它它06391xxf有實(shí)根方程設(shè)：02442xxA 024442PAP則021P21或P62139191dxdx949232222 2正正 態(tài)態(tài) 分分 布布

12、的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為如果連續(xù)型隨機(jī)變量如果連續(xù)型隨機(jī)變量X)(e21)(222)( xxfx )0,(為參數(shù)為參數(shù)其中其中 Rxf (x)0),(:),(22 NXX記作記作的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量23標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布，我我們們稱稱，若若1010N 數(shù)數(shù)為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函 xexx222124下面驗(yàn)證： 121222 dxedxxfx 首先驗(yàn)證： 12122 dxedxxx 222 dxex即即驗(yàn)驗(yàn)證證： 2222 dxex為此，我們只需證明：密度函數(shù)的驗(yàn)證 是其密度函數(shù)，則有：，設(shè)xfNX2

13、xexfx021222 25 dyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù)) 02202222rdreddxerx 0222re 2 222 dxex因因此此，則有：則有：作極坐標(biāo)變換，作極坐標(biāo)變換，,siny,cos rrx 26密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))下面驗(yàn)證：121222dxex dxedxexx2222122121則則有有1 dueu2221 xuxudd,則作變換：27正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì) 我們有：由高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)，數(shù)對(duì)于正態(tài)分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有這表明：對(duì)于任意的對(duì)稱，曲線關(guān)于直線0 xf

14、 (x)0hh28 越小落在該區(qū)間中的概率就變量越遠(yuǎn)時(shí)，隨機(jī)間離同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)對(duì)于的值就越小這表明，越遠(yuǎn)，離取到最大值時(shí)，當(dāng)Xxfxfxfx21正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì) 軸為漸近線以曲線處有拐點(diǎn)；在曲線Oxxfyxxfy29 所確定圖形的位置完全由參數(shù)但不改變其形狀因此軸平行移動(dòng)，的圖形沿的值，則固定，而改變?nèi)魓fyxxf)(正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì) 越分散的取值的圖形越平坦，這表明越大時(shí)，越大；反之，當(dāng)附近的概率落在圖形越陡，因而越小時(shí)，可知，當(dāng)?shù)淖畲笾禐榈闹?，由于固定，而改變?nèi)鬤xfyXxfyfxf,21正態(tài)分布的密度曲線是一條對(duì)稱正態(tài)分布的密度曲線是一條對(duì)稱的鐘形曲線。特點(diǎn)是的

15、鐘形曲線。特點(diǎn)是“兩頭小，兩頭小，中間大，左右對(duì)稱中間大，左右對(duì)稱”。 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度。決定了圖形中峰的陡峭程度。30正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布31標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算，則其密度函數(shù)為，如果隨機(jī)變量

16、10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函數(shù)為表，頁列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布書上第179)xX(P)x(, 0 x我們可直接查表求出對(duì)于32我們可由公式如果, 0 x xdt2tx-2e21dt) t ()x(x0)(xx-x得：作變換,ddt,txxxde21de21)(2222)(1de21122xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算33一般正態(tài)分布的計(jì)算)1, 0(2NXYNX，則，設(shè) yXPyYPyFYytdte22221，代入上式，得，則作變換dtdutu yuYdueyF2221 yyXP)(xXPxFX)(xxXP 函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布其中，x34例例8 8；，試求：，設(shè)

17、隨機(jī)變量212110XPXPNX解： 1221 XP84134. 097725. 013591. 0 1221XP 11284134. 0197725. 081859. 035；，試求：，設(shè)隨機(jī)變量0625192XPXPXPNX解：) 1 ()5(51FFXP)321()325( 311 1311162930. 084134. 047064. 0例例9 962162XPXP6261XP841XP)324()328(1 221 2120455. 097725. 01236010XPXP)320(13217486. 032；，試求：，設(shè)隨機(jī)變量0625192XPXPXPNX解：例例9 937例例1

18、010的概率不超過個(gè)月的月降水量都起連續(xù)的正態(tài)分布求從某月）（單位：，某地區(qū)的月降水量服從cmcm5010440解：2440，則：該地區(qū)的月降水量設(shè)：NXX月降水量不超過再設(shè)：cmA50 50XPAP則：)44050(5 . 299379. 0cmP5010個(gè)月降水量都不超過連續(xù)所以，1099379. 09396. 038例例1111 假設(shè)某種電池壽命（單位：小時(shí)）為一隨機(jī)假設(shè)某種電池壽命（單位：小時(shí)）為一隨機(jī)變量，它服從參數(shù)為變量，它服從參數(shù)為300和和352的正態(tài)分布，計(jì)算：的正態(tài)分布，計(jì)算：) 1 (這種電池壽命在這種電池壽命在250250小時(shí)以上的概率；小時(shí)以上的概率；內(nèi)的概率不低于內(nèi)

19、的概率不低于 解解 設(shè)電池的壽命為設(shè)電池的壽命為 X, ,則則X N（300， 352 ）)250(1)250(1)250() 1 (FXPXP;9236. 0)710(1)35300250(1300,300 xx%90)2(確定數(shù)字確定數(shù)字 , ,使電池壽命落在區(qū)間使電池壽命落在區(qū)間0 xx)2(由由 可得可得%90)300300(xXxP%90)35300300()35300300(xx39利用分布函數(shù)的單調(diào)不減性，查表可得：利用分布函數(shù)的單調(diào)不減性，查表可得：,645. 135x5 .57x%90電池壽命落在區(qū)間電池壽命落在區(qū)間242.5,357.5242.5,357.5內(nèi)的概率不低于內(nèi)

20、的概率不低于 。,%90)35()35(xx95. 0)35(x例例1111 假設(shè)某種電池壽命（單位：小時(shí)）為一隨機(jī)假設(shè)某種電池壽命（單位：小時(shí)）為一隨機(jī)變量，它服從參數(shù)為變量，它服從參數(shù)為300和和352的正態(tài)分布，計(jì)算：的正態(tài)分布，計(jì)算：) 1 (這種電池壽命在這種電池壽命在250250小時(shí)以上的概率；小時(shí)以上的概率；內(nèi)的概率不低于內(nèi)的概率不低于 300,300 xx%90)2(確定數(shù)字確定數(shù)字 , ,使電池壽命落在區(qū)間使電池壽命落在區(qū)間0 xx解解)2(40分位點(diǎn)。為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上則稱點(diǎn)滿足條件若設(shè)zzXzNX , 10,P ),1,0(0 x)(x.57. 2,645. 1z ,z ,57. 2,645. 1z 995. 00.95- 1005. 00.05zzz查表可知z1z413指指 數(shù)數(shù) 分分 布布如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 000 xxexf