高中數(shù)學圓錐曲線有關焦點弦的幾個公式及應用

1、圓錐曲線有關焦點弦的幾個公式及應用湖北省陽新縣高級中學鄒生書如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點，則稱此弦為焦點弦。圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關知識。焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進行考查的。本文介紹圓錐曲線有關焦點弦問題的幾個重要公式及應用，與大家交流。 定理1  已知點是離心率為的圓錐曲線的焦點，過點的弦與的焦點所在的軸的夾角為，且。（1）當焦點內(nèi)分弦時，有；（2）當

2、焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線），有。 證明  設直線是焦點所對應的準線，點在直線上的射影分別為，點在直線上的射影為。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，又，所以。 （1）       當焦點內(nèi)分弦時。如圖1，所以。  圖1 （2）       當焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線）。如圖2，所以。  圖2 評注  特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點弦時公式的不同，這一點很

3、容易不加區(qū)別而出錯。 例1（2009年高考全國卷理科題）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點。若，則的離心率為（ ）              解  這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。 例2（2010年高考全國卷理科第12題）已知橢圓的離心率為。過右焦點且斜率為的直線于相交于兩點，若，則（   ）         

4、0;    解  這里，設直線的傾斜角為，代入公式得，所以，所以，故選。 例3 （08高考江西卷理科第15題）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點（點在軸左側(cè)），則有  圖3 解 如圖3，由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角，當點在軸左側(cè)時，設，又，代入公式得，解得，所以。 例4 （2010年高考全國卷理科第16題）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為 解  設直線與焦點所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。 

5、例5（自編題）已知雙曲線的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交的兩支于兩點。若，則 解  這里，因直線與左右兩支相交，故應選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。 定理2  已知點和直線是離心率為的圓錐曲線的焦點和對應準線，焦準距（焦點到對應準線的距離）為。過點的弦與曲線的焦點所在的軸的夾角為，則有。 證明  設點在準線上的射影分別為，過點作軸的垂線交直線于點，交直線于點。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，所以。  圖4 （1）當焦點內(nèi)分弦時。如圖4，。， 所以較長焦半徑，較短焦半徑。 所以。

6、60;（2）當焦點外分弦時（此時曲線為雙曲線）。  圖5 如圖5，。 所以， 所以較長焦半徑，較短焦半徑。 所以。 綜合（1）（2）知，較長焦半徑，較短焦半徑。焦點弦的弦長公式為。 特別地，當曲線為無心曲線即為拋物線時，焦準距就是徑之半，較長焦半徑，較短焦半徑，焦點弦的弦長公式為。當曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時，焦準距為。 注  由上可得，當焦點內(nèi)分弦時，有 。當焦點外分弦時，有 。 例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，若線段的

7、長為8，則 解  由拋物線焦點弦的弦長公式為得，解得。 例7（2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓的右焦點為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點，已知。 （1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程。 解  （1）這里，由定理1的公式得，解得。 （2）將，代入焦點弦的弦長公式得，解得，即，所以，又，設，代入得，所以，所以，故所求橢圓方程為。 例8（2007年重慶卷第16題）過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為 解  易知均在右支上，因為，離心率，點準距，因傾斜角為

8、，所以。由焦半徑公式得， 。 例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線的右焦點作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點，則的值為 解  因為，離心率，點準距，因傾斜角為，所以。注意到分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。 例10  （2007年高考全國卷）如圖6，已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且。求四邊形面積的最小值。  圖6 解  由方程可知，則。 設直線與軸的夾角為，因為，所以直線與軸 的夾角為。代入弦長公式得， ，。故四邊形的面積為，。 所以四邊形面積的最小值為。 參考文獻： 鄭麗兵。