中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)分類練習(xí)圓與相似綜合解答題

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)分類練習(xí)圓與相似綜合解答題一、相似1.如圖，已知A(-2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx-1過A、B兩點(diǎn)，并與過A點(diǎn)的直線y=-x-1交于點(diǎn)C.(1)求拋物線解析式及對稱軸;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由;(3)點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N.問：是否存在這樣的點(diǎn)N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與4AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線y=ax2+bx-1,得,0=4&

2、-2b-I0=16a4b-I，拋物線解析式為：y=&x2-Jx-1Na/2x一，拋物線對稱軸為直線x=-E=1(2)解：存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+POM小，取點(diǎn)C(0,-1)關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C'(2,-1),連C'0與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)C'、。直線解析式為：y=kx'k=-1y="i3x/則p點(diǎn)坐標(biāo)為（i,-w）(3)解：當(dāng)AO84MNC時，如圖，延長MN交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE，y軸于點(diǎn)E/ACO=ZNCD,/AOC=ZCND=90°/CDN=ZCAO由相似，/CAO=/CMN/CDN=ZCMN

3、.MN±ACM、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點(diǎn)I設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a,-2a-1）由EDNsOACED=2aJ，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0,-a-1）N為DM中點(diǎn)Id，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2a,二a-1）11把M代入y=8X2-Jx-1,解得a=4則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3）當(dāng)AOACNM時，/CAO=ZNCM.CM/AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C即為點(diǎn)N由(2)N(2,-1).N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3)或(2,-1)【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求出拋物線的解析式，再求出它的對稱軸即可解答。(2)使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小，取點(diǎn)C(0,-1)關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C'

4、(2,-1),連C'0與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線C'0的解析式，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。(3)分情況討論：當(dāng)AOgMNC時，延長MN交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE，y軸于點(diǎn)E,由/ACO=/NCD,/AOC=/CND=90得出/CDN=ZCAO,再證明/CDN=ZCMN,根/據(jù)MNLAC,可彳#出M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(a,-Ja-1),根據(jù)EDNsOAC,得出點(diǎn)D、M的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出a的值，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)AOgCNM時，/CAO=/NCM,得出CM/AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C'即為點(diǎn)

5、N,就可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。2.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+士x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接ARAC.(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+匕x+c的表達(dá)式；(2)判斷4ABC的形狀，并說明理由；(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點(diǎn)N的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(不與點(diǎn)B、C重合)，過點(diǎn)N作NM/AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)4AMN面積最大時，求此時點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】(1)解：.A(0,4),.-.c=4,把點(diǎn)C坐標(biāo)(8,0)代入解析式，得：a=-r-yr+一事*4，.二次函數(shù)表達(dá)式為二&

6、#39;；(2)解：令y=0,則解得，x1=8,x2="-2",.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0),由已知可得，在RtAAOB中，AB2=BO2+AO2=22+42=20,在RtAAOC中AC-2=AO2+CO2=42+82=80,又,.BC=OB+OC=2+8=10.在ABC中AB-2+AC-2=20+80=102=BC2,.ABC是直角三角形；(3)解：由勾股定理先求出AC,AC=JF,盧-，八兩，在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN時，NO=CO=8,.此時N(-8,0);在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時，NC=AC=/W,.CO=8,NO=A飛-8,.此時N&由,0);在x軸正半

7、軸，當(dāng)AN=CN時，設(shè)CN=x,貝UAN=x,ON=8-x,在RtAAON中，斟十出-a/-=v,解得：x=5,.ON=3,此時N(3,0);在x軸正半軸，當(dāng)AC=NC時，AC=NC=./1,.ON=+8,此時N(人口+8,0);綜上所述：滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)是(-8,0)、(8-人小，0)、(3,0)、(8+N萬，0)；(4)解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2,過M點(diǎn)作MDx軸于點(diǎn)D,- .MD/OA,BMDABAO,.OA=4,BC=10,BN=n+2,.嬲)BM故WBNMDB口如，MN/AC,.見BC,OAa2- -MD=3(n+2),S>AAMN=S>AABN-S&

8、gt;ABMN=/12- X(n+2)X4-X-Jn2)X出#刃- q。-(n-3)5+5,<0,，n=3時，S有最大值，.當(dāng)AAMN面積最大時，N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式;(2)因為拋物線交x軸于BC兩點(diǎn)，令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后計算AB、BCAC的長，用勾股定理的逆定理即可判斷;(3)由(2)可知AC的長，由題意可知有4種情況：在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN叱在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時；在x軸正半軸，當(dāng)AN=CN時；在x軸正半軸，當(dāng)AC=NC時；結(jié)合已知條件易求解；(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2

9、,過M點(diǎn)作MDx軸于點(diǎn)D,由平行于三角BMDsBAO,于是有比形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得朗BN加一位，所以如8a將已知線段代8描Mb例式丑4一就，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得Saamn=Saabn-Sabmn=入比例式可將MD用含n的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形的構(gòu)成可得.?BN?OA-_BN?MD,將BN、MD代入可得關(guān)于n的二次函數(shù)，配成頂點(diǎn)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解。3.如圖，矩形ABCD中，AB=m,BC=n,將此矩形繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)0(0°<0<90°)得到矩形AiBODi,點(diǎn)Ai在邊CD上.(1)若m=2,n=1,求

10、在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)Di所經(jīng)過路徑的長度；(2)將矩形AiBGDi繼續(xù)繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2,點(diǎn)D2在BC的延長線All.上，設(shè)邊A2B與CD交于點(diǎn)E,若=-1,求生的值.【答案】(1)解：作AiHXAB于H,連接BD,BDi,則四邊形ADAiH是矩形.AHB .AD=HAi=n=1,在RtAAiHB中，:BAi=BA=m=2,BAi=2HAi, /ABAi=30°, 旋轉(zhuǎn)角為30°, BD=+于=邪, .D到點(diǎn)Di所經(jīng)過路徑的長度=)翔6(2)解：ABCEABA2D2,CEA2fhhCBA聞ih，CE=AjCZT.AiC=避?搦,zTBH=AiC=k

11、）f?Jr=避?建,/.m2-n2=6?搜m4-m2n2=6n4,忖W1-=6?/，Irtfl«3加3（負(fù)根已經(jīng)舍棄）【解析】【分析】（1）作AiHAB于H,連接BD,BDi,則四邊形ADAiH是矩形.根據(jù)矩形的對邊相等得出AD=HA=n=i,在RtAiHB中，根據(jù)三角形邊之間的關(guān)系判斷出ZABAi=30°,即旋轉(zhuǎn)角為30。，根據(jù)勾股定理算出BD的長，D到點(diǎn)Di所經(jīng)過路徑的長度，其實質(zhì)就是以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑，圓心角為30。的弧長，根據(jù)弧長公式，計算即可；CEA科i（2）首先判斷出BC&4BA2D2,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出WA1E=A1C廠山故CE=*,

12、根據(jù)尾，故A進(jìn)而得出加，由BH=AiC列出方程，求解得出站的值。4.已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO,BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM,將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持/ABP=90不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P.(1)當(dāng)P與O重合時(如圖2所示)，設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC.求證：四邊形OCBM是正方形；AB弧(2)請利用如圖1所示的情形，求證：不=而；(3)若AO=2，且當(dāng)MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長.【答案】(1)解：-2BM=AO,2CO=AO,.BM=CO,1. AO/BM, 四邊形OCBM是平行四邊形， /BMO=90&

13、#176;, .?OCBM是矩形，/ABP=90,°C是AO的中點(diǎn),.OC=BC矩形OCBM是正方形(2)解：連接AP、OB,P0“ /ABP=ZAOP=90,° A、B、O、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可知：/APB=ZAOB,1.AO/BM,/AOB=ZOBM,/APB=ZOBM,.APBAOBM,ABOk麗謠(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時，如圖所示,過點(diǎn)B作BDAO于點(diǎn)D,易證PE84BED,POObsb連易證：四邊形DBMO是矩形,.BD=MO,OD=BM,.MO=2PO=BD, .AO=2BM=2M,J6.OE=3易證ADBsABE,.AB2=AD?AE,-，ad=do

14、=dm=., .AE=AD+DE=.AB=,由勾股定理可知:易證：APEOAPBM,PBPM3.PB=V"當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時，如圖所示,0過點(diǎn)B作BDOA于點(diǎn)D, .MO=2PO, 點(diǎn)P是OM的中點(diǎn)，設(shè)PM=x,BD=2x, ./AOM=/ABP=90,° A、O、P、B四點(diǎn)共圓，四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，/BPM=ZA, .ABDAPBM,AD丹i-1心卻，又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM,.AD=BM=,f6x.uZ,解得：x=*'4,BD=2x=2.由勾股定理可知：AB=3BM=3【解析】【分析】(1)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出

15、四邊形OCBM是平行四邊形，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得出？OCBM是矩形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=BC根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得出結(jié)論；(2)連接AP、OB,根據(jù)/ABP=/AOP=90,判斷出A、B、O、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可知：/APB=/AOB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出ZAOB=ZOBM,根據(jù)等量代換得出/APB=/OBM,從而判斷出APBsOBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出陰砒;(3)當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時，如圖所示，過點(diǎn)B作BD±AO于點(diǎn)D,易證APEOABED,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出助值,易證:四邊形DBMO是

16、矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD=MO,OD=BM,故MO=2PO=BD,進(jìn)而得出BM,OE,DE的長，易證ADBsABE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AB2=AD?AE,從而得出AE,AB的長，由勾股定理可得BF的長，易證：APEOAPBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BE:PB=OM:PM=2:3,根據(jù)比例式得出PB的長；當(dāng)點(diǎn)P在。的右側(cè)時，如圖所示，過點(diǎn)B作BD±OA于點(diǎn)D,設(shè)PM=x,BD=2x,由/AOM=/ABP=90,得出四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/BPM=/A,從而判斷出ABDsPBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AD:BD=PM:BM

17、,根據(jù)比例式得出x的值，進(jìn)而得出BD,AB,BP的長。5.已知頂點(diǎn)為拋物線3經(jīng)過點(diǎn)二,點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點(diǎn)M,y軸相交于點(diǎn)E,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F,在直線AB上有一點(diǎn)P,若/OPM=/MAF,求APOE的面積;(3)如圖2,點(diǎn)Q是折線A-B-C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QN/y軸，過點(diǎn)E作EN/x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N,連接QE,將QEN沿QE翻折得到4QEN1,若點(diǎn)Ni落在x軸上，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)解：把點(diǎn)？代入，解得：a=1,V-(X-2V=r-X拋物線的解析式為：-或J(2)解：設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,代入點(diǎn)A、B的

18、坐標(biāo)得:I-2-b9/32-k-f-b解得：直線AB的解析式為：y=-2x-1,IHJ,/ E(0,-1),F(0,-/),M(-E,0), .OE=1,FE=, /OPM=ZMAF, 當(dāng)OP/AF時，AOPEAFAEOPOE14設(shè)點(diǎn)P(t,-2t-1)化簡得：(15t+2)(3t+2)=0,Saope=上OE/,司121當(dāng)t=-15時，Saope=二'X1雙=，J當(dāng)t=-3時，SaopE=綜上，APOE的面積為箝或J.(3)Q(-八【解析】【解答】（3）解：由（2）知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E(0,-1),設(shè)Q(m,-2m-1),Ni(n,0), N(m,-1),QEN沿

19、QE翻折得到QENi.n-1-6，NNi中點(diǎn)坐標(biāo)為(？，J,EN=ENi,.NNi中點(diǎn)一定在直線AB上,1.Ni(-j'-m,0),.EN2=EN1i2,m2=(二-m)2+1,5解得：m=-,.Q(-丸).【分析】(1)用待定系數(shù)法將點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可得出a值.(2)設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,代入點(diǎn)AB的坐標(biāo)得一個關(guān)于k和b的二元一次方程組，解之即可得直線AB解析式，根據(jù)題意得E(0,-1),F(0,-7),M(二，0),根-J0)+(-2-f-)-據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得OP=JFA=、-/:設(shè)點(diǎn)P(t,-2t-1),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得t值，再由三

20、角形面積公式POE的面積.(3)由(2)知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E(0,-1),設(shè)Q(m,-2m-1),N1(n,卜平力-160),從而得N(m,-1),根據(jù)翻折的性質(zhì)知NNi中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,，2)且在直線AB上，將此中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB解析式可得n=-二：-m,即N1(,-m,0),再根據(jù)翻折的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式得m2=(工-m)2+1,解之即可得Q點(diǎn)坐標(biāo).6.如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)。、點(diǎn)A(2,-4)、點(diǎn)B(3,-3),與x軸交于點(diǎn)C,直線AB交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線AFLx軸，垂足為點(diǎn)F,AF上取一點(diǎn)G

21、,使GBAAOD,求此時點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)過直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N,若/BMN=/OAF,求直線BM的函數(shù)表達(dá)式.【答案】(1)解：將原點(diǎn)O(0,0)、點(diǎn)A(2,-4)、點(diǎn)B(3,-3),分別代入a=1b=-4,解得E0y=ax2+bx+c,c=04a+2b小心=-得比十cy=x2-4x=行辦- 頂點(diǎn)為(2,-4).(2)解：設(shè)直線人8為丫=h+32k+b=-4,1=1由點(diǎn)A(2,-4),B(3,-3),得3-b=-3解得飛心,.直線AB為y=x-6.當(dāng)y=0時，x=6,點(diǎn)D(6,0). 點(diǎn)A(2,-4),D(6,0),B(3,-3),.OA=入口，OD=6,A

22、D=心，AF=4,OF=2,DF=4,AB=X-, .DF=AF,又-AF±x軸,/AD0=ZDAF=45,°.GBAsMOD,(3)解：如圖1,/BMN=ZOAF,I上如徵:/UFA=為',/MBN=ZAOF,設(shè)直線BM與AF交于點(diǎn)H,/ABH=ZAOD,/HAB=ZADO,AAOD-AHB&y=，點(diǎn)G(2,6則Q鈕,解得AH=直線BM的解析式為如圖2,FG=AF-AG=4.H(2,設(shè)直線BM為y=kx+b,將點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入得BD=AD-AB=WV1-大工./BMN=/OAF,/GDB=/ODA,.HBDAAOD.必疝"即4寸脾，解得DH=4

23、.點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2,0）.設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b.r2kb=0將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：領(lǐng)手沙-3,解得k=-3,b=6.，直線BM的解析式為y=-3x+6.1綜上所述，直線MB的解析式為y='或y=-3x+6.【解析】【分析】（1）將原點(diǎn)O（0,0）、點(diǎn)A（2,-4）、點(diǎn)B（3,-3）,分別代入y=ax2+bx+c,聯(lián)立方程組解答即可a,b,c的值，得到二次函數(shù)解析式；將解析式配成頂點(diǎn)AGAh式，可得頂點(diǎn)；（2）由GBAAOD,可得493,分別求出AD,AB,OD的長即可求出AG,由點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)G;（3）點(diǎn)M在直線AF的左側(cè)，可發(fā)出垂足N可以在線段AB上，也可以在

24、AB的延長線上，故有如圖1和如圖2兩種可能；設(shè)直線BM與直線AF的交點(diǎn)為H,由（2）可知，參加（2）的方法可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而求出直線BM的解析式.7.如圖，二次函數(shù)卜-二愉上海，（其中a,m是常數(shù)，且a>0,m>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD/AB,連接AD.過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E,AB平分/DAE.(2)求證：，整為定值；(3)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G,連接CF,以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足

25、要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)解：將C(0,-3)代入函數(shù)表達(dá)式得，"色加,h-3,時(2)證明：如答圖1,過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N.答圖1由"今Jinx3或'-，:，解得xi=m,x2=3m.A(m,0),B(3m,0).CD/AB,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,3).AB平分/DAE.，/DAM=ZEAN.ADAM例/DMA=/ENA=900,/.AADMAAEN,z.AEAN".(jf墟)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,新,x=4m.ADAM加.而一寸一嬴（3）解：存在,G.F的坐標(biāo)為（m,-4）

26、,由題意得：二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)過點(diǎn)F作FHI±x軸于點(diǎn)H,在RtCGO和RtFGH中，臼tan/CGO=跖，tan/FGH=亂,a=曲.-.OG="3m,"由勾股定理得GF=/而一至二面十£6=+i+蹴=J城*§=動/+/由（2）得,4E，/.AD:GF：AE=3：4:5.以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為一3m.【解析】【分析】1）將C點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)，CD/AB,求點(diǎn)D的坐標(biāo)，由ADMsaen對應(yīng)邊成比例，將求的比轉(zhuǎn)化成求小比，結(jié)果不含m即為定值.（3）連

27、接FC并延長，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G.過點(diǎn)F作FHI±x軸于點(diǎn)H,在RtCGO和RtFGH中根據(jù)同角的同一個三角函數(shù)相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求是定值，所以可得AD：GF：AE=3:GF和AD（用m表示），并求其比值，由（4：5,由此可根據(jù)勾股定理逆定理判斷以線段2)GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，直接得點(diǎn)G的橫坐標(biāo).8.如圖，以AB為直徑的OO外接于4ABC,過A點(diǎn)的切線AP與BC的延長線交于點(diǎn)P,/APB的平分線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,其中AE,BD（AEvBD）的長是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個實數(shù)根(1)求證：PA?B

28、D=PB?AE;(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證明,并求其面積；若不存在，說明理由.【答案】(1)解：PD平分/APB,/APE=ZBPD,AP與。O相切,/BAP=ZBAC+ZEAP=90,°.AB是。的直徑，/ACB=ZBAC+ZB=90；/EAP=ZB, .PAEAPBD,PA2 AE血，PA?BD=PB?AE(2)解：如圖，過點(diǎn)D作DUPB于點(diǎn)F,作DGAC于點(diǎn)G,PD平分/APB,ADXAP,DF±PB,.AD=DF, /EAP=ZB,ZAPC=ZBAC,易證：DF/AC,/BDF=ZBAC,由于AE,BD(AEVBD)

29、的長是x2-5x+6=0的兩個實數(shù)根,解得：AE=2,BD=3,PAPB，由(1)可知:3，DF=2,.DF=AE,，四邊形ADFE是平行四邊形，.AD=DF,，四邊形ADFE是菱形，此時點(diǎn)F即為M點(diǎn)，一cos/BAC=cosZAPC=i,sin/BAC=3,DG=3,菱形ADME的面積為：DG?AE=2X3=J.【解析】【分析】(1)易證/APE=ZBPD,/EAP=/B,從而可知APAEAPBD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.(2)過點(diǎn)D作DF±PB于點(diǎn)F,DDGLAC于點(diǎn)G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知：二3,從而可知cos/BDF=cosZBAC=cosZAPC

30、=,從而可求出AD和DG的長度，進(jìn)而證明四邊形ADFE是菱形，此時F點(diǎn)即為M點(diǎn)，利用平行四邊形的面積即可求出菱形ADFE的面積.二、圓的綜合9 .如圖1,已知扇形MON的半徑為72，2MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié)BM,作ODLBM,垂足為點(diǎn)D,C為線段OD上一點(diǎn)，且OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑OM于點(diǎn)A,設(shè)OA=x,/COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求x的值.&用圖x【答案】(1)證明見解析；(2)y2x【解析】x.2)；(3)分析:(1)先判斷出/A

31、BM=/DOM,進(jìn)而判斷出OAX4BAM,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DMBDME,進(jìn)而得出AE=1(J2x),再判斷出OAOE(3)詳解:OC2DM“，即可得出結(jié)論；ODOD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.(1)-OD±BM,AB±OM,./ODM=/BAM=90°./ABM+/M=ZDOM+ZM,:'人ABM=/DOM.ZOAC=ZBAM,OC=BM,.OAXBAM,.AC=AM.(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1.DE/AB,DMBDMEAE,AE=EM

32、.1.OM=72ae=1(72x).21 .DE/AB,OAOEOCOD2DMODDMOAOD2OEx,y(0<xx.2(3)1_(i)當(dāng)OA=OC時.DM-BM2-OC2在RtAODM中,OD,OM2DM2yDM，OD1-x29122 4xx尸.解得x.2,142.14.2,或x142(舍).2(ii)當(dāng)AO=AC時，則/AOC=/ACO./ACO>/COB,/CO&/AOC,./ACO>/AOC,此種情況不存在.(iii)當(dāng)CO=CA時，貝UZCOA=ZCAO=a,/CAO>/M,ZM=90°-a,a>45:/BOA=2490:/BOAW90

33、°，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為舊衣.2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.10 .如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AB=CD.（1）如圖（1）,求證:AD/BC;（2）如圖（2），點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，弦DG/AB,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)M,求證:AE=2DF；在（2）的條件下，若DG平分/ADC,GE=5/3,tan/ADF=4j3，求。O的半徑。怪.）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）J129【解析】試題分析：（1）連接AC.由

34、弦相等得到弧相等，進(jìn)一步得到圓周角相等，即可得出結(jié)論.（2）延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形ABED是平行四邊形，從而有AD=BE,DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到ZNDC=ZB,即可證明MBEACND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.（3）連接BG,過點(diǎn)A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的長，由EC=DE=AB,得到HC的長.在RtAHC中，由勾股定理求出AC的長.作直徑AP,連接CP,通過解4APC即

35、可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）連接AC.AB=CD,弧AB視CD,z.ZDAC=ZACB,.AD/BC.(2)延長AD至ijN,使DN=AD,連接NC.AD/BC,DG/AB,二.四邊形ABED是平行四邊形，AD=BE,.1.DN=BE,ABCD是圓內(nèi)接四邊形，/NDC=/B./AB=CD,1.MBECND,AE=CN./DN=AD,AF=FQDF=-CN,，AE=2DF.C2>(3)連接BG,過點(diǎn)A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，AB=DE.DF/CN,，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tanZADF=473,DG平分

36、/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,工DE是等邊三角形，.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；.ABGE是等邊三角形，BE=GE=543.tanZAEB=tan/ADF=4J3,設(shè)HE=x，貝UAH=45/3x.,ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,.BH=4x,AB=8x,，4x+x=5£,解得：x=73，AB=8V3,HB=473AH=12,EC=DE=AB=8>

37、/3,.HC=HE+EC=出873=973.在RtAAHC中，ac=Jah2hc2J122(9峋2=3V43.AC作直徑AP,連接CP,ZACP=90,/P=/ABC=60,.sin/P=,APAPACsin603、43二3一2129OO的半徑是7129.p11.如圖，已知AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D在。O上，BC=6cm,AC=8cm/BAD=45°.點(diǎn)E在。O外，做直線AE,且/EAC玄D.(1)求證：直線AE是。的切線.(2)求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)見解析；(2)25504【解析】分析：(1)根據(jù)圓周角定理及推論證得/BAE=90,即可得到AE是。的切線;(2)連接O

38、D,用扇形ODA的面積減去4AOD的面積即可.詳解：證明：(1).AB是。的直徑，/ACB=90,°即/BAC+ZABC=90, ZEAC玄ADC,/ADC=ZABC,/EAC=ZABC /BAC+/EAC=90,即RBAE=90° 直線AE是。O的切線；(2)連接ODBC=6AC=8AB.628210OA=5又OD=OA/ADO=/BAD=45/AOD=90°SW=S扇形ODASAOD9036025502(cm)4點(diǎn)睛：此題主要考查了圓周角定理和圓的切線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的和弓形的面積的求法求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的

39、應(yīng)用12.如圖，已知AB為。直徑，D是？C的中點(diǎn)，DELAC交AC的延長線于E,OO的切線交AD的延長線于F.(1)求證：直線DE與。O相切；(2)已知DG，AB且DE=4,。的半徑為5,求tan/F的值.【答案】(1)證明見解析；(2)2.【解析】試題分析：(1)連接BGOD,由D是弧BC的中點(diǎn)，可知：ODLBC；由OB為。的直徑，可得：BC±AC,根據(jù)DELAC,可證ODLDE,從而可證DE是。的切線；(2)直接利用勾股定理得出GO的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan/F的值.試題解析：解：(1)證明：連接OD,BC,是弧BC的中點(diǎn)，.OD垂直平分BC,AB為。的直徑，.-.A

40、C±BC,，OD/AE./DE±AC,.OD,DE,OD為。的半徑，.DE是。的切線；(2)解：D是弧BC的中點(diǎn)，dcdb，/EAD=/BAD,/DE±AC,DG±AB且DE=4,.-.DE=DG=4,/DO=5,.GO=3,.AG=8,.tanZADG=-=2,BF是。O的切4線，./ABF=90°,，DG/BF,.tan/F=tan/ADG=2.EAG,DG的長是點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出解題關(guān)鍵.13.如圖，在以點(diǎn)。為圓心的兩個同心圓中，小圓直徑AE的延長線與大圓交于點(diǎn)B,點(diǎn)D在大圓上，BD與小圓相切

41、于點(diǎn)F,AF的延長線與大圓相交于點(diǎn)C,且CE1BD.找出圖中相等的線段并證明.【答案】見解析【解析】試題分析：由AE是小。的直徑，可得OA=OE,連接OF,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OF±BD,然后由垂徑定理，可證得DF=BF,易證得OF/CE,根據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得AF=CF繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AD=BC,AB=CD然后連接OD、OC,可證得AODEOC則可得BC=AD=CE=AE試題解析：圖中相等的線段有：OA=OEDF=BFAF=CFAB=CRBC=AD=CE=AE證明如下：,.AE是小。的直徑，.OA=OE.連接OF, BD與小。相切于點(diǎn)F, OF

42、XBD. BD是大圓O的弦，DF=BF. .CE±BD, .CE/OF, .AF=CF四邊形ABCD是平行四邊形. .AD=BC,AB=CD. .CE:AE=OF:AO,OF=AO,，AE=EC連接OD、OC, .OD=OC,/ODC=ZOCD. /AOD=ZODC,/EOC=ZOEC,/AOC=ZEOC.AODAEOC；.AD=CE.BC=AD=CE=AED14.如圖，已知AB是。的直徑,足為D.【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性很強(qiáng)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，小心

43、不要漏解.P是BA延長線上一點(diǎn)，PC切。于點(diǎn)C,CD±AB,垂(1)求證：/PCA=/ABC;E,交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,若/CAB=2/B,CF(2)過點(diǎn)A作AE/PC交。于點(diǎn)=J3,求陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2)63、34【解析】【分析】(1)如圖，連接OC,利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對應(yīng)的圓周角是直角可得/PCA=ZOCB,利用等量代換可得/PCA=ZABC.FA=FCCF=FM,(2)先求出OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對等角定理求出然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出Saoe、SS形boe、Sabm的值，利用Sfe影部分SA0ES!形BOESABM，然后通過計算即可解答【詳解】解：(1)證明：連接OC,如圖,.PC切。O于點(diǎn)C,.-.oc±PC, /PCA+/ACO=90o,.AB是。的直徑，ZACB=ZACO+OCB=90o/PCA=ZOCB, .OC=OB,.-./OBC=ZOCB,ZPCA=ZABC; ACB中，/ACB=90