全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題答案

1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽考試時間：2016年5月8日（星期日） 上午8001000試題構(gòu)成：類別題號章節(jié)知識點(diǎn)適用階段難度填空題1不等式解不等式高一易2概率與計數(shù)原理計數(shù)原理高二易3函數(shù)估值，周期高一易4導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)，基本不等式高二易5解析幾何圓，直線高二易6平面向量線性關(guān)系高一易7立體幾何共面問題高一中8數(shù)列零點(diǎn)存在性定理高一難9不等式基本不等式，數(shù)的收攏高二中10初等數(shù)論整除問題競賽難解答題11三角函數(shù)基本運(yùn)算高一易12平面幾何幾何證明競賽易13解析幾何雙曲線的離心率高二中14初等數(shù)論三角等式，數(shù)的輪換競賽難解題建議：放棄10，12，14適當(dāng)放棄7，8試題正文與答案：一、填空題

2、（每小題7分，共70分）1若關(guān)于的不等式的解集為，則的值是 解析 由題設(shè)，不等式等價于，從而，解得，所以故填2從中任取兩個不同的數(shù)，則取出的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是 解析 取出兩數(shù)之和為偶數(shù)（兩數(shù)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)）的概率為故填3已知是周期為的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則的值是 解析 注意到，即，所以，所以故填評注 因為或或?qū)W會觀察，選用合適的方法進(jìn)行計算4已知直線是函數(shù)圖象的切線，當(dāng)?shù)男甭首钚r，的方程是 解析 由題意從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以直線的斜率最小值為，此時切點(diǎn)為，切線方程為故填5在平面直角坐標(biāo)系中，如果直線將圓平分，且不經(jīng)過第四象限，那么的斜率的取值范圍是 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題設(shè)直線

3、過點(diǎn)，其方程為，即，注意到不經(jīng)過第四象限，則，解得故填6已知等邊的邊長為，若，則的面積是 解析 由得點(diǎn)是等邊三角形的中心，所以，又由得，且，因此的面積為故填JC2016T06D評注 若找不到方向，此題也可以建系考查7已知正方體的棱長為，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)若過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形，則的取值范圍為 解析 先作出基本圖形如下圖左所示，假設(shè)能構(gòu)成五邊形，我們需要通過延長和連線的作圖方法法得到相應(yīng)的交點(diǎn)，如下圖右所示，連接與的延長線交于點(diǎn)，連接并延長與交于，則是所截五邊形的第三個頂點(diǎn)（注：作圖方法不唯一） JC2016T07D通過同樣的方法，可以作出其余的點(diǎn)，如下圖所示，JC2016

4、T07D若存在這樣的五邊形，則每個頂點(diǎn)都存在，設(shè)，通過相似可以得，從而只需，解得故填評注 如下圖所示，由于是正方體，也可采用極端思想，需要幾何動態(tài)的觀點(diǎn)JC2016T07D當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，有，即時，截面為四邊形；當(dāng)移向時，遠(yuǎn)離，點(diǎn)向點(diǎn)靠攏，此時可形成五邊形，即當(dāng)時，截面為四邊形；當(dāng)時，截面為五邊形因此的取值范圍為故填8已知數(shù)列的奇數(shù)項依次構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，且對任意，都有 若，且數(shù)列的前項和，則 解析 分析知，即，從此點(diǎn)無法解決根本，按照題目的設(shè)想，可求出首先，可以得到該數(shù)列的奇偶項表達(dá)式（分段通項），設(shè)，則，其次，因為對任意，都有，即只需滿足（或），因此對恒成

5、立，分析左邊，若需，則必須滿足u；分析右邊，若需，即，則必須滿足因此分析得最后，故填評注 u若不然，若，則令，解得，若令，則有與題意矛盾的理由同u類似事實(shí)上，在解決問題“不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”的時候，就沒將問題講清楚，而是直接根據(jù)主觀論斷，否定的情形，本質(zhì)上否定就是尋找一個，使得，這跟函數(shù)的零點(diǎn)以及單調(diào)性有關(guān)當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，只許滿足，從而；當(dāng)時，易知，易知方程的兩根為，又對稱軸，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，使，與題意矛盾綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是這種思想與高考卷或模擬卷中找尋零點(diǎn)個數(shù)或極值點(diǎn)（變號零點(diǎn)）個數(shù)的思想是一致的9已知正實(shí)數(shù)滿足，則 分析 若不是以整體的形式求

6、出，則必定分別求出，這類問題涉及到對代數(shù)式變形解析 解法一：將題設(shè)條件式通分并整理，得，整理得，因此，所以故填解法二：因為為正實(shí)數(shù)，所以，等號成立的條件為，所以故填解法三：因為，所以，即，所以故填解法四：由，等號成立的條件是，所以故填評注 常見的不等式鏈“調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)冪平均數(shù)”，簡記為調(diào)幾算冪，設(shè)是個正實(shí)數(shù)，則10設(shè)表示滿足下列條件的正整數(shù)的和：整除，且整除，那么的所有不同正因子的個數(shù)為 解析 因為，所以與的素因子相同，而，故可設(shè)這樣我們由題設(shè)條件可得，且，從而有，故，所以，的所有不同正因子的個數(shù)為評注 算術(shù)基本定理：若不計素因數(shù)的次序，則每一個大于的整數(shù)都可以唯一分解成素因

7、數(shù)乘積的形式，即，其中均為素數(shù)，為自然數(shù)有結(jié)論如下：（1）的約數(shù)個數(shù)為；（2）的所有約數(shù)之和為；（3）歐拉（Euler）函數(shù)表示不大于且與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)為二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知，求解析 解法一：由題設(shè)知，令，則，且，則，即，解得或（舍），即有，所以，或，從而或解法二：由題設(shè)可得，注意到，解得（舍負(fù)），進(jìn)一步解得或12如圖，點(diǎn)在的邊上，且，過點(diǎn)的直線與的外接圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn) 求證：（1）；（2）JC2016T10解析 （1）因為點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，所以，又，所以，又因為，所以（2）由（1）知，又，所以，從而，即，同理所以13在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 若，求雙曲線的離心率解析 解法一（參數(shù)方程法）：因為雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線l的傾斜角為，則直線的方程即為（為參數(shù)）代入雙曲線方程，并整理得，則有，因為，則有，從而，即，因為，故解法二（普通計算法）：當(dāng)斜率不存在時，由得，故，因為，故當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為，記，則由，得，即，消整理得，故且，由，得，整理得，從而，因為，故14已知凸九邊形的任意個內(nèi)角的正弦與其余個