2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——函數(shù)概念：函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案

1、函數(shù)的奇偶性與周期性【考點(diǎn)梳理】1 函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f( x) =f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f( x) =f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T) =f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

2、【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、函數(shù)奇偶性的判斷I【例 1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：f(x) 73-x2+寸X2-3;x2+x,x0,f(x)=x2-x,xV0.解析(1)定義域?yàn)?R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f( x) = ( x)3 2( x) = -x3+ 2x=- (x3-2x) =-f(x) 該函數(shù)為奇函數(shù)1 一x由石之可得函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,Mx I1TS1x；(1)f(x) =x3-2x;f(x)= (x+2函數(shù)為非奇非偶函數(shù)3即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-3,3,從而f(x) =3-x2+x2- 3 = 0.因此f( x) =-f(x)且f( x) =f(x), 函數(shù)f(

3、x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1 下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()答案D由x23 -x2 0,-3 0,得x2= 3，解得x= 3,易知函數(shù)的定義域?yàn)?一32=x+x,則當(dāng)XV0 時(shí)，一x 0,2故f(x) =xx=f(x)；0)U(0，+m)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)當(dāng)xV0 時(shí)，f(x) =x2-x，則當(dāng)x 0 時(shí)，一 故f(x) =x2+x=f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù) 【類(lèi)題通法】1 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:2 判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明數(shù)的都滿足相同的關(guān)系時(shí)，一f( x)與f(x)的關(guān)系，只有對(duì)各段上的才能判斷其奇偶性；也可以利用函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷.A.y=

4、x+ sin 2xx1C. y = 2 + 歹2B.y=x cosx2D. y=x+ sinx4解析 對(duì)于 A,定義域?yàn)?R,f(x) = x+ sin 2( x) = (x+ sin 2x) = f(x), 為奇函數(shù)；對(duì)于 B,定義域?yàn)?R,f( x) = ( x)2 cos( x) =x2 cosx=f(x)，為偶函數(shù);1 1對(duì)于 C,定義域?yàn)?R,f( -x) = 2x+ 2-x= 2x+ 2X=f(x)，為偶函數(shù)；y=x2+ sinx既不是偶 函數(shù)也不是奇函數(shù)x+ 2x+ 1,x0,2判斷函數(shù)f(x) =2的奇偶性.x2+ 2x 1，x0 時(shí)，一x0,f( x) =x 2x 1 = f

5、(x),當(dāng)x0,f( x) =x 2x+ 1 = f(x),f( x) =f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).考點(diǎn)二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例 2】若函數(shù)f(x) =xln(x+7a+x2)為偶函數(shù)，則a=_.答案1解析Tf(x)為偶函數(shù)，f( x) f(x) = 0 恒成立， xln( x+ a+x) xln(x+a+x) = 0 恒成立，xlna= 0 恒成立， Ina= 0, 即a=1.【類(lèi)題通法】已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x) f(x) = 0 得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】若f(x) = ln(e

6、3x+ 1) +ax是偶函數(shù)，則a=_.3答案3解析 由于f( x) =f(x) , ln(e3x+ 1) ax= ln(e3x+ 1) +ax,3化簡(jiǎn)得 2ax+ 3x= 0(x R)，貝U2a+ 3= 0, a=-.【例 3】已知f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0 時(shí)，f(x) =x2 4x，則f(x)=_.x2 4x,x0,答案2,x= 0,5x4x,xv0解析 f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)， f (0) = 0.又當(dāng)xv0 時(shí)，一x 0, f( x) =x+ 4x.又f(x)為奇函數(shù)，二f( X) =-f(X),即f(x)=x4x(xv0),x2 4x,x0,f(x) =

7、 0,x= 0,、一x4x,xv0.【類(lèi)題通法】已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程(組)，從而可得f(x)的值或解析式.JK J【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】3cr已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x0 時(shí)，f(x) =x+x+ 1,則當(dāng)x0 時(shí)，f(x)的解析式為答案f(x) = x3x+1解析 設(shè)x0,因?yàn)楫?dāng)x0 時(shí)，f(x) =x3+x+1,所以f(x) = x3x+1.又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x) = x3x+ 1.考點(diǎn)三、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【例 4】設(shè)定義在 R 上的函數(shù)f(x)滿足f(x+ 2) =f

8、(x)，且當(dāng)x 0 , 2)時(shí)，f(x) = 2x2x,貝y f(0) +f(1) +f(2) +f(2 017) =_.答案1009解析 f(x+ 2) =f(x)，函數(shù)f(x)的周期T= 2.又當(dāng)x 0 , 2)時(shí)，f(x) = 2xx2,.f(0) = 0,f(1) = 1,f(0) +f(1) = 1.f(0) +f(1) =f(2) +f(3) =f(4) +f(5) =f(2 016) +f(2 017) = 1 ,/f(0) +f(1) +f(2) +f(2 017) = 1 009.【變式 1】若將本例中“f(x+ 2) =f(x) ”改為“f(x+ 1) =f(x) ”，則結(jié)

9、論如何？ jr J*解析 f(x+ 1) =f(x),f(x+ 2) =f(x+ 1) + 1 =f(x+ 1) =f(x).故函數(shù)f(x)的周期為 2.由本例可知，f(0) +f(1) +f(2) +f(2 017) = 1 009.61【變式 2】若將本例中“f(x+ 2) =f(x) ”改為“f(x+ 1) =f-”，則結(jié)論如何？T x解析r1-f(x+1)=f x,7故函數(shù)f(x)的周期為 2.由本例可知，f(0) +f(1) +f(2) +f(2 017) = 1 009.【類(lèi)題通法】1 判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T) =f(x)(TM0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T(mén),根據(jù)

10、函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì).2函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論：(1)若f(x+a) = -f(x)，則T= 2a,1若f(x+a) =f_x，則T= 2a,1若f(x+a) = - f- ，貝U T= 2a(a0) T x【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】函數(shù)f(x)滿足f(x+ 1) =-f(x)，且當(dāng) 0wxf(2x 1)成立的x的取值范圍1 十x是_.答案311解析由f(x)= ln(1 十|x|) 1 十孑，知f(x)為 R 上的偶函數(shù)，于是f(x) f(2x 11)即為f(|x|) f(|2x 1|).當(dāng)x0時(shí)，f(x)= ln(1 十x) 1 十二，所以f(x)為0，十)1 十x上的

11、增函數(shù)，則由f(|x|) f(|2x 1|)得 Ix| |2x 1|，兩邊平方得 3x4x十 1v0,解得 f(x+ 2) =f(x+ 1) + 1=f x+1f(x).1 12廠2.81 13f(2x 1)成立的x的取值范圍是 3，1 .【類(lèi)題通法】抽象不等式問(wèn)題的解題步驟為： 將所給的不等式化歸為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系；利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0,)上是單調(diào)遞增函數(shù).如果實(shí)數(shù)t- 滿足f(lnt) +f(n 1 匸 2f(1)，那么t的取值范圍是 _1答案e e解析

12、由于函數(shù)f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，所以f(lnt) =fIn 1，由f(lnt)+filn 1W2f(1)，得f(lnt)wf(1).又函數(shù)f(x)在區(qū)間0 ,+)上是單調(diào)遞增函數(shù)，1 所以 |ln11w1,即一 1wIntw1,故-wtwe.e【例 6】若函數(shù)f(x)(x R)是周期為 4 的奇函數(shù)，且在0 , 2上的解析式為f(x)=2941貝Vf4 +f6=_.解析由于函數(shù)f(x)是周期為 4 的奇函數(shù)，所以f29+f書(shū)=f2X4 3+f2X46 =f一3+f一 6 =_f4 -f6 =-余+ 師扌=磊【類(lèi)題通法】函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期

13、性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】( )A.3 +1 B .3 1 C3 1 D3+ 1x(1x),0wxw1,sinnx,1xw2,f(x)是定義在 R 上的周期為 2 的奇函數(shù),當(dāng)x (0 , 1)時(shí),f(x) = 3x 1 ,則f9答案D10由題可知f(x+ 2) =f(x) = -f( -x)，所以f3=-f2 .又當(dāng)x (0,1)時(shí)，f(x) = 3x- 1,所以f【例 7】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R 且滿足下列三個(gè)條件:f X1f X21對(duì)任意的xi,X2 4 , 8，當(dāng)X10;xiX22f(x+ 4) =-f(x);3y=f(x+

14、 4)是偶函數(shù).若a=f(6) ,b=f(11) ,c=f(2017)，貝Ua,b,c的大小關(guān)系正確的是()A. abcB.bacC. acbD. cba答案B解析由得f(x)在4,8上單調(diào)遞增；由得f(x+ 8) =-f(x+ 4) =f(x)，故f(x)是周期為 8 的周期函數(shù)，所以c=f(2017) =f(252X8+ 1) =f(1) ,b=f(11) =f(3);由 得f(x)的圖象關(guān)于直線x= 4 對(duì)稱，所以b=f(3) =f(5) ,c=f(1) =f(7).結(jié)合f(x)在4 , 8上單調(diào)遞增可知，f(5)f(6)f(7)，即bac.故選 B.【類(lèi)題通法】解決函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)在已知區(qū)間上的奇偶性和單調(diào)性求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知定義在 R 上的奇函數(shù)f(X)滿足f(x 4) = -f(x),且在區(qū)間0 , 2上是增函數(shù)，則 ( )A.f(-25)vf(11)vf(80)B.f(80)vf(11)vf(-25)C.f(11)vf(80)vf(-25)D.f(-25)vf(80)f(11)答案D解析Tf(x)滿足f(x-4) =-f(x) , f(x-8)