大數(shù)定律和中心極限定理

1、第第5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律5.2 中心極限定理中心極限定理 人們在長期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具人們在長期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，也就是說隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)有穩(wěn)定性，也就是說隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定在一個(gè)確定的常數(shù)，即概率值附生的頻率將穩(wěn)定在一個(gè)確定的常數(shù)，即概率值附近頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ)，在第一近頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ)，在第一章中我們從直觀上描述了這一事實(shí)。本章將用大數(shù)章中我們從直觀上描述了這一事實(shí)。本章將用大數(shù)定律對頻率的穩(wěn)定性作出理論上的說明定律對頻率的穩(wěn)定性作出理論上

2、的說明 第第5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理另外，在前面，我們還看到相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變另外，在前面，我們還看到相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的和仍是正態(tài)隨機(jī)變量，本章將要介紹的中心極量的和仍是正態(tài)隨機(jī)變量，本章將要介紹的中心極限定理將給出概率論中的另一個(gè)重要結(jié)果，即在相限定理將給出概率論中的另一個(gè)重要結(jié)果，即在相當(dāng)一般的條件下，充分多個(gè)相互獨(dú)立的非正態(tài)隨機(jī)當(dāng)一般的條件下，充分多個(gè)相互獨(dú)立的非正態(tài)隨機(jī)變量（不管它們的分布如何）的和近似服從正態(tài)分變量（不管它們的分布如何）的和近似服從正態(tài)分布這一事實(shí)更說明了正態(tài)分布的重要性布這一事實(shí)更說明了正態(tài)分布的重要性 大數(shù)定律和中心極限定理無論

3、在應(yīng)用上還是理論大數(shù)定律和中心極限定理無論在應(yīng)用上還是理論上都具有極其重要的作用上都具有極其重要的作用第五章第五章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理【吸煙率調(diào)查問題】【吸煙率調(diào)查問題】 某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率p，將，將被調(diào)查的成年男子中吸煙的頻率作為被調(diào)查的成年男子中吸煙的頻率作為p的估計(jì)，現(xiàn)在的估計(jì)，現(xiàn)在要保證有要保證有90%以上的把握，使得調(diào)查對象吸煙者的以上的把握，使得調(diào)查對象吸煙者的頻率與該城市成年男子的吸煙率頻率與該城市成年男子的吸煙率p之間的差異不大于之間的差異不大于5%，問至少要調(diào)查多少對象？，問至少要調(diào)查多少對象

4、？第五章第五章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理 5.1 5.1 大大 數(shù)數(shù) 定定 律律 對某個(gè)隨機(jī)變量對某個(gè)隨機(jī)變量X進(jìn)行大量的重復(fù)觀測，所得到進(jìn)行大量的重復(fù)觀測，所得到的大批觀測數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，由于的大批觀測數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，由于這類穩(wěn)定性都是在對隨機(jī)變量進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)的這類穩(wěn)定性都是在對隨機(jī)變量進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下呈現(xiàn)出來的，歷史上把這種試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)條件下呈現(xiàn)出來的，歷史上把這種試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)出現(xiàn)的規(guī)律統(tǒng)稱為出現(xiàn)的規(guī)律統(tǒng)稱為大數(shù)定律大數(shù)定律 首先來引進(jìn)證明大數(shù)定律所需要的預(yù)備知識首先來引進(jìn)證明大數(shù)定律所需要的預(yù)備知識契比謝夫契比謝夫（Cheb

5、yshev）不等式不等式定理定理5.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)及方差及方差D(X)都存在，則對于任意正數(shù)都存在，則對于任意正數(shù) ，有不等式，有不等式 (5.1)即即 (5.2)成立成立稱上述不等式為契比謝夫（稱上述不等式為契比謝夫（Chebyshev）不等式）不等式2)(| )(| XDXEXP 2)(1| )(| XDXEXP 5.1 大大 數(shù)數(shù) 定定 律律 證：證：（僅對連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行證明）（僅對連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行證明） 設(shè)設(shè)f (x)為為X的概率密度，記的概率密度，記E(X) = ，D(X) = 2，則則 從定理中可以看出，如果從定理中可以看出，如果D(X

6、)越小，那么隨機(jī)變量越小，那么隨機(jī)變量X取值于開區(qū)間取值于開區(qū)間(E(X) ，E(X) + )中的概率就越大，中的概率就越大，這也進(jìn)一步說明方差是一個(gè)反映隨機(jī)變量在其分布中這也進(jìn)一步說明方差是一個(gè)反映隨機(jī)變量在其分布中心心E(X)附近集中程度的數(shù)量指標(biāo)，附近集中程度的數(shù)量指標(biāo)，D(X)越小，越小，X的取的取值越集中于值越集中于E(X)附近附近 xdxxf)( dxxfx)()(122 5.1 大大 數(shù)數(shù) 定定 律律| )(| XEXP xdxxfx)()(22221 2)( XD 利用契比謝夫不等式，我們可以在隨機(jī)變量利用契比謝夫不等式，我們可以在隨機(jī)變量X的分的分布未知的情況下估算概率值的界

7、限，當(dāng)然這個(gè)估計(jì)布未知的情況下估算概率值的界限，當(dāng)然這個(gè)估計(jì)是比較保守的如果已經(jīng)知道隨機(jī)變量的分布，所是比較保守的如果已經(jīng)知道隨機(jī)變量的分布，所需求的概率可以確切地計(jì)算出來，就沒必要利用契需求的概率可以確切地計(jì)算出來，就沒必要利用契比謝夫不等式來做估計(jì)了比謝夫不等式來做估計(jì)了5.1 大大 數(shù)數(shù) 定定 律律【例【例5-1】若某班某次考試的平均分為若某班某次考試的平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差分，標(biāo)準(zhǔn)差為為10，試估計(jì)及格率至少為多少？，試估計(jì)及格率至少為多少？ 解：解：用隨機(jī)變量用隨機(jī)變量X表示學(xué)生成績，則數(shù)學(xué)期望表示學(xué)生成績，則數(shù)學(xué)期望E(X) = 80，方差，方差D(X) = 100，所以，所以P60 X 100 P60 X 100 = P|X 80| 1）,則則 證：證：因?yàn)橐驗(yàn)閄1，X2，Xn獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，所以所以 獨(dú)