數(shù)學后進生分類

1、1 前 言 上世紀末，我國普遍實行九年義務教育，初中教育不再 是“精英”教育，而是面向全體適齡兒童。當所有適齡少年 兒童都進入初中學習時，學習困難的學生將會大大增加。 【1】 學習困難學生的問題已經(jīng)成為本世紀初基礎教育中的一個大 問題。李嵐清副總理在1999 年全國第三次教育工作會議上的 講話中指出：“只有面向全體學生而不是少數(shù)學生，使他們的 基本素質(zhì)都得到普遍提高，使他們的特長和潛能都得到發(fā)展， 使他們都能有適合自身特點的發(fā)展方式，才是符合二十一世 紀要求的高質(zhì)量和高水平的教育，才能達到提高整個中華民 族素質(zhì)的目的?！?【2】 調(diào)查顯示，在初中階段，數(shù)學學習困難學生所占的比例， 縣城為 22

2、%，鄉(xiāng)鎮(zhèn)為 29.7%【3】 由此可見，初中數(shù)學學習困難 學生涉及面很廣。初中生數(shù)學知識掌握得不好，不僅影響到 數(shù)學后繼課程的學習，也影響到相關學科（如物理、化學） 的學習。因此，調(diào)查、分析、研究數(shù)學學困生的成因，并做 好轉(zhuǎn)化工作，關系到學生的全面發(fā)展，關系到“面向全體學 生”的素質(zhì)教育能否落到實處，關系到“普九”能否順利實 施的問題。 我國數(shù)學學困生問題的真正深入系統(tǒng)研究，開始于全面 貫徹“義務教育法”，實施義務教育以后。由“應試教育”向“素質(zhì)教育”的轉(zhuǎn)移，極大地推動了學困生問題研究的深入 開展，使得數(shù)學學困生轉(zhuǎn)化的目標從注重分數(shù)的提高，轉(zhuǎn)到 注重數(shù)學素質(zhì)和人格完善的方向，把這一研究的基礎提

3、升到 了一個新的水平。 【4】 目前，我國基礎教育界對數(shù)學學困生已作了不少的實驗 研究，有些研究是大范圍的、系統(tǒng)的整體的研究（如山東泰 安師專的935 實驗），有些是局性的深度研究，如就某一數(shù)學 內(nèi)容（概念、命題等）的學習或?qū)W習者的某一方面如興趣、 情感、態(tài)度、認知、建構(gòu)等去研究學困生的成因及其轉(zhuǎn)化工 作，但很少關注學困生在數(shù)學學習中的理解障礙，以此為突 破口，去對數(shù)學學困生進行轉(zhuǎn)化工作的教育實驗就更為少見。 而從本質(zhì)上說，學生的數(shù)學學習過程是一個自主構(gòu)建自己對 【1】 數(shù)學課程標準解讀，北京師范大學出版社，2002 年5 月第1 版，迎接數(shù)學教育新時代，第3 頁。 【2】 華國棟，差異教學論

4、，教育科學出版社，2001 年4 月第1 版，前言，第1 頁。 【3】 魏立平，杜玉祥，初中數(shù)學差生成因的調(diào)查與分析，數(shù)學教育學報。1995（4）。 【4】 杜玉祥等，數(shù)學差生問題研究，華東師大出版社，2003 年5 月第1 版，第145 頁。 2 數(shù)學知識的理解的過程：他們帶著自己原有的知識背景、活 動經(jīng)驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括 獨立思考、與他人交流和反思等，去建構(gòu)對數(shù)學的理解。 【5】 數(shù)學學習中，“理解”無疑是第一位的，它已成為繼“問題解 決”之后當今世界數(shù)學教育界所關注的又一中心話題。 【6】 初中 生在數(shù)學學習中的理解障礙，是數(shù)學學困生形成的一個不容 忽視的原

5、因。 本研究試圖以初中數(shù)學學困生在數(shù)學學習中的理解障礙 作為突破口，結(jié)合數(shù)學教育、心理學理論，以及本人二十多 年的初中數(shù)學教學經(jīng)驗，以南寧外國語學校七年級的數(shù)學學 困生作為實驗對象，分析他們在數(shù)學學習中理解障礙的成因、 類型并進行轉(zhuǎn)化實驗，最后上升到理論，旨在給我國基礎教 育中從事“差生”轉(zhuǎn)化工作的教師提供參考。 【5】 數(shù)學理解標準解讀，北京師范大學出版社，2002 年5 月第1 版，第49 頁。 【6】馬復，試論數(shù)學理解的兩種類型，數(shù)學教育學報，2001 年8 月，第10 卷第3 期，第50 頁 3 第一章 數(shù)學學習困難學生研究概述 1.1 學習困難學生研究的歷史和現(xiàn)狀簡述 1.1.1 學

6、習困難研究的歷史發(fā)展 自從20 世紀60 年代柯克（S. Kirk）首先用學習困難一詞 來描述智力正常而在課程學習上有困難的學生以來，世界各 國對學習困難的研究已有超過四十年的歷史。盡管對學習困 難問題的研究與探討是在20 世紀中葉之后才開始，但其理論 與哲學基礎卻相當久遠。學習困難的有關研究可追溯到19 世 紀，其整個發(fā)展歷史可分為三個階段。 【1】 第一階段：奠基階段（18001930） 學習困難研究起始于神經(jīng)學家對由于腦損傷而失去閱讀 或言語能力的成人的研究。這一階段的主要研究者是維也納 的醫(yī)生高爾（F.Gall），他在1802 年研究大腦某部位的功能與 語言能力的關系時，發(fā)現(xiàn)如果大腦的

7、有關部位受損傷，人就 無法用言語來表達情感和意愿。這一階段具有代表性的成果 是：通過對不能學習閱讀兒童的個案研究，提出了“詞盲”概念，詞盲主要指能讀出詞，但不理解其含義的現(xiàn)象。 第二階段：過渡階段（19301960） 這一階段的學習困難研究不再限于醫(yī)學與神經(jīng)學的范 疇，也不再限于純粹的理論研究。在這一階段，心理學家和 教育學家試圖把“奠基階段”所形成的理論與研究成果轉(zhuǎn)變 成治療的實踐。對這種實踐進行嘗試的第一個研究者是美國 的一位精神病醫(yī)生奧頓（S. Orton），他提出了一套訓練與教育 的方法。本階段具有代表性的研究是由美國醫(yī)生史特勞斯（A. Strauss）、心理學家和特殊教育學者韋納（H

8、. Werner）和凱夫 特（N. Kephart）等人所作的有關知覺及知覺運動功能的 研究，他們的研究被認為是學習困難研究的先驅(qū)工作。學習 困難被確立為一個具體的研究領域，為學習困難領域理論和 研究奠定了基礎。 第三階段：整合階段（1960 年以后） 學習困難的概念在這一階段被正式提出來。 在這一階段，除了概念上的整合之外，研究者也逐漸地 認識到學習困難學生群體的多質(zhì)性，即由于學習困難的形成 原因繁雜、類型眾多，學習困難學生群體中的個別差異現(xiàn)象 也非常明顯。因此，一個特定的單一缺陷假設或理論，并不 能說明學習困難學生群體潛在的多質(zhì)性。研究者認為，應放 棄單一癥狀理論，以更好地描述學習困難學生

9、群體多質(zhì)性失 調(diào)的范圍。 1.1.2 學習困難的研究現(xiàn)狀 自上個世紀60 年代以來，學習困難便成為基礎教育界、 【1】 劉曉明，傅貴芳中學生學業(yè)不良的評價與干預，東北師范大學出版社，1999 年10 月第1 版，第10-11 頁。 4 教育學和心理學界研究的重要課題，各國學者對此都作了大 量的理論探索和實驗研究，取得了豐富的理論和研究成果。 但由于各國學者所處的文化背景不同，各國學校教育的具體情 況不同，他們研究的角度、側(cè)重點也各不相同?；谶@種考慮 且限于篇幅，本文僅介紹我國大陸學者對學習困難的研究現(xiàn)狀。 （1）教育學領域?qū)W習困難的研究 大陸教育學界主要從以下幾方面對學習困難進行了研 究。

10、第一，學習困難的概念及其理解。有的認為，學習困難 學生就是后進生、差生；有的認為，弱智學生、低能學生應 包括在學習困難學生之內(nèi)。目前，人們對于學習困難的概念 的理解仍存在較大分歧，教育者們尚未達成共識。第二，學 習困難的類型。教育者從不同角度對學習困難進行了分類， 盡管分類不同，但最終都是為了學習困難學生的教育與轉(zhuǎn)化。 第三，學習困難的成因。教育者對學習困難成因的看法基本 上是一致的，即普遍認為造成學習困難的原因有內(nèi)因和外因 兩大因素。內(nèi) 因即學習困難的自身因素，主要包括遺傳、營養(yǎng)不良以及疾 病、神經(jīng)功能失調(diào)、個性不良、 學習動機和方法不當?shù)取Ｍ庖蛑饕笇W校、家庭和社會的影 響。第四，學習困難

11、的教育觀。有的學者主張學習困難學生 的教育應強調(diào)學校的主導作用，尤其重視教師在學習困難形 成和轉(zhuǎn)化中的作用；有的教育者則認為學習困難學生的教育 應強調(diào)學校、家庭和社會的有機結(jié)合。也有的學者持折中的 看法，認為對學習困難學生應該進行綜合教育，依靠各方面 的力量共同努力，才能有效地促進學習困難學生的轉(zhuǎn)化。 【1】 （2）心理學領域?qū)W習困難的研究 大陸心理學界主要在以下方面對學習困難進行了研究。 第一，學習困難學生的心理特征。在這方面，比較常見的是 經(jīng)驗型和分析型研究。有的學者認為，應付心理、恐懼心里、 厭學心理、自卑心理、逆反心理等是學習困難學生的主要心 理特征。有的學者認為，要求愛撫和得不到溫

12、暖的矛盾、渴 望尊重和得不到尊重的矛盾、爭強好勝與地位低下的矛盾， 要求上進與意志薄弱的矛盾是學習困難學生的主要心理矛 盾。有的學者則認為，學習困難學生的共同特征是缺乏社會 性，對學習的不安傾向顯著，情緒不穩(wěn)定，自卑感重，有神 經(jīng)質(zhì)的傾向，學習方法拙劣，易遭挫折，且對挫折的忍耐力 差，缺乏努力學習的意志等等。第二，學習困難學生的心理 表現(xiàn)。這方面較常見的是描述性研究，大多數(shù)學者認為學習 困難學生的心理表現(xiàn)是模仿心理、比較心理、從眾心理、逆 反心理、僥幸心理等，并用經(jīng)驗性的材料加以論證。第三， 學習困難學生的個性特征。有的學者認為固執(zhí)、懶惰、馬虎、 【1】 劉曉明、傅貴芳中學生學業(yè)不良的評價與干

13、預第16 頁。 5 無責任心等是學習困難學生個性的突出表現(xiàn)。第四，部分學 者從信息加工過程角度來研究學習困難學生的注意力缺陷， 知覺失調(diào)等。當然，心理學者的研究與教育學者的研究有交 叉，心理學者對學習困難的含義、成因、分類、評價與教育 也進行了廣泛而深入的研究。盡管國內(nèi)對學習困難已有廣泛 的研究，但研究仍處于起步階段，有待進一步系統(tǒng)深入地研 究。 【2】 1.2 數(shù)學學習困難學生的界定 1.2.1 學習困難學生的界定 至今為止，關于“學習困難學生”國內(nèi)還沒有統(tǒng)一的、 公認的定義，其名稱各異，有“差生”、“后進生”、“學業(yè)不 良學生”、“其潛能還沒得到開發(fā)的學生”，其含義也不盡相同。 差生概念的

14、最大缺陷。一是含義不確切，二是有損學生 人格或打擊學生積極性。因而有些學者和教育工作者主張用“其才能未被開發(fā)的人”、“后進生”等詞來取而代之。這些 概念首先明確肯定了這一部分學生存在著發(fā)展的潛能，同時 認為他們目前存在著明顯的不足，處于暫時的學習落后狀態(tài)。 另一方面，主張繼續(xù)使用差生這一概念的教育工作者和研究 者，已傾向于摒棄“成績、品行雙差”這一概念，但要包容 學習障礙者。例如鐘啟泉認為：現(xiàn)代的差生概念有所拓展， 它不僅指傳統(tǒng)意義上的“學業(yè)不良”，也包括了近幾十年來越 來越受國際教育界關注的“學習失能”，這是另一種原因造成 的學業(yè)不良。它們的共同點是：智力屬正常范圍，但由于各 自不同的原因，

15、不能適應普通學校教育條件下的學習生活， 最終導致“學力不振”或“學力不良”。這種“不振”或“不 良”是可逆的或基本可逆的，在一定補救教育的條件下是可 以轉(zhuǎn)化的。這些特點有利于其他特殊教育的對象。 【3】 錢在森等人根據(jù)我國大陸中小學實際情況，結(jié)合上述意 見，提出了一個操作性定義：所謂學習困難學生，指的就是 智力正常，但學習效果低下，達不到國家規(guī)定的教育大綱要 求的學生。 1.2.2 數(shù)學學習困難學生的界定 關于數(shù)學學習困難學生（以后簡稱數(shù)困生）存在下列幾 個基本看法： 【4】 （1）對數(shù)學學習 絕對無能的數(shù)困生是不存在的。正如前蘇聯(lián)教育心理學家克 魯捷茨基指出的：“在恰當?shù)慕虒W下，每個正常的心

16、理健康的 學生是能夠或多或少地順利掌握中小學數(shù)學課程的，是能夠 獲得中學課程范圍內(nèi)的知識和技能的”。 （2）數(shù)學學困生是相對的。如克魯捷茨基在學生數(shù)學能 力比較研究中所描述的那樣，有些學生相對于有較強能力和 能力中等的學生而言，他們“學習數(shù)學顯得困難重重”，是“理 【2】 劉曉明，傅貴芳中學生學業(yè)不良的評價與干預，16-17 頁。 【3】 引自吳增強學習心理輔導，上海教育出版社，2000 年8 月第1 版，第191 頁。 【4】 唐瑞芳，朱成杰數(shù)學教學理論選講，2001 年1 月第1 版，第139140 頁。 6 解教師講解有困難（常常需要補課）”和“題目超出他們所 掌握的標準形式的范圍就不會

17、解”的學生，他們的“數(shù)學習 慣難以養(yǎng)成，需要經(jīng)過大量的練習，即使形成了也不穩(wěn)定， 不加練習就容易喪失”。 （3）數(shù)學學困生是達到中學數(shù)學大綱課程的合格要求還 存在一定程度困難的學生。這在我國中學數(shù)學教育界得到較 為普遍的認可。 以上 3 種看法，分別指出了數(shù)困生的可教性，相對性和 現(xiàn)實差距性。而魯獻蓉對數(shù)困生下的定義與之不謀而合，恰 好體現(xiàn)數(shù)困生的這三個特性：所謂數(shù)學學習困難學生，指的 是智力正常（可教性），且處于正常的教學環(huán)境，在同類群體 中，數(shù)學學習水平較低（相對性），達不到國家規(guī)定的相應數(shù) 學教學大綱要求的學生（現(xiàn)實差距性）。 【1】 我認為這一定義比 較符合我國中小學的實際情況,較便于

18、操作。這樣界定不僅考 慮到學習的外部條件，也注意到學生的內(nèi)部變化。他們當中 有些是數(shù)學能力問題，指那些比其他學生要花費更多時間和 精力才能勉強掌握數(shù)學知識和技能的學生；有些是因有其他 問題，例如，學習數(shù)學的環(huán)境、動力以及興趣、信心等心理 問題；另外還有數(shù)學的基礎不扎實等知識積累問題。但是， 他們共同的表現(xiàn)是不能掌握中學數(shù)學教學大綱規(guī)定的相應的 知識和能力，數(shù)學學習效果低下，其主要特點表現(xiàn)在個體的 認知、情意和行為系統(tǒng)等方面。 1.3 初中數(shù)困生成因的系統(tǒng)化研究 數(shù)學學困生研究是一個復雜的系統(tǒng)工程，不論是從形成 原因還是從結(jié)構(gòu)特征看，都是一個龐大的、復雜的群體，為 了從整體上把握這個群體，有較地

19、尋找數(shù)困生轉(zhuǎn)化的突破口， 對其進行成因研究是完全必要的。 山東省泰安師專的“935”實驗（初中數(shù)學學困生轉(zhuǎn)化實驗） 課題組，以內(nèi)外因關系為依據(jù)，在心理測試的基礎上，對數(shù)學 學困生成因進行了系統(tǒng)的研究，并作出了科學的分類（見下圖） 數(shù)學學困生分類系統(tǒng) 內(nèi) 因 主 導 型 外因影響型 智 力 型 非 智 力 型 【1】 魯獻蓉，數(shù)學學習困難學生的認知特點，數(shù)學教育學報，1999.11，第55 頁。 7 記 憶 障 礙型 思 維 欠 缺型 想 象 片 面型 操 作 遲 鈍型 興 趣 缺 乏型 態(tài) 度 不 端型 意 志 薄 弱型 情 感 障 礙型 方 法 不 當型 受 干 擾型 被 誤 導型 綜 合型

20、 這一研究從智力因素與非智力因素中探討數(shù)困生的成因 指出：基本智力水平發(fā)展滯后是數(shù)困生形成的一個重要原 因；數(shù)學基礎知識的“斷鏈”與“破網(wǎng)”是形成數(shù)困生的 直接原因；注意穩(wěn)定性差是形成數(shù)困生的主要原因；情 感消極意志薄弱是形成數(shù)困生的又一個重要原因。此外，環(huán) 境因素和機體因素對數(shù)困生的形成也有一定作用，尤其是環(huán) 境因素，并認為影響學習的環(huán)境很多，如學校所處的地理位 置，校園的美化情況，班級同學之間的關系，學習氣氛，教 師對學生的態(tài)度等等。這些因素對學生數(shù)學學習都有一定影 響。 【1】 1.4 從信息加工論角度，研究數(shù)困生的認識特點 許多認知心理學家把人看作是信息加工的機制，把認知 看作是對信息

21、的加工。當代認知心理學奠基人之一奈瑟 （Neisser,1967）認為：“認知指轉(zhuǎn)換、簡約、加工、貯存，提 取和使用感覺輸入的所有過程”【2】 數(shù)學學困生，除了學習數(shù)學的興趣、動機、態(tài)度等非認 知因素，與中等生、優(yōu)等生最根本的差異在于他們的認知方 式的不合理，與數(shù)學學科所需要的認知方式差距過大。這種 差距，是他們在數(shù)學智力活動中表現(xiàn)遲鈍的基本原因。以數(shù) 學學習中的信息獲取、加工和保持這幾個來分類研究，迄今 為止，較為深入、系統(tǒng)的要數(shù)前蘇聯(lián)教育科學院克魯捷茨基 的研究，他對數(shù)困生認知特點的研究結(jié)果可以描述成： 【3】 （1）在知覺數(shù)學材料、獲取信息過程中，他們?nèi)鄙僖环N“從具體材料中擺脫出來，鑒別

22、出一般”、“掌握數(shù)學對象的 形式結(jié)構(gòu)”的能力。具體地表現(xiàn)為下列特點： 離散性：他們分散地知覺材料中的各個數(shù)學元素，孤立 地看待每一個數(shù)學元素，似乎與別的數(shù)學元素沒有聯(lián)系。要 領悟材料中各元素之間的聯(lián)結(jié)或聯(lián)系，即使得到外界的幫助， 也會遇到很大的困難。 具體性：他們停留在材料中具體數(shù)學信息（如數(shù)據(jù)等） 的知覺上，難以從具體內(nèi)容中擺脫（或抽象）出來，達到真 【1】 泰安師專聯(lián)合課題組，初中數(shù)學差生成因的調(diào)查與分析，數(shù)學教育學報，1995.11，第41-49 頁。 【2】 施良方，學習論，人民教育出版社，1994 年5 月第一版，第250 頁， 【3】 唐瑞芳，朱成杰，數(shù)學教學理論選講，華東師范大學

23、出版社，2001 年1 月第1 版，第142145 頁。 8 正數(shù)學意義上的概括性認識。 同等性：他們同等地知覺著材料中的各個數(shù)學元素，而 不能評價他們并建立不同的層次，從而難以區(qū)分出其中帶有 本質(zhì)特征的那些數(shù)學元素。 分析的差異辨別性：他們在知覺材料、獲取信息的過程 中，雖然也存在著分析，但是這種分析只是用于辨認和區(qū)分 材料之間的不同之處，僅此而以，而不能成為后繼數(shù)學思維 活動開展的基礎。 上述這些知覺特點，使他們主動地從材料中最大限度地 獲取數(shù)學意義上“有用的信息”的能力明顯低于優(yōu)等生和中 等生，這為后繼數(shù)學思維活動的順利展開帶來了很大的困難。 （2）在數(shù)學活動過程中的信息處理上，表現(xiàn)出下

24、列特點： 概括數(shù)學材料的能力偏低。他們從“特殊的和具體的事 物中，發(fā)現(xiàn)某些一般的可以納入他們已經(jīng)知道的東西（概念、 法則、公式等）和從孤立和特殊的事物中看到某些一般的、 尚未為他們知道的東西（從一些特例推出一般，并形成一個概 念）”的能力明顯偏低，即使在外界的幫助下，做了一些中介的、 同一類型的練習之后，也常常不能按照本質(zhì)特征括數(shù)學材料。 嘗試活動的盲目性。對數(shù)學問題的解決常常不是立即想 出來的，需要在解答過程中作各種嘗試。但是，他們在嘗試 中對于“嘗試什么？為什么要嘗試這些方面？怎樣去嘗試？”常常在思想上是不明確的，是以“沒有目標的運算及胡亂而 無系統(tǒng)的求解企圖”為特點的。這種嘗試的盲目性，

25、使他們 幾乎得不到有利于求解的新的輔助信息。 思維易受定勢抑制，轉(zhuǎn)換遲鈍。他們在求解中，最初想 到的解法（往往是一種較難的、 習慣了的方法）阻礙著去發(fā)現(xiàn)其他解法，一種已經(jīng)確定了的 思路對重建思路具有一種抑制作用。這種思維過程中“凝固 不變的、定型化”的特點，使他們在從一種思路轉(zhuǎn)向另一種 思路時顯得格外的困難和緩慢。 “笨重”地推理而不能簡縮。在數(shù)學活動中，他們常常 被纏在一種煩瑣的演繹之中，必須“按部就班”地經(jīng)歷了相 當復雜的每一步驟后，才能得到一個判斷。他們的推理一直 是“以表面的理解，詳盡的但又是不必要的活動”為特征的。 這種推理結(jié)構(gòu)笨重而不能加以適當簡縮的特點，使他們信息 加工速度十分緩

26、慢，大大加長了問題解決的過程。 （3）在數(shù)學材料的保持上，他們?nèi)鄙賹Φ湫偷耐评砗瓦\ 算方式的概括記憶力。具體地說：(i)機械地記憶數(shù)學材料，而 不能通過分析、在理解材料的數(shù)學意義基礎上進行記憶。(ii)識記和保持的內(nèi)容常常是數(shù)學材料中個別的、零星的數(shù)據(jù)和9 細節(jié)，而不是主要因素數(shù)學運算或關系。(iii)對典型的推 理過程的記憶，往往不作取舍，缺少提煉概括，記住的不是 由推理要點組成的簡縮結(jié)構(gòu)。 第二章 現(xiàn)代認知心理學關于數(shù)學理解的研究綜述 2.1 數(shù)學理解的涵義 2.1.1 知識理解概述 中學生對基礎知識的學習是通過理解、保持和應用三個 基本環(huán)節(jié)來實現(xiàn)的。在師生交互作用、協(xié)同活動的教學過程 中

27、，中學生對知識的理解，就是對教材中有關事物的本質(zhì)和 規(guī)律的認識，從而達到理性上的掌握。 【1】 關于理解的理論，各派心理學家有各自的見解。格式塔 派從所謂“原始的智慧出發(fā)”，認為學習中的理解是“原始智 慧的成就”的表現(xiàn)，不承認經(jīng)驗在理解中的作用，所以把理 解歸結(jié)為“頓悟”，即突然貫通；巴甫洛夫?qū)W派把理解看作是“聯(lián)想的聯(lián)想”。他們認為學習就是形成暫時聯(lián)系，暫時聯(lián)系 就是聯(lián)想，就是獲得有關事物關系的知識。當進行新的學習 時，“利用知識，利用已獲得的諸聯(lián)系，這就是理解”。這種 看法是把利用“舊知”形成新聯(lián)想看作理解的。它承認經(jīng)驗 在理解中的作用，比較符合實際。但缺點是不能把理解和其 它種種心理過程如

28、感覺、知覺、記憶、習慣等等區(qū)別開來， 和其它思維過程區(qū)別開來；認知學派認為，任何知識都是對 于按一定的關系一定模式構(gòu)成的事物結(jié)構(gòu)的認識。個體在認 識中形成了這個相應的認知結(jié)構(gòu)后，對新事物進行認識時就 把新事物同化于已有的認知結(jié)構(gòu)或是改組擴大原有的認知結(jié) 構(gòu)，把新事物包括進去，這樣的心理活動就是理解。 【2】 理查德·斯根普（Richard Skemp）指出：“對某個事物的 理解，指的是將它同化進入一個適當?shù)?schema 之中?！边@里 的schema 是圖式、結(jié)構(gòu)的意思。具體地說，理解是在感知的 基礎上，通過思維加工，把新學習的內(nèi)容同化于已有的認知 結(jié)構(gòu)中，或者改組擴大原有的認識結(jié)構(gòu)

29、，把新學習的內(nèi)容概 括進去逐步達到認識事物的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維活動。 【3】 現(xiàn)代認知心理學認為理解的實質(zhì)是學習者以信息的傳 輸、編碼為基礎，根據(jù)已有信息建 構(gòu)內(nèi)部的心理表征、并進而獲得心理意義的過程。Mayer 給出 【1】 徐勝三主編中學教育心理學，人民教育出版社，1993 年5 月第1 版，P 137 【2】 張浪平著中學數(shù)學教學心理，廣西師范大學出版社，1989 年5 月第1 版，P 133 【3】 田萬海主編數(shù)學教育學，浙江教育出版社，P 87 10 了學習者的理解過程模式，如圖所示。 【1】 圖1 理解過程的一般模式 認知學派這種對學習中理解的解釋，近幾年來已引起許 多心理學家的

30、重視，也很符合數(shù)學學習中理解的解釋。 2.1.2 數(shù)學理解的涵義 數(shù)學學習中，“理解”無疑是第一位的，而“數(shù)學理解”已成為繼“問題解決”之后當今世界數(shù)學教育界所關注的又 一中心話題（PME News May 1997 edition，Mathematics Forum）。 【2】 在日常教學中，數(shù)學理解作為一個目標層次（了 解、理解、掌握、靈活運用）被解釋為：對概念和規(guī)律（定 律、定理、公式、法則等）達到了理性認識，不僅能夠說出 概念和規(guī)律是什么，而且能夠知道它是怎樣得來的，它與其它 概念之間的聯(lián)系，有什么用途。 【3】 這也就是原來的全日制初 級中學數(shù)學教學大綱（1988 年）中對“理解”的

31、解釋。現(xiàn)在， 我國的全日制義務教育數(shù)學課程標準這樣解釋“理解”： 能描述對象的特征和由來；能明確地闡述此對象與有關對象 之間的區(qū)別和聯(lián)系。 【4】 這些解釋重在結(jié)果和外在表現(xiàn)的判定。 而認知心理學則把數(shù)學理解描述為，數(shù)學學習內(nèi)容“成為個 人內(nèi)部網(wǎng)絡的一部分”強調(diào)在心理上組織起適當?shù)挠行У恼J 知結(jié)構(gòu)。 【5】 我國學者李士锜先生利用認知結(jié)構(gòu)的觀點，特別是結(jié)構(gòu) 的建構(gòu)觀點，認為學習一個數(shù)學概念、原理、法則，如果在 心理上能組織起適當?shù)挠行У恼J知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi) 部的知識網(wǎng)絡的一部分，那么才說明是理解了。其中所需要 做的具體工作就是尋找并建立恰當?shù)男隆⑴f知識之間的聯(lián)系， 使概念的心理表象建構(gòu)得

32、比較準確，它與其它概念表象的聯(lián) 系比較合理，比較豐富和緊密。 【6】 這樣的“定義”比較全面地考慮到了教育心理學所稱的“認知結(jié)構(gòu)變量”，即個人認知結(jié)構(gòu)在內(nèi)容和組織形式上的特 征，至少包含了以下幾層意義 【7】 1、知識的理解必須要有一定的心理基礎。Ausubel 曾經(jīng) 指出，從教育心理學最基本的原理看，“影響學習最重要的因 【1】 李新成現(xiàn)代認知心理學關于理解過程的研究，教育理論與實踐，1997.（2）：4549。 【2】 馬復，試論數(shù)學理解的兩種類型，數(shù)學教育學報，第10 卷，第3 期第50 頁。 【3】 羅增儒，數(shù)學理解的案例分析，中學數(shù)學教學參考，2003 年第3 期，第15 頁。 【4

33、】 全日制義務教育教學課程標準，北京師范大學出版社，2001 年7 月第1 版，第3 頁。 【5】 羅增儒，數(shù)學理解的案例分析，中學數(shù)學教學參考，2003 年第3 期，第15 頁。 【6】 李士锜數(shù)學教育心理，華東師范大學出版社，2001 年6 月第1 版，P 64 【7】 同5，P 64-69。 輸 入 短時記憶 操 作 長時記憶 11 素是學生已經(jīng)知道了什么”。在學習一個新概念以前，頭腦 里一定要具備與之有關的準備知識，它們是支撐新概念形成 的依托。并且這些有關的概念結(jié)構(gòu)是能夠被調(diào)動起來的，使 之與新概念建立聯(lián)系，否則就不會產(chǎn)生理解。 2、必須選擇和調(diào)動起相稱的認知圖式。在建構(gòu)新概念或 建

34、構(gòu)新概念的意義時，所利用的認知圖式必須是正確的、適 當?shù)?，即相稱的，否則就會引起誤解。 因此，要形成正確的理解，并不只是靠感知或讀通概念 的定義就可以的事。在頭腦中作信息加工的時候，被調(diào)動的 內(nèi)容將經(jīng)過監(jiān)控系統(tǒng)的比較、判斷和甄別等復雜過程的過濾， 而 且須在形式上作一定的處理。這里，涉及到理解所需要的心 理機制的問題。按照心理學的觀點，其中最基本的機制是同 化和順應。 3、理解是一個信息或要素組織的過程。簡單地講，理解 式的學習牽涉到兩個方面的建構(gòu)，一是處理新舊知識之間的 聯(lián)系，產(chǎn)生一個新舊知識之間的特定概念關系；二是組織起 相應的關系結(jié)構(gòu)，以利于新概念的存貯和回憶。 4、理解還需要認知結(jié)構(gòu)的

35、再組織。如果說單個概念的形 成是一個心理上的組織過程的話，那么學習中更為重要的是 心理上的再組織過程，這是一個對數(shù)學來說至關重要的過程。 如果沒有再組織或調(diào)整，那么較深入的理解是不可能達到的。 學生要能夠在理解過程中進行結(jié)構(gòu)的再組織，其必不可少的 機制是心理上的反省思維，即反思。 2.2 目前國內(nèi)外關于數(shù)學理解的研究概況及文獻綜述 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之 變，生物之迷，日用之繁，無處不用數(shù)學?！?，隨著數(shù)學應用 的日益廣泛和深入，數(shù)學教育愈來愈受重視，有關數(shù)學理解 的研究也越來越引起人們的普遍關注。在國外，二十世紀六、 七十年代就有學者開始了這方面的研究，并在各個領域取

36、得 了可喜的成果?，F(xiàn)在，隨著我國教育科學的不斷發(fā)展，生理 學、心理學和認知科學等學科的不斷完善，國內(nèi)也有不少專 家開始從事這方面的研究。 國內(nèi)外對數(shù)學理解的研究主要集中在以下幾個方面： （1）數(shù)學理解的界定，前面已就我國學者李士锜先生對 數(shù)學理解的界定作了系統(tǒng)的介紹，此處不再贅述。 （2）理解的功效。Carpenter Resnick 等人的研究表明， 數(shù)學理解有助于發(fā)明創(chuàng)造；Baddeley 等人的研究表明，理解 能促進記憶；Davis Meknigth 等人的研究表明，理解促進遷 移；而Doyle 等人的研究則表明，理解會影響學生對數(shù)學的信 念。 【1】 （3）數(shù)學理解水平的劃分。 ()國

37、外學者對數(shù)學理解水平的劃分。 1976 年，斯根普（Richard R.Skemp）在與挪威梅林 【1】 格勞斯，數(shù)學教與學研究手冊，陳昌平譯，上海教育出版社，1999 年P 131194 12 奧森（Stieg MellimOlsen）交流以后，明確提出了事物的 理解有兩種模式：工具性理解和關系性理解。 【2】 所謂工具性理 解是指：一種語義性理解符號 A 所指代的事物是什么， 或者一種程序性理解：一個規(guī)則 R 所指定的每一個步驟是什 么，如何操作；關系性理解則還需加上對符號意義和替代物 本身結(jié)構(gòu)上的認識，獲得符號指代物意義的途徑，以及規(guī)則 本身有效性的邏輯依據(jù)等等。英國的Pirie 和加拿

38、大的Kieren將數(shù)學理解分為八個水平，即原始認知、產(chǎn)生表象、形成表 象、性質(zhì)認知、形式化、觀察評述、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造。這 八個水平的關系，可以用八字嵌套的圓來表示，如圖2 所示。 【3】 圖2“超回歸”數(shù)學理解模型各水平之 間的關系 如圖 2 所示，這八個水平間“超越地回歸式”的相互包 含，認為數(shù)學理解是一個動態(tài)的、分水平的、非線性發(fā)展的、 反反復復的建構(gòu)過程。它具有以下三個特點： 超越性：外側(cè)理解水平包含內(nèi)側(cè)理解水平，并將內(nèi)側(cè) 理解水平協(xié)調(diào)地統(tǒng)一起來，且發(fā)展和超越了內(nèi)側(cè)理解水平。 回歸性：Pirie 和Kieren 認為：人無論在哪級理解水平 上，面對一個不能馬上理解或解決的問題，為了加深

39、和擴充 自己的理解，有必要返回到內(nèi)側(cè)水平?？墒牵@種重新返回 到內(nèi)側(cè)水平所進行的理解活動與原先內(nèi)側(cè)水平的理解不同， 具有外側(cè)理解水平的特點。另外，從某一水平的“回歸”不 僅僅是返回相鄰的內(nèi)側(cè)水平，有時會返回到更內(nèi)側(cè)的理解水 平。 不必要的邊界：因為“超回歸”數(shù)學理解模型的各個 水平之間相互連接、“回歸式”的包含，因此有些邊界是不必 要的，上圖中用粗線表示的邊界就是“不必要的邊界”。超越 了這個邊界，使外側(cè)理解產(chǎn)生的內(nèi)側(cè)理解就不需要了，學生 就有能力直接使用現(xiàn)有理解，進行新水平的理解活動，因此， 這種邊界叫“不必要的邊界”。 【2】 馬復試論數(shù)學理解的兩種類型，數(shù)學教育學報，2001 年8 月，

40、第10 卷第3 期P 50 【3】 李淑文、張同君，“超回歸”數(shù)學理解模型及其啟示，數(shù)學教育學報，2002 年2 月，第11 卷第1 期，第22 頁。 13 “不必要邊界”的特點說明，在“超回歸”理解模型的 八個水平中，數(shù)學活動、表象、形式化和構(gòu)造化是最基本和 最重要的理解水平。 ()國內(nèi)學者對數(shù)學理解水平的劃分。 我國學者黃燕玲、喻平按數(shù)學知識的分類將數(shù)學理解分 為對陳述性知識的理解、對程序性知識的理解和對過程性知 識的理解等三個方面。 【1】 對陳述性知識的理解。陳述性知識以命題、表象、線 性排序等 3 種形式作為基本表征單位。命題相當于頭腦中的 一個觀念，一個命題被看作是陳述性知識的最小

41、單元。一個 命題不是孤立的，它與其它命題相互聯(lián)系組成命題網(wǎng)絡。表 象表征是對事物的知覺特征的保留，是一種連續(xù)的、模擬的 表征。線性排序是對一系列元素所作的線性次序的編碼。在 人的知識表征中往往組合了命題、表象及線性排序，從而形 成對知識的綜合表征圖式。對數(shù)學陳述性知識的理解是 從知識的基本單元表征，到形成命題網(wǎng)絡，再到獲得圖式的 過程。 對程序性知識的理解，程序性知識是由陳述性知識轉(zhuǎn) 化而來的，是陳述性知識的動態(tài)成分。與靜態(tài)的陳述性知識 不同，程序性知識以“產(chǎn)生式”這種動態(tài)形式來表征。所謂“產(chǎn)生式”指一條“條件行動”規(guī)則，即一個產(chǎn)生式總 是對某一或某些特定的條件滿足時才發(fā)生的某種行為的一種 程

42、序。當一個產(chǎn)生式的行動成為另一個產(chǎn)生式的條件時，這 兩個產(chǎn)生式便建立了相互聯(lián)系，若一組產(chǎn)生式有這種相互聯(lián) 系，便形成一個產(chǎn)生式系統(tǒng)，產(chǎn)生式系統(tǒng)代表了人從事某一 復雜行為的程序性知識。 程序性數(shù)學知識的理解就是學習者對產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系 統(tǒng)的獲得。特別是，我們認為對程序性知識中的策略性知識， 其表征是一種雙向產(chǎn)生式。雙向產(chǎn)生式是一種具有雙重功能 的指令，它既能指令在具備什么樣的條件下會有什么動作， 又能指令在不同的情形中選用不同的產(chǎn)生式。換言之，學習 者不僅知道“如果67那么67”，而且還應知道在什么條件下去 使用這個“如果67那么67”。綜上所述，學習者對程序性數(shù)學 知識的理解，是指他建立了雙向

43、產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)。 對過程性知識的理解。過程性知識是伴隨著數(shù)學活動 過程的體驗性知識。體驗分為 4 個階段：(a)對知識產(chǎn)生的體 驗。體會知識產(chǎn)生的緣由。明晰新舊知識的關聯(lián)和因果關系。(b)對知識發(fā)展的體驗。體悟知識發(fā)展的動因，包括數(shù)學學科 的內(nèi)部因素和促進知識發(fā)展的外部因素，習得探究數(shù)學問題 的方法（邏輯的和非邏輯的）和策略。(c)對知識結(jié)果的體驗。 領會蘊涵在知識中的數(shù)學思想方法，感受數(shù)學結(jié)構(gòu)的美。(d) 【1】 黃燕玲、喻平對數(shù)學理解的再認識，數(shù)學教育學報，2002 年8 月第11 卷第3 期，第40 頁。 14 對知識運用的體驗。體會數(shù)學應用的 廣泛性，積累解決問題的認知策略和元認知

44、知識，形成自我 監(jiān)控的意識和習慣。 過程性知識的表征分為兩個層面：關系表征和觀念表征。 關系表征指個體對知識發(fā)展過 程中的知識之間存在某些關系的體悟。具體地說，它相當于 陳述性知識的命題網(wǎng)絡中連結(jié)命題的連線，以及程序性知識 的產(chǎn)生式系統(tǒng)中連結(jié)產(chǎn)生式的連線。觀念表征則是對知識之 間發(fā)生關系的緣由的體悟，其成分更多的是一種元認知體驗。 這 2 種表征因人而異，不同的學習者對同一對象的關系表征 的完善性、觀念表征的深刻性都可能不同。綜上分析，對過 程性數(shù)學知識的理解是學習者形成完善而深刻的關系表征和 觀念表征。 上述按數(shù)學知識的分類對數(shù)學理解水平的劃分，可圖示 如下。 數(shù)學理解 對陳述性知識的理解

45、對程序性知識的理解 對過程性知識的理解 2.3 影響數(shù)學理解的因素 根據(jù)圖式理論可知，個體在認識過程中，原有的知識及 其組織對理解具有極大的影響。新材料本身，沒有提供理解 它的完整信息。新材料的輸入，只能是一種線索，要想理解 這些新材料，就必須使新舊知識相互作用和結(jié)合，并從原有 知識中推論出理解當前的材料所需要的信息。根據(jù)上述觀點， 可以把影響理解的因素，概括為以下幾個方面： 【1】 理解學習的 心向、學習材料的性質(zhì)、原有認知結(jié)構(gòu)的水平、原有的知識 背景激活的程度。 （一） 理解學習的心向 影響學生對知識理解的重要因素之一是學生是否具有通過 積極思維，以求搞清、弄懂新知識的心理準備。學生所學材料 的內(nèi)容是由概念、原理、定理、定律、法則、公式等組成的系 統(tǒng)知識。這些知識都是運用語言、文字予以表述的。如果學生 缺乏理解學習的心向，他們就可能主要依靠機械記憶，以反復 誦讀的方式，記住這些文字的表述。這樣往往可能造成學生獲 得知識的假象，而實際上學生只是記住了文字的表述，并不是 真正理解這些知識。如果學生只是用機械記憶的方法學習，而 【1】 徐勝三主編中學教育心理學人民教育出版社，1993 年5 月第1 版，P 146148 15 不能對句子的深層含義予以分析和理解，就可能把許多等值