立體幾何知識點(diǎn)總結(jié),解題方法總結(jié)

1、-數(shù)學(xué)必修二知識梳理與解題方法分析第一章 ?空間幾何體?一、本章總知識構(gòu)造二、各節(jié)容分析1.1空間幾何體的構(gòu)造1.本節(jié)知識構(gòu)造1.2空間幾何體三視圖和直觀圖1、本節(jié)知識構(gòu)造1.3 空間幾何體的外表積與體積1、本節(jié)知識構(gòu)造。三、高考考點(diǎn)解析本局部容在高考中主要考察以下兩個方面的容：1.多面體的體積外表積問題；2.點(diǎn)到平面的距離多面體的一個頂點(diǎn)到多面體一個面的距離問題“等體積代換法。一多面體的體積外表積問題1 在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為601求四棱錐PABCD的體積；【解】1在四棱錐P-ABCD

2、中,由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角,PBO=60°.在RtAOB中BO=ABsin30°=1,由POBO,于是，PO=BOtan60°=,而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.2如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)，求三棱錐PDEN的體積?！窘狻孔?，交于，由面得面在中，。二點(diǎn)到平面的距離問題“等體積代換法。1 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，III求點(diǎn)E到平面ACD的距離?！窘狻?III 設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為， 在中，而點(diǎn)E到平

3、面ACD的距離為2如圖，正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的點(diǎn)，且。求點(diǎn)到平面的距離。【解】過在面作直線，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。3如圖，三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。1求O點(diǎn)到面ABC的距離； 【解】1取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD。，則BC面OAD。過O點(diǎn)作OHAD于H，則OH面ABC，OH的長就是所要求的距離。，。面OBC，則。，在直角三角形OAD中，有 另解：由知：第二章 ?點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系?一、本章的知識構(gòu)造二、各節(jié)容分析2.1空間中

4、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、本節(jié)知識構(gòu)造2.容歸納總結(jié)1四個公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面，則這條直線在此平面。符號語言：。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。 三個推論： 它給出了確定一個平面的依據(jù)。公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線兩個平面的交線。符號語言：。公理4：平行線的傳遞性平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號語言：。2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念異面直線及夾角：把不在任何一個平面的兩條直線叫做異面直線。 兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角或直角叫異面直線所成的夾角。易知：夾角圍

5、定理：空間中如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)。注意：會畫兩個角互補(bǔ)的圖形2.位置關(guān)系：3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種：4空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識構(gòu)造2.容歸納總結(jié)1四個定理定理定理容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面的一條直線平行，則該直線與此平面平行。在平面“找出一條直線與直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題轉(zhuǎn)化為“平面問題平面與平面平行的判定一個平面的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平

6、行。判定的關(guān)鍵：在一個平面“找出兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題轉(zhuǎn)化為“線面平行問題直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行。2定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化兩平面平行問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以在解題時應(yīng)注意“轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。這種轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)上就是：將“高維問題轉(zhuǎn)化為“低維問題，將“空間問題轉(zhuǎn)化為“平面問題。2.3 直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識構(gòu)造2.容歸納總結(jié)一根本概念1.直線與平面垂直：如果直線與平面

7、的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點(diǎn)叫做垂足。2. 直線與平面所成的角：角的取值圍：。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的記法：二面角的取值圍：兩個平面垂直：直二面角。二四個定理定理定理容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個平面的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。在平面“找出兩條相交直線與直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直轉(zhuǎn)化為“線線垂直平面與平面垂直的判定一個平面過另一平面的垂線，則這兩

8、個平面垂直。滿足條件與垂直的平面有無數(shù)個判定的關(guān)鍵：在一個平面“找出兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題轉(zhuǎn)化為“線面平行問題直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個平面的兩條直線平行。平面與平面垂直的性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面垂直與交線的直線與另一個平面垂直。解決問題時，常添加的輔助線是在一個平面作兩平面交線的垂線三定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化：兩平面垂直問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，所以在解題時應(yīng)注意從“高維到“低維 的轉(zhuǎn)化，即“空間問題到“平面問題的轉(zhuǎn)化。三、高考考點(diǎn)解析第一局部、三類角異面直線所成的夾角、直線與平面所成的角、二面角的求解問題一異面直線

9、所成的夾角與異面直線的公垂線1異面直線所成的夾角是本局部的重點(diǎn)和難點(diǎn)更是高考的考點(diǎn)。異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關(guān)位置的一個量，掌握好概念是解題的關(guān)鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過“平移法轉(zhuǎn)化為“平面角，然后證明這個角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角簡言之：“轉(zhuǎn)化角、“證明、“求角。以上三個步驟“轉(zhuǎn)化角是求解的關(guān)鍵，因為轉(zhuǎn)化的過程往往就是求解的過程其目的就是將“空間問題轉(zhuǎn)化為“平面問題角問題。1如下列圖，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,。II求直線與所成的角?！窘狻縄I第一步：將“問題轉(zhuǎn)化為求“平面角問題根據(jù)定義和題設(shè)，我們只能從兩條

10、異面直線的四個頂點(diǎn)出發(fā)作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點(diǎn)D作符合條件的直線。連結(jié)DO，則ODB即為所求的角。第二步：證明ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE/AF，且DE=AF，所以四邊形ODEF為平行四邊形 所以DO/EF所以根據(jù)定義，ODB就是所求的角。第三步：求角由題設(shè)可知：底面ABCD為正方形 DA平面ABCD 平面 DABC又 AFBC BC平面ADO DOBCDOB為直角三角形 在RtODB，或用反三角函數(shù)表示為：2在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為602假設(shè)E是PB的中點(diǎn)，求

11、異面直線DE與PA所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示【解】2取AB的中點(diǎn)F，連接EF、DF.由E是PB的中點(diǎn),得EFPA,FED是異面直線DE與PA所成角或它的補(bǔ)角。在RtAOB中AO=ABcos30°=OP,于是,在等腰RtPOA中,PA=,則EF=.在正ABD和正PBD中，DE=DF=.cosFED=異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.3 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，II求異面直線AB與CD所成角的大??；【解】 本小題主要考察直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離根本知識，考察空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。方法一：II

12、 取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角斜邊AC上的中線，異面直線AB與CD所成角的大小為4如圖，三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。2求異面直線BE與AC所成的角；【解】2取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EMAC，BEM是異面直線BE與AC所成的角。 求得：， 。2. 異面直線的公垂線問題 異面直線的公垂線問題也是高考的考點(diǎn)之一。與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.1如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。I證明：ED

13、為異面直線與的公垂線；【解】 設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，EDOBABCDEA1B1C1OFABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1， EDAC1， EDCC1，EDBB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線ABCA1VB1C12如圖，平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè)求證直線是異面直線與的公垂線；【解】解法1：證明： 平面平面，又平面平面，平面平面，平面， ，又，. 為與的公垂線.二 直線與平

14、面所成夾角1如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， 底面，且，分別為、的中點(diǎn)。求與平面所成的角?！窘狻?II取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等. 因為平面，所以是與平面所成的角.在中，。故與平面所成的角是。圖1圖22 在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2如圖1。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P如圖2求直線A1E與平面A1BP所成角的大小；【解】不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則II在圖2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜線，又A1E面BEP，A1EBP，B

15、P垂直于A1E在面A1BP的射影三垂線定理的逆定理設(shè)A1E在面A1BP的射影為A1Q，且A1Q交BP于Q，則EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60o，EBP為正三角形，BE=EP。又A1E面BEP，A1B=A1P，Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=，而A1E=1，在RtA1EQ中，即直線A1E與面A1BP所成角為60o。三二面角與二面角的平面角問題1如下列圖，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,。I求二面角的大??；【解】IAD與兩圓所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABFC是正方

16、形，所以BAF450.即二面角BADF的大小為450；2如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABC的射影為BF的中點(diǎn)O。求面與面所成二面角的大小?！窘狻窟B結(jié)AD，則易知AD與BF的交點(diǎn)為O。II設(shè)M為PB的中點(diǎn)，連結(jié)AM，MD。斜線PB在平面ABC的射影為OB，。又因此，為所求二面角的平面角。在正六邊形ABCDEF中，在Rt在Rt，則在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小為3如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).求二面角的大小.【解】如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則EF是PAD的中位線， EFPA又平面， EF平面同理FO是ADC的中位線

17、，F(xiàn)OABFOAC由三垂線定理可知ÐEOF是二面角EACD的平面角. 又FOABPAEF。ÐEOF45°而二面角與二面角EACD互補(bǔ)，故所求二面角的大小為135°.4 如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又.求二面角的大?。弧窘狻科矫?，又，由平面幾何知識得：連結(jié)，由及三垂線定理知，為二面角的平面角， 二面角的大小為5 如圖,=l , A, B,點(diǎn)A在直線l 上的射影為A1, 點(diǎn)B在l的射影為B1,AB=2,AA1=1, BB1=, 求:II二面角A1ABB1的大小?！窘狻?BB1, 平面ABB1。在平

18、面過A1作A1EAB1交AB1于E，則A1E平面AB1B。過E作EFAB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45°， AB1=B1B=. RtAA1B中，A1B= = 。由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= = ,在RtA1EF中，sinA1FE = = ，二面角A1ABB1的大小為arcsin.第二局部 ?空間直線、平面的平行問題?將“空間問題轉(zhuǎn)化為“平面問題的“轉(zhuǎn)化思想一“線線平行與“線面平行的轉(zhuǎn)化問題1如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；【解】

19、 證明此題的關(guān)鍵：在平面EAC中“找一條與PB平行的直線，由于點(diǎn)E在平面PBD中，所以可以在平面PBD中過點(diǎn)E“找顯然，要“找的直線就是平面PBD與平面EAC的交線。最終將“線面平行問題轉(zhuǎn)化為“線線平行問題。連接BD，與AC相交與O，連接EO，ABCD是平行四邊形 O是BD的中點(diǎn)又E是PD的中點(diǎn)， EO/PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC。2如圖，在五面體中，點(diǎn)是矩形的對角線的交點(diǎn)，面是等邊三角形，棱1證明/平面；2設(shè)，證明平面【解】分析通上題。證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM.在矩形ABCD中。 ，又，則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，且EM平面C

20、DE，F(xiàn)O平面CDE二 “線面平行與“面面平行的轉(zhuǎn)化問題2如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)，求證：；【證明】此題如果利用“線線平行找“線比較復(fù)雜不是不可以，所以我們可以考慮利用“面面平行來將問題轉(zhuǎn)化。關(guān)鍵是：考慮到點(diǎn)M、N都是中點(diǎn)，于是我們就輕松的可以找到另一個比較特殊的中點(diǎn)KOC的中點(diǎn)，將“線面平行問題轉(zhuǎn)化為“面面平行問題。取的中點(diǎn)，連結(jié)分別為的中點(diǎn)面，面面面面第三局部 ?空間直線、平面的垂直問題?將“空間問題轉(zhuǎn)化為“平面問題轉(zhuǎn)化思想。一“線線垂直到“線面垂直1如圖，是正四棱柱。I求證：BD平面；【解】 根據(jù)直線與平面平行的判定定理很容易找到兩條相

21、交的直線AC、A1A與BD垂直。是正四棱柱， CC1平面ABCD， BDCC1， ABCD是正方形， BDAC又 AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面。2 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，I求證：平面BCD； 【解】I證明：連結(jié)OC在中，由可得而即平面3 如圖4, 兩個正四棱錐的高分別為1和2, 。I證明: ；【解】取AD的中點(diǎn)M，連接PM、QM。因為PABCD與QABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM。從而AD平面PQM。 又PQ平面PQM，所以PQAD。 同理PQAB，所以PQ平面ABCD。9圖1圖2在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC