正方體的截面形狀

1、正方體的截面形狀一：?jiǎn)栴}背景在家做飯時(shí)，切菜尤其是切豆腐時(shí)，發(fā)現(xiàn)截面有很多形狀。假設(shè)用不同的截面去截一個(gè)正方體，得到的截面會(huì)有哪幾種不同的形狀？二：研究方法先進(jìn)行猜想，再利用土豆和蘿卜通過(guò)切割實(shí)驗(yàn)研究。三：猜想及其他可能的證明：1.正方形： 因?yàn)樵摿Ⅲw幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下底面平行的平面進(jìn)行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進(jìn)行截取，由以下列圖示證明： =?由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截面為正方形。 =?由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。2.矩形： 因?yàn)檎叫我矊儆诰匦?，所以?duì)正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長(zhǎng)寬不等的矩形截面的圖示如下： 由上

2、圖所示可知，按不同角度截取正方體可以得到矩形。例如，正方體的六個(gè)對(duì)角面都是矩形。3.平行四邊形： 當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時(shí)，所得截面為平行四邊形，圖示如下： =? 由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時(shí)，所得截面可能為平行四邊形。4.三角形： 根據(jù)一定角度過(guò)正方體的三條棱進(jìn)行截取可以得到三角形的截面，圖示如下:=? 由上圖可知，正方體可以截得三角形截面。但一定是銳角三角形，包括等腰和等邊三角形特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過(guò)三個(gè)面的對(duì)角線時(shí)，所得的三角形截面為正三角形，圖示如下：=?得到：正三棱錐5.猜想之外的截面形狀：1菱形： 如以下列圖所示，當(dāng)A,B為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，該截面為菱形： 2梯

3、形： 如下列圖，當(dāng)按一定角度使截面在正方體的上下底面上所存在的線段長(zhǎng)短有異時(shí)，所得截面可能是梯形：=?3五邊形： 如下列圖，可以截得五邊形截面： =?通過(guò)實(shí)踐及資料查詢可知，無(wú)法得到正五邊形。4六邊形： 如下列圖，可以截得六邊形截面：=?特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形，如下列圖：拓展探究：1.正方體最大面積的截面三角形2.正方體最大面積的截面四邊形3.最大面積的截面形狀4.截面五邊形、六邊形性質(zhì)1. 正方體最大面積的截面三角形：如該圖所示可證明，由三角面對(duì)角線構(gòu)成的三角形。2. 正方體最大面積的截面四邊形: 通過(guò)猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有：正方形

4、、矩形、梯形、平行四邊形。 根據(jù)四邊形的面積公式：面積=長(zhǎng)*寬 聯(lián)系正方體圖形：得到：當(dāng)由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形的長(zhǎng)最大，又因?yàn)樵诟鱾€(gè)情況下的寬不變。那么由猜想得到：“最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形。3. 最大面積的截面形狀： 正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為銳角三角型、等邊、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。 首先比較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面的情況有一共同特點(diǎn)：不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有局部空間空出。 因此可以得到：最大面積一定是四邊形。 所以最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形猜想。初步推斷為如下列圖的矩形：4. 截面五邊形、六邊形性質(zhì) 通過(guò)課本及資料查詢知：截面五邊形：有兩組邊互相平行.截面六邊形：三組對(duì)邊平行的六邊形.正方體的截面圖 四：結(jié)論如下：1、可能出現(xiàn)的：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、