高中數(shù)學雙曲線的切線(全面版)

1、雙曲線的切線1122本文擬討論由坐標平面內(nèi)任意點Px0,y0,引雙曲線C1:勺y-2=1a>0,abb>01的切線,切線的存在性、切線的條數(shù)、切線方程及切點坐標.不妨只考察P在原點、P在坐標軸正半軸上、P在第一象限內(nèi)的情形.當P在原點或P在區(qū)域I時,不存在切線；當P在C1或C2不含原點上時,僅一條切線；當p在區(qū)域n、m、iv、v或在C3不含A、B上時,有兩條切線.結(jié)論：原點處無切線.點在C3上時一條切線當P在線段AB上時,Q在C1的右支上半支.當P在線段AB的延長線上時,Q在C1的左支下半支.假設(shè)點P在區(qū)域I內(nèi),過P不存在切線.假設(shè)點P在曲線C1上異于點A,切點即點P.假設(shè)點P在曲

2、線C2上異于點B,假設(shè)P在線段OB上,Q在C右支下半支.假設(shè)P在線段OB的延長線上,Q在C1右支上半支.假設(shè)點P在區(qū)域n內(nèi),Q1在C1右支下半支,Q2在C1右支上半支.假設(shè)點P在區(qū)域出內(nèi),Q1、Q2位于C1同一支且在x軸同側(cè).假設(shè)點P在區(qū)域IV內(nèi),Q1在C的右支下半支,Q2在C的左支下半支.?假設(shè)點P在區(qū)域V內(nèi),Q1在C左支下半支,Q2在C的右支上半支.如下圖,記C1的漸近線為C2：x-=0,C1的右頂點為Aa,0,直線C3:abx=a;C3與C2的交點為Ba,b;C的內(nèi)部含焦點白局部為區(qū)域I;C與C2之間的局部,在C3左側(cè)為區(qū)域n,在C3右側(cè)局部為區(qū)域出；C2與y軸正半軸所夾的局部,在C3左

3、側(cè)為區(qū)域IV,在C3右側(cè)為區(qū)域V.1假設(shè)P在原點0y2無實數(shù)解,21x方程組x22a直線x=0不是Ci的切線.設(shè)過P(0,0)的直線l的方程為y=kx,代入(1)消去y得(b2a2k2)x2=a2b2,a實根,l與Ci有兩個交點.故過P不存在.的切線.2假設(shè)過點P存在無斜率的切線當|k|>b時,此方程無實根,所以|與C1無公共點；當|k|<-時,此方程有兩相反此時切線方程為x=x0,代入(1)消去x得a2y2=b2(x；a2),此方程有兩相等實根的充要條件是x0a2=0,即|x0|二a.故點P在C3上時,C3為Ci的一條切線,切點為A.3假設(shè)過點P存在有斜率的切線設(shè)切線斜率為k,那

4、么切線方程為yy0=k(x北)(2)將(2)代入(1)消去y可得(b2a2k2)x22a2k(y.一kxxa2(y.一kx.)2+b2=0(3)方程的判別式A=4a2b2(x0a2)k22x°y°k+(y0+b2)令f(k)=(x0a2)k22x0y0k+(y0+b2)3.1假設(shè)點P在C3±(異于點A)x0=a,一次方程f(k)=0的解為22y°b2x0y0(1)當y0=b時,即P與B重合時,k=-,過P且斜率為2的直線即直線C2,不是aaC1的切線.(2)當y°wb時,將(4)代入(2)得切線方程為(y2+b2)x2x0y0y+x0(y2b2

5、)=0.22設(shè)切點為Q(Qx,Qy),將切線方程與(1)聯(lián)立解之可得Qx里一絲,QybV.222bV.222bV.當P在線段AB上時,b>y.,Qx>0,Qv>0,故Q在Ci的右支上半支.當P在線段AB的延長線上時,bvy.,.Q*v0,Qv0,故Q在Ci的左支下半支.3.2假設(shè)點P不在C,上此時xowa.二次方程fk=0有實根的充要條件是其判別式=-4b2x0-a2y2-a2b2為0,22設(shè)s=-駕-y4-1,ab那么4>0s>0.3.2.1假設(shè)點P在區(qū)域I內(nèi)22此日白>1,a2b2Sv0.方程fk=0無實根,故過P不存在切線.3.2.2假設(shè)點P在曲線Ci

6、上異于點A22此時=1,ab,S=0,方程fk=0的二重根為k=2"02,注意到X.a將k值代入2整理得切線方程為b2Xc式,那么k=ay.22.222bx0x-ay0y=bx0ay0,注意到5式,切線方程可化為x°xy°y-2-2ab切點即點P.3.2.3假設(shè)點P在曲線C2上異于點B22此時華空=0,ab1.(6)S=1>0,方程f(k)=0有兩相異實根.易驗證,k1二工0是其一根,另一根x0為2222、y°by°x°(y0b)k2=-2一=12；(7)x°ax°yO(x0a)過點P且斜率為k的直線即C2,

7、不是C的切線.故C僅有條切線.將7代入2并注意到6,可得切線方程為設(shè)切點為Q(QX,(6),那么Qx22X0a2x0Xo>0,Qx>0,2222X0ay°b222aX02by0Qy),由(3)知,Qx2./1、ak(y°kx0)b22.2ak將(7)代入上式并注意到將Qx代入(2)并注意到(6)22X0aQ(k可得Qy2b2旦,故切點為2y0故Q在C的右支上.假設(shè)P在線段OB上,0vyYb,Qv<0,故Q在C右支下半支.假設(shè)P在線段OB的延長線上,y0>b,Qy>0,故Q在C右支上半支.3.2.4假設(shè)點P在區(qū)域n內(nèi)此時0V2X0a2V0.工&l

8、t;1,b(8)0,方程f(k)=0有兩相異實根,設(shè)為ki、k2,且kiVkz,k1k22x°yk1k22X02V.ab222X0a設(shè)相應(yīng)于k的切點為Qi(Xi,y),i=1,2由(3)知Xi=a2ki(y0kiX°)222baki(10)將(10)代入(2)得b2(y0Mx.)yi=b2a2k2(11)由(10)、(11)和(9)可推得422、a(y°b)X1X2ym,2222bX0ay0422b(X0a)7-2222bX0ay0(12),.0<xo<a,0<yo<b,由8和12知,xix?>0,yyv0,Qi、Q2在Ci的同一支,

9、且在x軸異側(cè).x2a2<0bb2f(-)(y.-xo)>0aabb2f()(y0x0)>0aa.f(k)=0的兩根在區(qū)間b之外,即|ki|>b.aaa由(9)知,kik2<0,故Qi在Ci右支下半支,Q2在Ci右支上半支.,土b、特殊地,右P在線段OA上,由對稱性知ki=k2,由94#k=f22,代入ax0得切線方程y=±n-bax0x-x0;代入i0、ii得切點坐標為2a(,x0二次函數(shù)fk的對稱軸為x0y022,x°a易證x°y0、b-2>一x0aaba2x2)x03.2.5假設(shè)點P在區(qū)域出內(nèi)仿3.2.4的討論可知,xix2

10、>0,yiy2>0,Qi、Q2位于Ci同一支且在x軸同側(cè).2,2事實上,取點Mx0,y為C1右支上半支上的點,那么筆1i,abx0y02x02bx°y0.222.2bx°ab.2.2bx°y0bx0y0-22->22-ayay0b2b-2y0ax2a2>0x°y0b22x0aabb2f()(y0x0)>0aabbb-fk=0的兩根在區(qū)間一,+oo上,即k1>,k2>一.aaa3.2.6假設(shè)點P在區(qū)域IV內(nèi)22此時粵空<0,ab8>0,fk=0有兩相異實根.bb傷3.2.4的討論知：x1x2<0,

11、y1y2>0且卜1<B,k2>-,aaQi在Ci的右支下半支,Q2在Ci的左支下半支.特殊地,假設(shè)P在y軸正半軸上,由對稱性知,ki=-k2,2222由9得,k=土¥y,代入2得切線方程為y=±也x+V.,aa代入10、11得切點坐標為b2一)V02,2V0a、y°b(土3.2.7假設(shè)點P在區(qū)域V內(nèi)bb傷3.2.5的討論知,x1x2<0,y1y2<0,且k>,k2>,aa.Q1在C左支下半支,Q2在c的右支上半支.綜上所述：當P在原點或P在區(qū)域I時,不存在切線；當P在C1或C2不含原點上時,僅一條切線；當P在區(qū)域n、m、IV、V或在C3不含A、B上時,有兩條切線.當由P可引Cq兩條切線時,設(shè)切線上任一點為Nx,y,那么分PM所成比為入入w1的點Q的坐標為x0y1+y.假設(shè)Q在C1上,那么22(X0+x)(y0y)Tf2x整理可得一a2y,2.x°x下-1)入+2(baYoVb21)入+(2x.2a2y.b2-1)=0.2x1)(Ua2y77-1)=0b.PN為切線,此關(guān)于入的二次方