年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué).棱柱與棱錐

1、9.10 棱柱與棱錐知識梳理1. 有兩個面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂 直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.2. 棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長方體的對角線的平方等于由一個 頂點出發(fā)的三條棱的平方和.3.個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體叫做棱錐.底面是 正多邊形并且頂點在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.4.棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對應(yīng)高的平方比.在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在 底面上的射影構(gòu)成直角三角形.點擊雙基1. 設(shè)M=

2、正四棱柱, N= 直四棱柱, P= 長方體, Q= 直平行六面體，則四個集合的關(guān)系為A.M P N QB.M P Q N C.P M N Q D.P M Q N解析：理清各概念的內(nèi)涵及包含關(guān)系.答案：B2. 如圖，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，/ BAC=90，BC1丄 AC，貝UCi在底面 ABC上的射影 H 必在A.直線 AB 上B.直線 BC 上C.直線 AC 上D. ABC 內(nèi)部解析：由 AC 丄 AB，AC 丄 BC1，知 AC 丄面 ABC1，從而面 ABC1丄面 ABC，因此，C1在底面 ABC 上的射影 H 必在兩面的交線 AB 上.答案：A3將邊長為 a 的正方形 AB

3、CD 沿對角線 AC 折起，使 BD=a,貝 U 三棱錐 DABC 的體積為答案：D4. （2003 年春季上海）若正三棱錐底面邊長為 4,體積為 1,則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于 _ .（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解析：取 BC 的中點 D，連結(jié) SD、AD，則 SD 丄 BC, AD 丄 BC./ SDA 為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，設(shè)為a在平面 SAD 中，作 SO 丄 AD 與 AD交于 O,則 SO 為棱錐的高.2AO=2DO,AOD= .3 .311又 VS-ABC=丄-AB BC sin60 h=1,32_ 3.3SO V 34DO 2、383、 a=arcta n383答

4、案：arctan85._ 過棱錐高的三等分點作兩個平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的 面積的比（自上而下）為.解析：由錐體平行于底面的截面性質(zhì)知，自上而下三錐體的側(cè)面積之比，S側(cè)1: S側(cè)2:S側(cè)3=1: 4 : 9,所以錐體被分成三部分的側(cè)面積之比為1 : 3 : 5.答案：1 : 3 : 5典例剖析3A.O_6B12a3【例 1】已知 E、F 分別是棱長為 a 的正方體 ABCDA1B1C1D1的棱 A1A、CC1的中點，求四棱錐 Ci BiEDF 的體積.解法一：連結(jié) AiCi、B1D1交于 Oi,過 Oi作 OiH 丄 BiD 于 H , EF / AiCi, AiCi/平

5、面 BiEDF.ACi到平面 BiEDF 的距離就是 AiCi到平面 BiEDF 的距離.平面 BiDiD 丄平面 BiEDF ,OiH 丄平面 BiEDF，即卩 OiH 為棱錐的高.BiOiHBiDDi,.OiH=BiOi DDia,BiD6VC1_B1EDF= SB1EDFOiH= .一 EF BiD OiH = . 2a、3a a= a .3i323266解法二：連結(jié) EF，設(shè) Bi到平面 CiEF 的距離為 hi, D 到平面 CiEF 的距離為 h2,則 hi+h2=BiDi=、2a,Vci_B1EDF= V_C1EF+ VD_C1EF= SC1EF (hi+h2)= - a .36

6、特別提示求體積常見方法有：直接法(公式法)；分割法；補形法【例 2】如圖所示，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA=AB=2, BC=a, 又側(cè)棱 PA 丄底面 ABCD.(1) 當 a 為何值時，BD 丄平面 PAC?式證明你的結(jié)論.(2) 當 a=4 時，求 D 點到平面 PBC 的距離.(3) 當 a=4 時，求直線 PD 與平面 PBC 所成的角.剖析：本題主要考查棱錐的性質(zhì)，直線、平面所成的角的計算和點到平面的距離等 基礎(chǔ)知識.同時考查空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.本題主要是在有關(guān)的計算中，推理得到所求的問題，因而盡量選擇用坐標法計算解法三：VCi占EDF=

7、V多面體 AiBiDiCiFDVE -i BiCiDiE -CiDiDi3=_ a .6解：（1）以 A 為坐標原點，以 AD、AB、AP 所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立 空間直角坐標系，當 a=2 時，BD 丄 AC,又 FAXBD，故 BD 丄平面PAC.故 a=2.（2）當 a=4 時，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、F （0，0，2）、FB=（0，2，2），BC=（4，0，0）.設(shè)平面 FBC 的法向量為 n,則 n FB=0，n BC=0，即（x，y，z） （0，2, 2）=0，（x，y，z） （4，0，0） =0，得 x=0，y=z，取 y=

8、1，故 n= （0，1，1）.則 D 點到平面FBC的距離d= 2直線 FD 與平面 FBC 所成的角為9,貝 U sin9=sin （上一a）2所以直線 FD 與平面 FBC 所成的角為 arcsin10.10【例 3】如圖，設(shè)三棱錐 S-ABC 的三個側(cè)棱與底面 ABC 所成的角都是 60,又/BAC=600，且 SA1BC.（1） 求證：S-ABC 為正三棱錐；（2） 已知 SA=a,求 S-ABC 的全面積.（1）證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；頂點在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可.作三棱錐 S ABC 的高 SO, O 為垂足，連結(jié) AO 并延長交 BC于 D.因為

9、 SAXBC,所以 AD 丄 BC.又側(cè)棱與底面所成的角都相等，從而 O ABC 的外心，OD 為 BC 的垂直平分線，所以 AB=AC.又/BAC=60,故厶 ABC 為正三角形， 且 O(3)DF=(4, 0, 2), COSDF, n.=0,證DF, n=a，設(shè)|DF| n| 10=COSa=10為其中心.所以 S ABC 為正三棱錐.（2）解：只要求出正三棱錐 S ABC 的側(cè)高 SD 與底面邊長，則問題易于解決在 Rt SAO 中，由于 SA=a,/ SA860。，所以 SO=-a, AO=1a.因 O 為重心，所2233.311以 AD= AO= a, BC=2BD=2ADcot6

10、0 =a, OD=-AD=a.24234在 RtASOD 中，SD2=S& + OD2= (-a)2+( - a)2=，則 SD= a.241614于是( S)_1.(麗、2 s Ia 13占_ 3(屁殛)2疋,(SSABC)全( a) sin60 + 3 a a=a .2224216深化拓展(1)求正棱錐的側(cè)面積或全面積還可以利用公式S正棱錐底=COSa S正棱錐側(cè)(a為側(cè)面與底面所成的二面角).就本題 cosa=, SBC= a2，所以(SSABC)側(cè)二32*J131661=9a2.于是也可求出全面積.13 16氏R(2)注意到高 SC=-a,底面邊長 BC=-a 是相等的，因此這

11、類正三棱錐還有高22與底面邊長相等的性質(zhì)，反之亦真.(3) 正三棱錐中，若側(cè)棱與底面邊長相等，則變成四個面都是正三角形的三棱錐，這時可稱為正四面體，因此正四面體是特殊的正三棱錐，但正三棱錐不一定是正四面體闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)為 E、F、G、H.設(shè)四面體 EFGH 的表面積為 T,則等于解析：如圖所示，正四面體 ABCD 四個面的中心分別為 E、F、G、H ,四面體 EFGH 也是正四面體.連結(jié) AE 并延長與 CD 交于點 M ,1. (2004 年全國I,10)已知正四面體 ABCD 的表面積為S,其四個面的中心分別A.1B.C.D.連結(jié) AG 并延長與 BC 交于點 N. E、G 分別為面的中

12、心,AE=AG=2.GE=2AM AN 3.MN 3答案：A2.P 是長方體 ACi上底面 AiCi內(nèi)任一點，設(shè) AP 與三條棱 AAi、AB、AD 所成的角2 2 2為a、B、Y,貝 U COSa+COS 許 COSY勺值是3A.1B.2C.D.不確定正2解析：以 AP 為一條對角線截得小長方體 AP,由長方體的對角線長定理可得 coS2a+coV+C0S2Y=1.答案：A3.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分別是棱 CCi、C1D1、DiD、DC的中點，N 是 BC 的中點，點 M 在四邊形 EFGH 的邊及其內(nèi)部運動，則 M 只需滿足條 件_ 寸，就有 MN 丄

13、AC.答案：點 M 與 F 重合說明：本題答案不唯一，當點 M 在線段 FH 上時均有 MN 丄 AC.4在三棱錐 S-ABC 中，/ ASB=ZASC=ZBSC=60。，貝 U 側(cè)棱 SA 與側(cè)面 SBC 所成 的角的大小是_ .答案：arccos35三棱錐一條側(cè)棱長是 16 cm,和這條棱相對的棱長是 18 cm， 其余四條棱長都是 17 cm，求棱錐的體積.又 MN=1BD,2GE=1BD=3面積比是相似比的平T=1S=9解：如圖，取 AD 的中點 E，連結(jié) CE、BE，/AC=CD=17，DE=8，CE2=172-82=225，BE=CE，取 BC 的中點 F ,連結(jié) EF, EF 為

14、 BC 邊上的高，EF=CE2-CF2=、15292=12.-SBCE=108. AC=CD=17cm, E 為 AD 的中點，CE 丄 AD,同理 BE 丄 AD, DA 丄平面 BCE.三棱錐可分為以底面 BCE 為底，以 AE、DE 為高的兩個三棱錐.113 VABCD=VABCE+VDBCE=2 一 SBCEAE=2X - X108X8=576(cm).336. (2003 年春季北京)如圖，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為22,側(cè)棱長為 4, E、F 分別為棱 AB、BC 的中點，EFABD=G.(1) 求證：平面 B1EF 丄平面 BDD1B1；(2) 求點 D1到

15、平面 B1EF 的距離 d.(1) 證法一：連結(jié) AC.正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是正方形， AC 丄 BD.又 AC 丄 D1D , AC丄平面 BDD1B1. E、F 分別為 AB、BC 的中點，故 EF/ AC. EF 丄平面 BDD1B1.平面 B1EF 丄平面 BDD1B1.證法二： BE=BF，/ EBD=Z FBD=45, EF 丄 BD.又 EF 丄 D1D, EF 丄平面 BDD1B1.平面 B1EF 丄平面 BDD1B1.(2) 在對角面 BDD1B1中，作 D1H 丄 B1G，垂足為 H.平面 B1EF 丄平面 BDD1B1，且平面 B1EFA平面 BDD

16、1B1=B1G, D1H 丄平面 B1EF，且垂足為 H.點 Di到平面 BiEF 的距離 d=DiH.解法一：在 RtAD1HB1中，DiH=DiBi sin/ D1B1H. DiBi=、2AiBi=, 2 2. 2=4,sin/ DiBiH=sin/ BiGB=4GBi解法二:DiHBisABiBG,DiH=DiBiBB=BiG解法三：連結(jié) DiG，則 DiGBi的面積等于正方形DBBiDi面積的一半，即ii2廠 BGDiH= -BiB，培養(yǎng)能力7.在正三棱柱 ABC AiBiCi中，ABi=、3BBi，(1) 求證：ABi丄 BCi;(2) 求二面角 A BCiC 的正切值.(i)證法一

17、：如圖，取 BC 的中點M，連結(jié) BiM、BCi交于 N,貝UAM 丄面 BCi.下證 BCi丄 BiM.設(shè) BBi=i，則 ABi=3，AB=BC=2， tan/ BiMB=、2=tan/ BiBCi.4、 d=DiH=44=16(1717=17 d=DiH=BBiGi6.i7 d=DiH=Bi=BiGi6.i7i742i7得 BiMBBiBN./BiBM=90 =ZBiNB，即 BCi丄 BiM. BCi丄斜線 ABi.證法二：如圖，取 BiCi和 BiB 的中點 E 與 D，連結(jié) ED，則 DE / BCi.再取 AB 的 中點G，連結(jié) DG，則 DG/ ABi，/GDE 為異面直線 A

18、Bi、BCi所成的角.下用勾股定理證明/ GDE 為直角.取 AiBi的中點F，連結(jié) EF、EG、FG，則 EG=EF2FG2且 DE、DG 均可表示出.故可知 EG2=DE2+ DG2，AZGDE=90 .(2)解：連結(jié) AN，貝U/ANM 為所求二面角的平面角，tan/ ANM=3.評述：本題(i)證法一中可把面 BBiCiC 單獨拿出作成平面圖形，則易于觀察 BiMB 與厶 BiNB 的相似關(guān)系.證法二的特點是思路較好.因為所證為兩異面直線，作出其 所成角為一般方法.8. (2005 年春季北京，文如圖，正三棱錐SABC 中，底面的邊長是 3,棱錐 的側(cè)面積等于底面積的 2 倍，M 是

19、BC 的中點.求：(1) 処的值；SM(2) 二面角 S- BC A 的大?。?3) 正三棱錐 S ABC 的體積.解：(1)vSB=SC, AB=AC，M 為 BC 的中點，二 SM 丄 BC，AM 丄 BC.由棱錐的側(cè)面積等于底面積的 2 倍，即113X BCXSM=2X BCXAM，22AM _3得 =_ .SM 21(2)作正三棱錐的高 SG, J 則 G 為正三角形 ABC 的中心，G 在 AM 上, GM = -AM.3 SM 丄 BC，AM 丄 BC，/ SMA 是二面角 S BCA 的平面角.在 RtASGM 中，22 SM=2AM = - X 3GM=2GM ,33/ SMA

20、= / SMG=60,即二面角 S-BC A 的大小為 60 .（3）vABC 的邊長是 3,AM= , GM= , SG=GMtan60 =仝3=3.2 2 2 2.VSABC=1S 屈BCSG=! 9.3四3428（2005 年春季北京，理 16）如圖，正三角形 ABC 的邊長為 3,過其中心 G 作 BC邊的平行線，分別交 AB、AC 于 Bi、。.將厶 ABiCi沿 BiCi折起到 AIBICI的位置，使點 Ai在平面 BBiCiC 上的射影恰是線段 BC 的中點 M.求：（1） 二面角 AiBiCi M 的大?。唬?） 異面直線 AiBi與 CCi所成角的大小.（用反三角函數(shù)表示）解

21、：（i）連結(jié) AM、AiG. G 是正三角形 ABC 的中心，且 M 為 BC 的中點，.A、G、M 三點共線，AM 丄 BC. BiCi/ BC,. BiCi丄 AM 于點 G,即 GM 丄 BiCi, GAi丄 BiCi.ZAiGM 是二面角 AiBiCiM 的平面角.點 Ai在平面 BBiCiC 上的射影為 M ,.AiM 丄 MG,ZAiMG=90.在 RtAAiGM 中，由 AiG=AG=2GM，得ZAiGM=60,即二面角 AiBiCi M 的大小是 60 .（2）過 Bi作 CiC 的平行線交 BC 于點 P,則ZAiBiP 等于異面直線 AiBi與 CCi所成的角.1由 PBi

22、CiC 是平行四邊形得 BiP=CiC=1=BP, PM=BM - BP=_ , AiBi=ABi=2.2 AiM 丄面 BBiCiC 于點 M ,二 AiM 丄 BC,ZAiMP=90在 RtAAiGM 中，AiM=AiG sin60 = .3 三=?.2 2在 RtAAiMP 中，AiP2=AiM2+PM2= ( - )2+ (丄)2=-.2 2 2在厶 AiBiP 中，由余弦定理得異面直線 AiBi與 CCi所成角的大小為 arccos5.8探究創(chuàng)新9. (2004 年天津，理 i9)如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形, 側(cè)棱PD 丄底面 ABCD，PD=DC, E 是 PC 的中點，作 EF 丄 PB 交 PB 于點 F.(1) 證明：PA/平面 EDB;(2) 證明：PB 丄平面 EFD;(3) 求二面角 CPBD 的大小.解法一：(i)證明：連結(jié) AC 交 BD 于 O.連結(jié) EO.底面 ABCD 是正方形，點 O 是 AC 的中點.在厶 FAC 中，EO 是中位線， PA / EO.而 EO 平面 EDB 且 PA 二平