正弦定理與余弦定理的證明

1、DB故有a b csin-A =sn-B =sTC ,從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立、正弦定理的幾種證明方法1 .利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,有 CD=asin B, CD =bsinA。由此，得當(dāng)=工同理可得二=工， sin A sin Bsin C sin B(2)當(dāng)4ABC是鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， 有CD=asin/CBDasin/ABC, CD=bsinA 。由止匕,a _ b sin A sin /ABC同理可得c b sin C sin ZABC故有

2、a _ b csin A =sin . ABC = sin C由(1)(2)可知，在A ABC中,a _ bsin A sin Bsin C成立.從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即a b c sin A sin B sin C2 .利用三角形面積證明正弦定理已知 ABC,設(shè) BC=a, CA=b,AB = c，作 ADLBC,垂足為 D, M RtAADB中,sin b = ； . AD=ABinB=csinB, AB一 11Saabc= a *AD = acsinB| 同理，可證 22一 1 .一1 .一1 Sa abc= absinC bcsinA acsinBl

3、:.亂bsinc二be疝1A二acsinK CAD一 1 .一 1.Saabc = absinCbcsinAl22在等式兩端同除以ABC,可得2 sinC sin Asin B a b c1 即=bsin A sin BsinC3 .向量法證明正弦定理(1)AABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC ,則j與AB的夾角為90-A,j與CB的夾角為90 -Cl由向量的加法原則可得AC + CB = AB1為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到j(luò) “AC + CB) = j AB由分配律可得AC jCB = j AB|j| AC Cos9

4、0 +|j | CB Cos(90 -C)=|j | AB Cos(90 -A).asinC=cinA. - = c-1 sin A sinC另外，過(guò)點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90 +C,j與AB的火角為 3輸為90°-C,j與AB的夾角為90 -B)sin A sin B sin C(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提，防止誤解為j與AC的夾角(2)AABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A>90°,過(guò)點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j，則jasin A與AB的夾角為A-90 ,j與CB的夾角為90 -CI由 AC + CB = AB 彳馬 j AC

5、町 CB =j AB：、， A即 a Cos(90 -C)=c Cos(A-90°), . asinC=cinA.另外，過(guò)點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB夾simA sin B sin Cc4.外接圓證明正弦定理角為90。-b.同理，可得上=上" sin B sin C在 ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，作AABC的外接圓，O為圓心, 連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓于B',設(shè)BB'=2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所 對(duì)的圓周角相等可以得到/ BAB =90 , /C =/B', sinC=si

6、nB =sinC =sin B'=-c I2R同理，可得-a- =2R,-b=2R|. -a- = -b- = = 2R|sin A sin Bsin A sin B sinC這就是說(shuō)，對(duì)于任意的三角形，我們得到等式a _ b c sin A sinB sinC法一(平面幾何)：在4ABC中，已知AC = b,BC = a,及/C ,求c。過(guò) A 作 AD _LBC于 D,是 AD = ACsinC = BC sin C ,CD = AC cos = b cosc, 在 RtAABD 中，AB2 = AD2 +BD2 =(bsin c)2 +(a -bcosc)2 = a2 +b2 -

7、2abcosc ,法二(平面向量)：T T T T 2 T T T2 T2 T TAB AB =(AC BC) (AC BC) = AC 2AC BC BC = AC 2|AC|BC|-T222r222cos(180-B) BC =b -2abcosB a ,即：c =a b -2ab cosc法三(解析幾何)： 把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC 的 AC=b , CB=a , AB=c，則 A, B, C 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(b , 0), B(acosC , asinC) , C(0 , 0).|AB|2二(acosC b)2+(asinC 0)2=a2cos2c 2a

8、bcosC+b 2+a2sin2c=a2+b22abcosC ,即 c2=a2+b2 2abcosC .法五(用相交弦定理證明余弦定理)：如圖，在三角形 ABC 中，/ A="，AB=a , BC=b , AC=c。現(xiàn) 在以B為圓心，以長(zhǎng)邊 AB為半徑做圓，這里要用長(zhǎng)邊的道理 在于，這樣能保證 C點(diǎn)在圓內(nèi)。BC的延長(zhǎng)線交圓 B于點(diǎn)D和 E 這樣以來(lái)，DC=a-b, CE=a+h AC=Co 因?yàn)?AG=2acos” ,所以 CG=2acosa -c。根據(jù)相交弦定理有：DCX CE=AC： CG 帶入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos a -c) 化簡(jiǎn)以后就得b2=a2+c

9、2+2accos a。也就是我們的余弦定理。如圖，在4ABC中，AB=4 cm, AC= 3 cm,角平分線 AD=2 cm,求此三角形面積分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長(zhǎng)，故而聯(lián)想面積公式C1 一Saabc =2 AB AC sinA,需求出sinA,而ABC面積可以轉(zhuǎn)化為1A1S>A ADC + S»A ADB ,而 S»A ADC = -AC ADsin- , Saadb = -_ _ AAB AD sinA .一因此通過(guò)Saabc = Saadc + Saadb建乂關(guān)于含有sinA, sin的方程，而sinA =A A 2sin2- cos.sin2A +2Ac

10、os q =1,故sinA可求，從而二角形面積可求解：在ABC中，Saabc= Sa adb + Sa adc ,. 1_ _1- AB ACsinA= 5 AC ADsinA +1 AB ADsinA112 4 3sinA = 2A 3 2sin2A6sinA= 7sin2A A 12sin, cos,A =7sin2.A sinQA7_- COsQ =12A又 0v Av Tt, - 0< 2，siA21-cos2AA sinA= 2sin2-cos2A 7 ：9572 ，c 17 95 /2、 Saabc = 2 4 3sinA = -1Q- (cm )在ABC 中，AB=5, A

11、C = 3, D 為 BC 中點(diǎn)，且AD = 4,求BC邊長(zhǎng).解：設(shè)BC邊為x,則由D為BC中點(diǎn)，可得BD =DC=xAD2+ BD2-AB2在 ADB中，cosADB = '2AD BD42+(2)2 52AD2+DC2-AC2在 ADC 中，cosADC ='2AD DC42+ (f ) 2-32又/ ADB + Z ADC = 180° cosADB = cos (180° / ADC) = cosADC.42+ (x ) 2-5242+(2 ) 2-3272+ 32- 5211_ _ _二2X7M14 'x2X彳解得，x=2所以，BC邊長(zhǎng)為2

12、.2.在 ABC中，已知角 B=45°, D是BC邊上一點(diǎn)，AD =5, 解：在ADC中，AC2+DC2AD2求AB.AC=7, DC=3,D 3CosC = 2AC DC又 0vC<180°, .sinC = 5314在倦=倦7=5-2 ., 33.在 ABC 中，已知 cosA= 5sinB=：5-13cosC的值.解：= cosA= 3 <q2=cos45°,520<A< 兀.1.45°< A< 90°,sinA=451 sinB=：5- <1 132.0°vB<30° 或若 B>150°,則=sin30 ； 0<B< 兀