柯西不等式地應(yīng)用(整理篇)

1、實(shí)用文檔柯西不等式的證明及相關(guān)應(yīng)用摘要：柯西不等式是高中數(shù)學(xué)新課程的一個(gè)新增內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它不僅歷史悠久，形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)巧妙，也是證明命題、研究最值問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。關(guān)鍵詞：柯西不等式柯西不等式變形式最值一、柯西(Cauchy)不等式：(ah +a2b2 +anbn 2 <(af +a； +a2+b2 +b：)悟,燈 w R,i =1,2n )等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ai =a2=an =0或bi =kai時(shí)成立(k為常數(shù)，i=1,20n)現(xiàn)將它的證明介紹如下：方法1 證明：構(gòu)造二次函數(shù)f (x) =(a1x+h 2 +(a2x+b2 2 +十(anx + b. 2=a2

2、a2a2x22a1bla2b2aj xb2b2b：由構(gòu)造知 f(x)占0恒成立1 *22n又，a a2an 一 0, 4 =4(a1b +a2b + +anbn 2 -4(a2 +a2 + +a2lb2 +b2 + +b2 )«0即匕+a2b2十十a(chǎn)nbn 2 4a； +a； +a； g2+b2+b；)當(dāng)且僅當(dāng)aix+bi =0(i =1,2n)即曳=a2 =|l| =曳時(shí)等號(hào)成立bi b2bn方法2證明：數(shù)學(xué)歸納法,22(1)當(dāng)n=1時(shí) 左式=(&匕)右式=(40 )顯然左式=右式2222222 22 2當(dāng) n = 2時(shí)右式 =(a1 +a2 Xb )=但也)+(a2b2

3、) +a2b1 +&b2222至(a1t1 ) +(a2b2 ) +2a1a2b1b2 =(a1b2 + a2b2 )=左式故n =1,2時(shí)不等式成立(2)假設(shè)n=k(kWN,k之2 )時(shí)，不等式成立即a1bla2b2akbk2 三a；a2a2b12b；b：當(dāng)bi=ma,m為常數(shù)，i=1,2k或a1 = a2=IM = ak= 0時(shí)等號(hào)成立B= b；b2 bi2C = aibi a b 2| aC2.AB .C2則 A a21 B b；1 =AB Ab：】BaM a21b：,122 , 22-C ' 2Cak 1bk 1 , ak 1bk 1 - C ak 1bk 1a2a；|

4、a2a21b2b2|b2b戶(abi +a2d +用+2八 +aybk+ )2文案大全當(dāng)bi=mai, m為常數(shù)，i =1,2k+1或a1 = a2=ak書時(shí)等號(hào)成立即 n=k+1時(shí)不等式成立綜合(1) (2)可知不等式成立二、柯西不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，學(xué)習(xí)柯西不等式可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力、創(chuàng)新能力等，能進(jìn)一步 開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難 的問題迎刃而解，這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，常通過適當(dāng)配湊，直接套用柯西不等式解題，常見的有兩 大類型:1、證明相關(guān)數(shù)學(xué)命題(1)證明不等式例1已

5、知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1 證明a3 b3 c3 一 a2 b2 c2證明：利用柯西不等式222 2a2 b2c2=,313 13 1 A2a2a2 +b2b2 +c2c2 . )3、2a2；)f 3弋+ b，33c2l【a + b + c )J2222 *二 ：i a b c a b c a b c = 1.222.又因?yàn)? b+ c之a(chǎn)b b 4c在JC a 等式兩邊同乘以 2,再加上a+b3(a2 +b2 +c2 巨a2 +b2 +c2 +2ab +2bc +2ac =(a +b +cffe2J2121/3 3 I 3 y _i_ i_ _i_2133 I 33 t c 2 I

6、2 I 2 tb c - a b c a b c - a b c 3 a b c222.333 a b c故 a b c -(2)三角形的相關(guān)問題例2設(shè)p是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是ABC外接圓的半徑,證明 x . y z - 1、a2 b2 c2 2R證明：由柯西不等式得:十記S為ABC的面積，則TbyJl + JCZJ1 Max + by + c abc abcax by cz = 2S = 2_ =-4R 2R一 一 一 abc ab bc ca 1 1.x . y ',-tzab bc ca 1 2R . abc 2R.2R故不等式成立。2、求解

7、有關(guān)數(shù)學(xué)問題常用于求最值例 3 已知實(shí)數(shù) a,b,c,d 滿足 a + b+c + d =3, a2 +2b2+3c2 +6d2 =“a2b2 c25試求a的最值解：由柯西不等式得，有2221112b23c26d2b23622即由條件可得，5-a2 - 3-a/ c-2b 、3c 、6d 八解得，1 <a W2當(dāng)且僅當(dāng)一一=-=一= 時(shí)等號(hào)成立, .1 2,1 31 61.1.八代入 b=1,c=-，d =-時(shí)，amax=236,，2,1一，b=1,c=,d =一時(shí)amin = 133例4空間中一向量a與x軸，y軸，z軸正向之夾角依次為 a, P, '/ (a,P, ¥

8、均非象限角)1149求 一2 十 -2百+ 2-77的最小值。sin2 1 sin2 : sin2解：由柯西不等式得:()2(2-)2(-)2(sin2： sin2 sin2 )sin 二 sin - sinsin -2.sin - sinsin -3- sin )2 sin14922 -22=() ( . 2 - ) ()(sin ： sin : sin ) _ (123)sin 二 sin :sinsin 2：sin I ： sin 2二2149149 2(2 -二) 36=(_2_)一18sin 二 sin : sinsin 二 sin : sin1 49. 一 , .一J + 石+二丁

9、的最小值為18sin 工 sin : sin三、巧用柯西不等式的變形解題很多高考數(shù)學(xué)問題的解決，如果僅從基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的正面人手，就很難取得知識(shí)性的突破，而如果對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式稍作變形，就會(huì)大大降低問題的難度，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉的目的.而學(xué)習(xí)柯西不等式，僅了解柯西不等式的基本公式還是不夠的，學(xué)生還必須掌握下面這個(gè)柯西不等式的變形公式，此公式也是權(quán)方和不等式的一種特殊情況，這樣我們就可以在解題過程中更快更準(zhǔn)地解決問題.柯西不等式的變形公式：約定bi e R+,i =1,2n分析：由柯西不等式可得2(gl'an)當(dāng)且僅當(dāng)電=ab b2bn222 a1 . a2 .

10、 .an "l -i"1(bib2bnb1b2an等號(hào)成立 bnb+b2+bn Q(a+a2+ an 2設(shè) x1 ,x2,Xn 亡 R;且XI +X2 +Xn =1 ,證明2X1X1X22.X2X3XnXn1 r 二Xn Xn %X12證明:由變形公式得:2X1X1X222-X2.XnX2X3XnXnXn2 xnX1(X1 +X2 + +Xn J1k =X1X2X2X3 廣XnX12例2 (2007年廣州市一模理科) 已知a, b>0,且a+b=1,求1/2a+1/b的最小值解析：a, b>0,且a+b=1,由柯西不等知2a b=.2/2 12=3 2a b a

11、 b 2.一.v 2 / 21rL,11、3 r當(dāng)且僅當(dāng) =1即a=42 1,b=2寸2時(shí)等號(hào)成立二1-+-=3+42a b<2a bJmin 2練習(xí) 設(shè)a1, a2,，an E N 各不相同 證明a12221*。+1+23 n 2 3 n證明：將ai,a2,，an從新排序設(shè)為a一二 a2 ： ":二 an則有 al _1, a2 _ 2,，ann 1仝Z k 4 aknn .而所需證目標(biāo)：'、, a2 _ v 1k 4 k k 4 k結(jié)合柯西不等式得:k2akakk2 人km ak J2 口 k2 >4kak得結(jié)論、當(dāng)k 4 k k 4柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)

12、用一、引言柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重 視。本文僅就使用柯西不等式的技巧做一粗略歸納。主要就是使用一些方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條 件，繼而達(dá)到使用柯西不等式證明有關(guān)的不等式人民教育出版社高中代數(shù)下冊(cè)“不等式” 一章的習(xí)題中有這樣一道題（ P、15練習(xí)第2題）：求證：ac+bdWQa2 +b2 * &2 +d2這題用比較法是很容易證明的,這里用比值的方法來證明。證明：當(dāng)a=b=c（或c=d=0）時(shí)，顯然成立；假設(shè) a2 + b2#0 且c2+d2 #0,則|ac +bd|ac| +|bd|a2b2*. c2d2a2b

13、2*c2d2ac|+|bd|a2 b2* .c2 d2 a2 b2* .c2 d2<122ab22cd2,J；%d2d222aka2 +b2c2. 2cdb22 a2 +b2=1故 ac+bdW|ac+bd M|ac +|bd M Ja2 + b2 * Yc2 + d2（1）式就是著名的柯西不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單特例。 柯西不等式的一般形式為： 對(duì)任意白向?qū)崝?shù)a1 ,a2,，an及b1,b2,，bn有aia2bib2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)（2）an .=一 時(shí)成立（當(dāng)bk = 0時(shí)，認(rèn)為ak =0,1 E k < n）. bn柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題

14、作一些介紹。二、柯西不等式在解題中的應(yīng)用a）利用柯西不等式證明恒等式利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號(hào)的充分必要條件來達(dá)到目的，或者是利用柯西不等式進(jìn)行 夾逼的方法獲證。例、已知 a出-b2 +bJl -a2 =1,求證：a2 +b2 =1。證明：由柯西不等式，得a .1 -b2 b .1 -a2 < a21 -a2 1b2 1 -b2 1=1b 1 b2當(dāng)且僅當(dāng)-= b時(shí),上式取等號(hào)，1-a2a.ab =。1 -a2 1 -b2,a2b2 = 1 -a2 1 -b2 ,是 a2b2 =1b）利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式

15、的）運(yùn)用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不 等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號(hào)的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡(jiǎn)單的無理方 程，進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的整式方程，從而求得原方程的解。例：解方程Jx2 +工 +1 ）2 + _1 一 =2 +1。X2;x 1 2 x X 1由柯西不等式知 +工+(x+1)2x x 1x x 1>+x 1 x：1)2 (x 1)2,2 1 x(x 1)x21xx221(x 1)2(x 1)2_2 -1 x(x 1)1當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)有 x(x 1) = 一1一x(x 1)成立，即2._.2_ 一x +x+1=0 (無實(shí)根)或 x +x1=0,

16、即-1 -.5、一x=,經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的根為2用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號(hào)的條件，從而求得方程組的解。 例：解方程組x y z = 9x w =6x4 x2(y2 z2 w2) w2(y2 w2)=486解：原方程組可化為x y z =9x w =6(x2 y2 z2)(x2 w2) =486運(yùn)用柯西不等式得2(x2 y2 z2)q=27嘰8182兩式相乘，得x2 y2 z2 , x2 w2-486當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)。故原方程組的解為 x=y=z=w=3.c) 柯西不等式證明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常

17、數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、 巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特 征，就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。例：設(shè) ai >a2 >- >an >an+ 求證：1111 0a一a2a2 - a3an - an 1 an.1-a1分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證:111,-an+). |+ + |>1,戶a2 a2 a3an an書 _證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1 -an書寫成a1 -an

18、+ = (a1 - a2 )*(a2 - a3 )+ (an -an 書)于是a1 - a2 廣1a2 - a3 r an - an 1+、a1 - a2a2 - a3an - an書)_n2 1.<a1 _a2a2 一 a3+ 1an - an由 J1a 一 a2 a2 " a31 an - an 1a1 - an 1,11故- a 一 a2a2 - a311 八- 0.an - an 1 an 1 - a1我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是： 不等式左邊是兩個(gè)因式這和， 其中每一個(gè)因式都是項(xiàng)平方和,右邊是左邊中對(duì)立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形

19、式，就可以引用柯西不等式來證明。例：求證： x x12 +xf +%'y12 +y2(x +y f +M +y? f證明:,x；x2.y12y2=x；x2-y2I，2.x；x； y2 y2由柯西不等式得x2x2 y2 y2 - x1 y1x2y2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x1 =ky1 , x2=ky2時(shí)成立。x；x2 y； y2 -x* X2V2 2.x1 - x2 , y1 - y222=xi yi j _ 1X2 y222222,Xi X2、yi y2 ,Xi2x； 廠y； y22 xmx?y2其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) =ky1：22. xi - yi i . ix2 - y2.,x2 =ky2

20、時(shí)成立。巧拆常數(shù)：例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證:分析：: a、b、c均為正i i i，為證結(jié)論正確只需證：2( a - b c) - - - 9a b b c c a而 2(a b d) = (a b) (b c) (c a)2又 9 =(i T i)ri i i證明：；2(a b - c)( - -)a b b c c ai i二(a b) (b c) (c 班工2之(i+i+i) =9又a、b、c各不相等，故等號(hào)不能成立，原不等式成立。重新安排某些項(xiàng)的次序：例：a、b 為非負(fù)數(shù)，a + b=1，xi, x2 e R +求證：(axi bx2)(bxi ax2) - xix2分析：

21、不等號(hào)左邊為兩個(gè)二項(xiàng)式積,a,bw R-,xi,x2亡R每個(gè)兩項(xiàng)式可以使柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論，當(dāng)把節(jié)二個(gè)小括號(hào)的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。證：(ax bx2)(bxi ax2)2=(axi bx2)(ax2 bxi) - (a； xix2 b- xix2)=(a b)2 xix2 ; xix2(. a + b=i)結(jié)構(gòu)的改變從而達(dá)到使用柯西不等式:例若a > b > c求證:a -b b -c a -c分析：初見并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了丁 a c = (a b)十(b c) <a>c a -c > 0，11.結(jié)論

22、改為(a -c)( -) , 4a-b b-c證明：(a -c)(一 a2.(1 1)1十 -bb1)=(a-b) (b-c)(-c -a-b b-c添項(xiàng)：例：a,b,c Ra b求證：-分析：左端變形3> 2b . 1二(a b c)(，只需證此式+b c c a9 -之一即可2證明._a_ - -b-b c c a3=(1)(1)(M 1)=(a b c)(111112-(111)= 5(b c) (c a) (a b)(b 七F)=9933二一一 2上a b注：柯西不等式：a、bWR*,則a+b之2加112推論：（a+b）（+） ±4 =（1 十 1）2其中 a、b=Ra

23、 b111o（a+b+c）（一十一十一）29=（1 十1 +1）2 其中 a、 b、 c R a b c«* a.制 個(gè)例.已知 a, a, a3,，an, b1, b2,，bn為正數(shù)，求證： （Z她）0勺之2由尸證明：左邊=_ .1 ."二'.111， Ia 浦* n q環(huán) >1¥馬例.對(duì)實(shí)數(shù) a, a2,，an,求證：且_ 二1里 n n證明：左邊=j-i 題例.設(shè)a, b, c為正數(shù)，且 a+b+c=1,求證:g+匕+ly 之學(xué)a b c J證明：左邊=-I+；,+ 一；一 .：+二. 3a b c=一 1 "|3 a b c 3 a

24、 b c1口 + （。+與+白）（1+ 1 + 1）（之1"+（石-一 +痣.一+忑二）丁3a b c 3 Ja Jb Jc，一4111,1172 3 42” 12M例.若n是不小于2的正整數(shù)，試證:所以求證式等價(jià)于1十盟+ 11禺+2+A +<2n1114由柯西不等式有（H+A H）（符+ 1） + （附+ 2）+A +2符/超+1 盟+ 22n11 A 1必2題2 、 4于是+A + >=之盟+1 制+ 22 敖（界 + D + 伽 + 2）+A + 2界 3界+ 11 7J十一n又由柯西不等式有+A + < f（l2 +22 +A +）用鞭+2% +A8 +

25、1），伽 + 2）W1匚 5i TT i i Or" 上p+A + = J 器（一 ）=1 雙總+ 1）（月+ 1）（月+ 2）（2霏一1）（2用 用2月2實(shí)用其檔.aVI三 1例.設(shè)xi, x2，xn都是正數(shù)（n32）且，：/T 求證： 乙X -證明：不等式左端即二£ 1>i，取必，z七 Z” 2-1y>則一(2)由柯西不等式有二. .二匚門.卜”文案大全即二- - J綜合（1）、（2）、（3）、（4）式得:舛w 1-1d）用柯西不等式證明條件不等式nn柯西不等式中有三個(gè)因式z a2，2bi2i =1i 1n'、aQi =1而一般題目中只有一個(gè)或兩個(gè)因

26、式，為了運(yùn)用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值）,這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai , bi具有廣泛的選擇余地，任意兩個(gè)元素ai , aj （或bi , bj ） 的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時(shí)根據(jù)需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會(huì)給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運(yùn)用柯西不等式的一種技巧, 等式。卜面我們簡(jiǎn)單舉例說明怎樣利用上述技巧運(yùn)用柯西不等式來證明條件不例：已知 a,b三 R ; a+b=1,x1,x2 亡 R：求證： ax1bx2 bx1 ax2 i: x1x2分析：如果對(duì)不等式左端用柯西不等式，就得不到所要

27、證明的結(jié)論。若把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)的前后項(xiàng)對(duì)調(diào)一下, 情況就不同了。證明： axibx2 bxiax?=axi bx2 , ax? bxI實(shí)用文檔2=a b X1 x2 = X1 x2例、X1, x2，Xn w Rt 求證:2XiX2XXXn X1X2 -，XnX3XnX1（1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）證明：在不等式的左端嵌乘以因式僅2 + X3 + Xn + X1 ）,也即嵌以因式僅1 +X2 +xn ）,由柯西不等式，得2XiX22XXXn/ *(X2X3 +'一 +xn - X1)X3XnX1.'xn.'Xi.2._ 2_ 2 2,X2, X3HI , Xn. X1

28、工 |-T= *7X7 +f= *7X3 +IH +Txn' +-7= *7x1X2, x3x xn. X12h1：X1 X2 III Xn ,2 曰X1 X2X3Xn2Xn X1X2XnX1文案大全e）利用柯西不等式求函數(shù)的極值有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西 不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的， 但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。這多次反復(fù)運(yùn)用 柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用

29、柯西不等式來求解一些極值問題。例設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)««2Qn滿足口132+Wn =1,求：- 1：- 21 - 2 -1 . 1 L- 1 . 1' ,二 3 ' ""n的最小值。（1982年西德數(shù)學(xué)奧林匹克度題）解：易驗(yàn)證1(二 1： 2+1=.in)22-12-1同理可得2+1=2 - ： 2：n1 : _2n-12+1=2 Tn二 1' 二 3、- +2-12 -1 2為了利用柯西不等式，注意到(2 -a1) (2 -a2)(2-an) = 2n - (a1 a2 - an) = 2n - 1,-)2 - - n11(2n -1)

30、( +2 一二12 一二2-a1)(2 - a2) , ,(2-an).(2 - ： 1.y n 二二2n -1c 22nny - n =2n -1 2n -11n等萬當(dāng)且僅當(dāng) a1 =a2 = ''”=an =一時(shí)成立，從而 y有取小值 n2n 7n例設(shè)X1,X2,''；xn都是正數(shù)，n至2,且£ Xi =1,求證: i 1n“ xi n xi£ i三一 .( 1989年全國數(shù)學(xué)冬令營試題)id . 1 - Xin -1證明：令yi =1 xi (i =1,2, -n),由柯西不等式，得nnn v,xi )2 <n *Z xi =n,

31、 即 £ 弋xi4而.i 1i 1i 1n n同理，得 Q/yi )2 Mn ' yii 1i 1n=n (1 f xi) = n(n -1),i 1n即 , yi - n(n -1).i 1又由柯西不等式，得n n 1 n 1工 yyi "工j= -( 4yi *j=) =/i±i£ yiif4 yi1.V1n“yi 1從而nzi 1n=£i 16,利用柯西不等式解三角問題。三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對(duì)于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條 件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要

32、條件共同確定，也有一些三角極值問題我 們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決。例在AABC中，求證：198 2,201(.201 3)sin A sin B 5sin C _ -40證明： sin A sin B 5sinC=2sin10 sinA B A - Bcos22= 2cosC(cos3225sin C)2CC-2cos - (1 5 sin ).22當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立。冗令 y =cosx(1 +5sin x)(0 < x < ),于是引進(jìn)參 t a 0,求222 .y cos x(1+5sinx)的最值。由柯西不等式,y2 =cos2 x(1 +5sinx)2 =25

33、cos2 x11 +sinx i52cos x=25 ,丁t222一 十 tsin x 15；£25 十色i+t2(t2+sin2x) t _ 525t 21cos2 xt2 sin2 x. t22又由平均值不等式 ab <(a 叼,得425t2 +1 &s2 x + t2 +sin2 x、2當(dāng)且僅當(dāng)例、已知cc225t2 1 t2 14t2(1)222cos x=t +sin x時(shí)等號(hào)成立。a,b為正常數(shù)，且 0<x土，求yab 3目一+的取小值。sin x cosx解：利用柯西不等式，得Va2 +3；'b2 =G/a2 +Vb2 jsin2 x +cos2 x> /asin x +3/b cosx等號(hào)成立的當(dāng)且僅當(dāng)sin%,g = cosX；B時(shí);x=arctg vb時(shí)，于V3/a2 +Vb2 >Va sin x + Vb cosx再由柯西不等式，得. 3.a23.b2' q 上 sin x cosx- (Vas i nx +3/b c o s:), a 十 |s i nx cox之(6/a Vs i nx J a + Vb Jc o sxj b, s i nx c o sx等號(hào)成立也是當(dāng)且僅當(dāng) x = arctg殖 時(shí)。從而+sin x cosx3上sin x cosx2 2的最小值是a3