相似整合學(xué)生版例題

1、圖 形 的 相 似典型例題：x + y11xy=，求例 01已知x8變式：線段 x ， y 滿足(x2 + 4 y2 ) : xy = 4 :1 ，求 x : y 的值x - y + 3zxyz例 02已知=，求234的值3x - y3a + 5b7a=，則 的值是 例 03若b3bxyz= k ，求 k 的值例 04設(shè)y + zz + xx + y變式：如圖，已知，在DABC 中， D 、 E 分別是 AB 、 AC 上的點(diǎn)，并且AB = BC =AC = 3 ， DABC 的周長為 12cm。求： DADE 的周長ADDEAE2典型例題：例 01已知：DABC 的三邊長分別是 3，4，5，

2、與其相似的DA¢B¢C¢的最大邊長是 15，求DA¢B¢C¢ 面積 SDA¢B¢C¢例 02已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， AE : EB = AF : FD ，BG : GC = DH : HC .求證： DOEF DOHG，已知平行四邊形 ABCD 中，E 為 AD 延長線上一點(diǎn)， AD = 2DE ，BE 交 DC 于 F，例 03.指出圖中各對相似三角形及相似比 精講精練：例 01 如圖， 在 DABC 中， ÐA = 47° ，AB = 1.5cm ， AC = 2cm

3、 ；在DDEF 中，ÐE = 47°， DE = 2.8cm ， EF = 2.1cm ，試這兩個三角形是否相似.例 02如圖，已知：在DABC 中，AB = AC ，ÐA = 36° ， BD 是角平分線，求證： AD2 = DC × AC例 03如圖，已知： CD 是RtDABC 的斜邊 AB 上的高， E 為 BC 上任意一點(diǎn)， EF AB ,垂足為 F 求證： AC2 = AD × AF + CD × EF1例 04已知：如圖，在DABC 中， ÐC = 90° ， D 、 E 分別是 AB 、

4、AC 上的兩點(diǎn)，并且AD× AB = AE × AC求證： ED AB例 05如圖，已知：在DABC 中， ÐB = 60° ， AE 和CD 是DABC 的高求證： AC = 2DE例 06已知：如圖，在矩形 ABCD 中， E 為 AD 的中點(diǎn)， EF EC 交 AB 于 F ，連結(jié) FC（ AB > AE ）（1） DAEF 與DEFC 是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由AB（2） 設(shè)= k ，是否存在這樣的 k 值，使得DAEF 與DBFC 相似？若存在，證明你的BC結(jié)論并求出 k 值；若不存在，說明理由例 07如圖，在矩

5、形 ABCD 中， AB = 12 厘米， BC = 6 厘米，點(diǎn) P 沿 AB 邊從點(diǎn) A 開始向點(diǎn) B 以 2 厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q沿 DA 邊向點(diǎn)A 以 1 厘米/秒的速度移動，如果 P ，Q 同時(shí)出發(fā)，用t （秒）表示移動的時(shí)間（ 0 £ t £ 6 ），那么：（1）當(dāng)t 為何值時(shí)， DQAP 為等腰直角三角形？（2）試說明四邊形QAPC 的面積始終保持不變。（3）當(dāng)t 為何值時(shí)，以點(diǎn)Q ， A ， P 為頂點(diǎn)的三角形與DABC 相似？典型例題例 01如圖，已知： DABC 中， D 為 AB 中點(diǎn)， E 為 AC 中點(diǎn)，連結(jié) DE： DADE 和DABC 是否

6、相似，如果相似，相似比是多少？2例 02已知：DABC 的三邊長分別是 3，4，5，與其相似的DA¢B¢C¢ 的最大邊長是 15，求DA¢B¢C¢面積 SDA¢B¢C¢例 03已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， AE : EB = AF : FD ，BG : GC = DH : HC .求證： DOEF DOHG例題 04 若DABC 與DDEF 都是等邊三角形則DABC 與DDEF 是否相似？為什么？，已知平行四邊形 ABCD 中，E 為 AD 延長線上一點(diǎn)， AD = 2DE ，BE 交 DC例題

7、05于 F，指出圖中各對相似三角形及相似比典型例題：例 01已知：如圖， l1 / l2 / l3 ， AB = 3 ， BC = 5 ， DF = 12 ，求 DE 和 EF 的長例 02如圖，已知： DE / BC ， DF / AC ， AD = 3cm ， BD = 6cm ， DE = 4cm 。求：線段 BF 的長例 03如圖，已知，在DMAP 中，點(diǎn) N 在 PM 上，B 、C 在 AP 上，且 AM / BN ，MB / NC求證： PB 是 PA 和 PC 的比例中項(xiàng)例 04如圖，已知： DE / BC ， AD2 = AF × AB 。求證： EF / DCABB

8、D例 05已知：如圖，AD 是DABC 的內(nèi)角平分線。求證：=ACCD例 06如圖，梯形 ABCD 中， AB / CD ， M 為 AB 的中點(diǎn)，分別連結(jié) AC ， BD ， MD ，MC ，且 AC 與 MD 交于 E ， DB 與 MC 交于 F ，求證： EF / CD3例 07 如 圖 ， AD / EF / BC ， AD = 12cm ， BC = 18cmEF = ， AE : EB = 2 : 3 ，則 圖 1圖 2圖 3例 08如圖， DABC 中， D 為 BC 邊的中點(diǎn)，延長 AD 至 E ，延長 AB 交 CE 于 P . 若AD = 2DE ，求證： AP = 3A

9、BABDCPE例 09AD 是DABC 的高，E 是 BC 的中點(diǎn)，EF BC 交 AC 于 F ，若 BD = 15 ，DC = 27 ，AC = 45 ，求 AF例 10如圖，ABCD 的對角線交于O 點(diǎn)， E 是 AB 延長線上一點(diǎn)， OE 交 BC 于 F ，若AB = a ，BC = b ， BE = c ，求 BF 的長例 11如圖，已知梯形 ABCD 中， AD / BC ， AB = DC = 3 ， P 是 BC 上一點(diǎn)， PE / AB交 AC 于E ， PF / CD 交 BD 于 F . 設(shè) PE ， PF 的長分別為 m ， n ， x = m + n ，那么當(dāng) P

10、點(diǎn)在 BC 上移動時(shí)， x 值是否變化？若變化，求出 x 值的取值范圍；若不變，求出 x 值，并說明理由例 12已知，如下圖， AB BD ，CD BD ，垂足分別為 B ，D ， AD 和 BD 相交于點(diǎn) E ，EF BD ，垂足為 F ，我們可以證明+=成立（不要求證明）ABCDEF1114若將上圖中的垂直改為斜交，如右圖， AB / CD ， AD 、BC 相交于點(diǎn) E ，過 E 作EF / AB ，交 BD 于點(diǎn) F ，則：（1） +=還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由ABCDEF（2） 請找出 SDABD ， SDBED 和 SDBDC 間的關(guān)系式，并給出證明11

11、1典型例題：例 01如圖，已知：在DABC 中， AB = AC ， ÐA = 36° ， BD 是角平分線，求證： AD2 = DC × AC例 02已知：如圖，在DABC 中， ÐC = 90° ， D 、 E 分別是 AB 、 AC 上的兩點(diǎn)，并且AD× AB = AE × AC求證： ED AB例 03如圖，已知：在DABC 中， ÐB = 60° ， AE 和CD 是DABC 的高求證： AC = 2DE典型例題例 04如圖，已知 D 為DABC 內(nèi)一點(diǎn)， E 為DABC 外一點(diǎn)，且Ð

12、1 = Ð2 ， Ð3 = Ð4 ， 求證： DABC DDBE5例 05如圖，在 DABC 中，ÐA = 47° ，AB = 1.5cm ，AC = 2cm ；在DDEF 中，ÐE = 47°，DE = 2.8cm ， EF = 2.1cm ，試這兩個三角形是否相似. DABC DEFD例 06如圖， BD ， CE 是DABC 是高， 求證： ÐAED = ÐACB例 07如圖，已知：在梯形 ABCD 中，AD / BC ，BC = x ，AC = y ，AD = z ，且求證： ÐB =

13、ÐACDy 2 - xz = 0例 08如圖，已知： CD 是 RtDABC 的斜邊 AB 上的高， E 為 BC 上任意一點(diǎn)， EF AB ， 垂足為 F求證： AC2 = AD × AF + CD × EF6例 09如圖，已知：在DABC 中，ÐACB = 90° ，CD AB 于 D ，E 在 BC 上，若CF AE于 F求證： ÐAFD = ÐB例 10已知：如圖， ÐABC = ÐCDB = 90° ， AC = a ， BC = b ，（1）當(dāng) BD 與 a ， b 之間滿足怎樣的關(guān)

14、系時(shí)，DABC DCDB ；（2）當(dāng) BD 與 a ，b 之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，DABC DBDC ；（3）當(dāng) BD 與 a ， b 之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個三角形相似例 11已知：如圖，在矩形 ABCD 中， E 為 AD 的中點(diǎn)， EF EC 交 AB 于 F ，連結(jié) FC（ AB > AE ）（1） DAEF 與DEFC 是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由AB（2） 設(shè)= k ，是否存在這樣的 k 值，使得DAEF DBFC ？若存在，證明你的結(jié)論BC并求出 k 值；若不存在，說明理由例 12如圖，在矩形 ABCD 中， AB = 12 厘米， BC = 6

15、厘米，點(diǎn) P 沿 AB 邊從點(diǎn) A 開始向點(diǎn) B 以 2 厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q 沿 DA 邊向點(diǎn)A 以 1 厘米/秒的速度移動，如果 P ，Q 同時(shí)出發(fā)，用t （秒）表示移動的時(shí)間（ 0 £ t £ 6 ），那么：（1）當(dāng)t 為何值時(shí)， DQAP 為等腰直角三角形？7（2）求四邊形QAPC 的面積，提出一個與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論（3）當(dāng)t 為何值時(shí)，以點(diǎn)Q ， A ， P 為頂點(diǎn)的三角形與DABC 相似？典型例題：例 1、如圖 1-1，在大小為 4×4 的正方形方格中，ABC 的頂點(diǎn)A、B、C 在正方形的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D中畫一個的頂點(diǎn)上A1B1C1，使A1B1C1

16、ABC(相似比不為 1)，且點(diǎn) A1、B1、C1 都在正方形B1A1ADEC1FBGCBBCC例 2、如圖，平行四邊形 ABCD 中，G 是 BC 延長線上一點(diǎn)，AG 與 BD 交于點(diǎn)E，與 DC 交于F，則圖中相似三角形共有對 .例 3、已知：如圖，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的點(diǎn)，且 BP3PC，Q 是 CD 的中點(diǎn)求證：ADQQCPADQBCF典型例題例 01如圖，AD 為DABC 的角平分線，BE 垂直于 AD 的延長線于 E ，CF AD 于 F ，BF ，EC 的延長線交于點(diǎn) P ， 求證： CF / AP例 02如圖，已知：在DABC 與DCAD 中，DA / BC

17、，CD 交 AB 于 E ，且 AE : EB = 1: 2 ，EF / BC 交 AC 于 F ， SDADE = 18AA求 SDBCE 和 SDAEF例 03如圖，已知，在梯形 ABCD 中，對角線 AC 、BD 相交于點(diǎn)O ，若DCOD 的面積為a2 ，DAOB 的面積為b2 ，其中 a > 0 ， b > 0 .求：梯形 ABCD 的面積 S例 04已知等腰直角三角形的面積為36cm2 ，它的內(nèi)接矩形的一邊在斜邊上，且矩形的兩邊之比為 5：2，求矩形的面積例 05已知梯形 ABCD 中， AD / BC ， BC = 3AD ， E 是腰 AB 上的一點(diǎn)，連結(jié)CE（1）如果CE AB ， AB = CD ， BE = 3AE ，求ÐB 的度數(shù)；BE（2）設(shè) DBCE 和四邊形 AECD 的面（1）設(shè) AE = k ，則 BE = 3k別為 S1 和 S2 ，且2S1 = 3S2 ，試求 AE 的值例 06（1）如圖，一張寬為 3，長為 4 的矩形紙片 ABCD ，先沿對角線 BD 對折，點(diǎn)C 落在點(diǎn) C¢ 的位置（如圖）， BC¢ 交 AD 于G ，再折疊一次，使點(diǎn) D 與點(diǎn) A 重合，得折痕 EN （如圖）， EN 交 AD 于 M ，則 ME 的長為 （2）如圖，將邊長為