貝努利概型與二項(xiàng)概率公式-

1、一.獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)是兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，與設(shè)21EE的各個(gè)結(jié)果相互獨(dú)立，的各個(gè)結(jié)果與如果21EE是相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)與則稱21EE5 n重貝努里概型二.n次相互獨(dú)立試驗(yàn)立的隨機(jī)試驗(yàn)為相互獨(dú)，相互獨(dú)立，則稱的各個(gè)結(jié)果，如果隨機(jī)試驗(yàn)nnEEEEEE21215 n5 n重貝努里概型重貝努里概型返回主目錄三.n次相互獨(dú)立試驗(yàn)的例子 擲n次硬幣，可看作是n次獨(dú)立試驗(yàn)； 某射手對(duì)同一目標(biāo)射擊n次，可看作是n次獨(dú)立試驗(yàn)； 觀察n個(gè)元件的使用壽命，可看作是n次獨(dú)立試驗(yàn)返回主目錄5 n重貝努里概型例 1三門火炮向同一目標(biāo)射擊，設(shè)三門火炮擊中目標(biāo)的概率分別為0.3，0.6，0.8若有一門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0

2、.2；若兩門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.9試求目標(biāo)被摧毀的概率解：設(shè)：B = 目標(biāo)被摧毀 321，門火炮擊中目標(biāo)有iiAi321，門火炮擊中目標(biāo)第iiCi返回主目錄5 n重貝努里概型由全概率公式，得 niiiABPAPBP1而3213213211CCCPCCCPCCCPAP 321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP8 . 04 . 07 . 02 . 06 . 07 . 02 . 04 . 03 . 0332. 0返回主目錄5 n重貝努里概型3213213212CCCPCCCPCCCPAP 321321321CPCPCPCPC

3、PCPCPCPCP8 . 06 . 07 . 08 . 04 . 03 . 02 . 06 . 03 . 0468. 03213CCCPAP 321CPCPCP8 . 06 . 03 . 0144. 0所以 9 . 0144. 06 . 0468. 02 . 0332. 0BP4768. 0返回主目錄5 n重貝努里概型四.Bernoulli 試驗(yàn)如果隨機(jī)試驗(yàn) E 只有兩個(gè)結(jié)果，則稱E為Bernoulli試驗(yàn)與“失敗”，分別稱為“成功”與結(jié)果記作一般地，我們將這兩個(gè)AABernoulli 試驗(yàn)的例子1、擲一枚硬幣，只有“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”兩種結(jié)果，因此“擲一枚硬幣”可看作是一次Bernou

4、lli試驗(yàn)2、擲一顆骰子，有六種結(jié)果但如果我們只關(guān)心“出現(xiàn)六點(diǎn)”與“不出現(xiàn)六點(diǎn)”這兩種情況，故“擲一顆骰子”也可以看作是Bernoulli試驗(yàn)返回主目錄5 n重貝努里概型 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行一次射擊，若只考慮“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)”兩種情況，則“同一目標(biāo)進(jìn)行一次射擊”是Bernoulli試驗(yàn) 在某一時(shí)間間隔內(nèi)觀察通過某路口的汽車數(shù)，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這也是Bernoulli試驗(yàn)Bernoulli 試驗(yàn)的例子返回主目錄5 n重貝努里概型n重重Bernoulli 試驗(yàn)試驗(yàn) 若獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次Bernoulli試驗(yàn)，這里“重復(fù)”是指每次試驗(yàn)中事件 A

5、發(fā)生的概率（即每次試驗(yàn)中“成功”的概率）不變，則稱該試驗(yàn)為 n 重Bernoulli 試驗(yàn)n重重Bernoulli 試驗(yàn)的例子試驗(yàn)的例子 擲n次硬幣，可看作是一 n 重 Bernoulli試驗(yàn) 擲 n 顆骰子，如果我們對(duì)每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點(diǎn)”與“不出現(xiàn)六點(diǎn)”這兩種情況，故“擲 n 顆骰子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli試驗(yàn)返回主目錄5 n重貝努里概型 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行n次射擊，若每次射擊只考慮“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)”兩種情況，則“同一目標(biāo)進(jìn)行n次射擊”是一n重Bernoulli試驗(yàn) 在某一時(shí)間間隔內(nèi)觀察通過某路口的汽車數(shù)，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這

6、兩種情況，這是一次Bernoulli試驗(yàn)若獨(dú)立重復(fù)地做該試驗(yàn) n 次，則它是一n重Bernoulli試驗(yàn)n重重Bernoulli 試驗(yàn)的例子試驗(yàn)的例子返回主目錄5 n重貝努里概型n重Bernoulli 試驗(yàn)中的樣本點(diǎn) n重Bernoulli 試驗(yàn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)可記作n,21返回主目錄5 n重貝努里概型其中每一個(gè) 取 或者 ，表示在第i次試驗(yàn)中 發(fā)生或者 發(fā)生。 iwAAAA例 2將一枚硬幣擲 5 次，可看作是一5重Bernoulli試驗(yàn)次拋擲全出現(xiàn)正面；表示5,AAAAA出現(xiàn)正面：令A(yù)次出現(xiàn)反面；后，次拋擲前兩次出現(xiàn)正面表示35,AAAAA次出現(xiàn)反面、正面，第次出現(xiàn)、次拋擲中第表示53421

7、5,AAAAA返回主目錄5 n重貝努里概型n重Bernoulli 試驗(yàn)中基本事件的概率設(shè)在n重Bernoulli 試驗(yàn)中，,1)(,)(pAppAp是一個(gè)樣本點(diǎn)返回主目錄5 n重貝努里概型n,21假設(shè)在此樣本點(diǎn)中，有k個(gè) 取 ，其余n-k個(gè) 取 ，則由獨(dú)立性，得基本事件 的概率為 ：AAiwiwn,21knkqpknknqpwwwp,21例例 3將一枚硬幣擲 5 次，可看作是一5重Bernoulli試驗(yàn)；則，5,pAAAAAP出現(xiàn)正面：令A(yù)；32,qpAAAAAP；23,qpAAAAAP qAPpAP，：且23,qpAAAAAP返回主目錄5 n重貝努里概型n重Bernoulli 試驗(yàn)中恰好成功

8、k次的概率設(shè)在n重Bernoulli 試驗(yàn)中， qpAPpAP1，現(xiàn)考慮事件次恰好發(fā)生試驗(yàn)中事件重，kABernoullinBkn：現(xiàn)求概率，knBP種，這種指定的方法共有失敗現(xiàn)次出，其余成功次出現(xiàn)次試驗(yàn)中，指定在knCAknAkn返回主目錄5 n重貝努里概型n重Bernoulli 試驗(yàn)中恰好成功k次的概率 而對(duì)于每一種指定好的方法，由前面的討論可知樣本點(diǎn)因此，的概率都為knkqppqqpCBPknkknkn1，nk，210返回主目錄5 n重貝努里概型n,21，取個(gè)，其余取個(gè)在此樣本點(diǎn)中，有AknAkii注注 意意由二項(xiàng)式定理，我們有由二項(xiàng)式定理，我們有nkknkknnkknqpCBP00，n

9、qp1返回主目錄5 n重貝努里概型例例 4設(shè)在N件產(chǎn)品中有M件次品，每次從中任意取出一件，有放回地取n次試求取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品的概率解： B= 取出的n件產(chǎn)品中恰有k件次品 每取一次只有兩種結(jié)果：，取出次品A因此每取一次產(chǎn)品可看作是一次Bernoulli試驗(yàn) ，取出正品A返回主目錄5 n重貝努里概型例 4（續(xù)）并且， ，NMAP NMAP1因此，有放回地取 n 件產(chǎn)品可看作是一個(gè) n 重Bernoulli試驗(yàn)由前面的討論，可知 knkknNMNMCBP1返回主目錄5 n重貝努里概型例 5一大批產(chǎn)品的次品率為0.05，現(xiàn)從中取出10件試求下列事件的概率： B= 取出的10件產(chǎn)品中恰有4

10、件次品 C= 取出的10件產(chǎn)品中至少有2件次品 D= 取出的10件產(chǎn)品中沒有次品 解： 取10件產(chǎn)品可看作是一10重Bernoulli試驗(yàn)取出一件產(chǎn)品為次品A 05. 0AP則返回主目錄5 n重貝努里概型例 5（續(xù)）所以， 410441095. 005. 0CBP410648. 9 CPCP19111010001095. 005. 095. 005. 01CC08614. 0 1095. 0DP5987. 0返回主目錄5 n重貝努里概型例 6對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率均為0.23，問至少需進(jìn)行多少次射擊，才能使至少命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95？解： 設(shè)需進(jìn)行n次射擊，才能使至少

11、命中一次目標(biāo)的概率不少于0.95 B= n次射擊至少命中一次目標(biāo) 進(jìn)行n次射擊，可看成是一n重Bernoulli試驗(yàn)命中目標(biāo)令： A 23. 0AP則，返回主目錄5 n重貝努里概型例 6（續(xù)）則有 BPBP1n77. 01由題意，得 95. 077. 01nBP所以，有05. 077. 0n取對(duì)數(shù)，得05. 0ln77. 0lnn所以，有77. 0ln05. 0lnn46.11 即至少需進(jìn)行12次射擊，才能使至少命中一次目 標(biāo)的概率不少于0.95返回主目錄5 n重貝努里概型例 7某病的自然痊愈率為 0.25，某醫(yī)生為檢驗(yàn)?zāi)撤N新藥是否有效，他事先制定了一個(gè)決策規(guī)則：把這藥給 10 個(gè)病人服用，如

12、果這 10 病人中至少有4 個(gè)人痊愈，則認(rèn)為新藥有效；反之，則認(rèn)為新藥無效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通過試驗(yàn)卻被否定的概率新藥完全無效，但通過試驗(yàn)卻被判為有效的概率返回主目錄5 n重貝努里概型例 7（續(xù)）解： 給10個(gè)病人服藥可看作是一10重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)巢∪巳睿?A 35. 0AP 若新藥有效，則此時(shí)若否定新藥，只有在試驗(yàn)中不到4人痊愈因此30101065. 035. 0iiiiCP 否定新藥5138. 0返回主目錄5 n重貝努里概型例 7（續(xù)） 由于新藥無效，則 25. 0AP 此時(shí)若肯定新藥，只有在試驗(yàn)中至少有4人痊愈因此104101075. 025. 0iiiiCP 肯定新藥30101075. 025. 01iiiiC2241. 0返回主目錄5 n重貝努里概型說 明 在例 7 的第一問中，該醫(yī)生把有用的藥給否定了，這種錯(cuò)誤在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為第類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤），犯這類錯(cuò)誤的概率稱為類風(fēng)險(xiǎn)； 在例 7 的第二問中，該醫(yī)生把無用的藥給肯定了，這種錯(cuò)誤在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為第類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤），犯這類錯(cuò)誤的概率稱為類風(fēng)險(xiǎn)；返回主目錄5 n重貝努里概型1 闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān) 系