在不平的地面放穩(wěn)椅子

1、在不平的地面放穩(wěn)椅子摘要針對在不平的地面將椅子放平穩(wěn)的問題,文章建立了三個模型來解決該問題.將椅子的四腳連線看作特殊的四邊形進行求解.對于問題1,正方形是最簡單也是最特殊的一種情況,我們用連續(xù)函數(shù)零點存在定理,證實出一定可以使椅子放穩(wěn).對于問題2,我們采用和問題1相同的方法與過程,證實出可以放穩(wěn).對于問題3,等腰梯形和正方形、長方形有一些區(qū)別,它更加一般化,旋轉的區(qū)間圍更大,在.,2萬上進行旋轉,也可以找出能放穩(wěn)的點,方法與問題1、問題2相同.文章在解決這些特殊化問題后,對一般性結論進行了猜測與論證,并最終得出結論,對一般的四邊形,也能使它在不平的地面上放穩(wěn).關鍵詞：椅子；不平地面；放穩(wěn)；數(shù)學

2、模型；連續(xù)函數(shù)；零點存在1.問題的重述在不平的地面上,椅子通常只有三只腳著地,只需稍挪動幾次,就能使四只腳同時著地,即放穩(wěn)了.問題1:椅子四腳連線呈正方形；問題2:椅子四腳連線呈長方形；問題3:椅子四腳連線呈等腰梯形.2 .問題的分析當椅子放穩(wěn)時應為椅子的四條腿同時著地(即椅子的四條腿腳與地面的的距離為零),用連續(xù)函數(shù)的零點存在定理,找出在某一圍一定存在的點,能讓四條腿同時著地.3 .模型的假設與符號說明3. 1模型的假設(1)假設一：椅子的四條腿一樣長,將椅子與地面的接觸看作一個點.(2)假設二：將不平的地面看作連續(xù)的曲面,沒有間斷點.(3)假設三：椅子在任何位置至少有三腳著地,才能保證椅子

3、能放平穩(wěn).3.2符號說明符號一：為四邊形上四點,4',夕,為旋轉后四邊形上四點.符號二：.為四邊形的中央.符號三：.為旋轉角度.4 .模型的準備連續(xù)函數(shù)零點存在定理：對VF(x),假設尸(x)在句上為連續(xù)函數(shù),且F(a)F(b)«O,那么*L,使得戶?)=0.5 .模型的建立與求解5.1問題1的模型建立與求解模型建立：1.正方形ABC.為椅子四腳的連線,2 .椅子中央為.點,3 .當椅子繞中央.點旋轉°度后,椅子從正方形A8CZ變?yōu)檎叫蜛6C.,旋轉角度為,設椅腳4c與地面的距離之和為/,氏°兩腳與地面距離之和為g6,其中f、g0.模型求解：由假設可知,

4、地面為連續(xù)曲面,為連續(xù)函數(shù).至少三個腳著地,八g中至少有一個為零,不妨令/e=°,ge°.當嗯時,吟.“=.將此問題轉換為證實以下結論:八夕和放夕為連續(xù)函數(shù),vej6g8=0j0=gC=0jC0,g0022.證實：然°,使證：令力夕=/一g6,那么力00和“彳8/送連續(xù),也連續(xù),裕亡0,萬,使力仇=0即/網(wǎng)=前網(wǎng),*/6.,ge.=0,/為=g6o=o.O5.2問題2的模型建立與求解O模型建立：1.長方形ABC.為椅子四腳的連線,2 .椅子中央為.點,3 .當椅子繞中央.點旋轉°度后,椅子從長方形A8C°變?yōu)殚L方形AEC.,旋轉角度為,設椅腳4

5、°與地面的距離之和為"6,民°兩腳與地面距離之和為g.,其中/.、geo.模型求解：由假設可知,地面為連續(xù)曲面,./喜為連續(xù)函數(shù)至少三個腳著地,.九g中至少有一個為零,不妨令/8=°,ge°當6=江時,/燈0送乃=.將此問題轉換為證實以下結論：“6和冢為連續(xù)函數(shù),veje*gc=ojo=g4=ojgo,goo證實：四.,使/6o=ga=0.證:令岫="6一g6,貝|J力.和h0./*連續(xù),.也連續(xù),使人a=0即/6.=ga.,*/6.,ge.=0,二./為=g6o=o.5.3問題3的模型建立與求解AC兩腳與地面的距離和為兩腳與地面的距

6、離和為g8,在任何情況下至少三腳著地,即/6送夕至少有一個為°,并且/6"0,g62.當e=o時,不妨設且笛片“.之.以對角線AC、8.的交點.為中央,旋轉使AC與原來的8.重合,此時不考慮8.所處的位置,那么4c邊所對應的函數(shù)值由原來的/2°變?yōu)?e=o,故/3=0構造輔助函數(shù)"夕=/2一且外貝7(0)=/(0)-g(0)=/(O)>OJi(a)=f(a)-g(a)=f(a)<0有連續(xù)函數(shù)的零點存在定理可知：(°.)之間一正一負,至少有一個dJ-g=0.在任何情況下至少三腳著地,即夕)常(夕)至少有一個為°,故/(q)=

7、g(q)=o*所以,也存在一個適當?shù)慕嵌饶苁顾哪_連線呈等腰梯形的椅子在不平的地面放平穩(wěn).6 .模型結果的分析與檢驗椅子問題雖然是日常生活中一件非常普通的事,但在實際中卻有指導意義.由于我們事先不知道要把椅子放在什么樣的地面上,所以也不可能對地面提出任何要求,這對椅子的設計提出了一定的要求.上述結論不只是對制作椅子有用,對很多四腳物體,如桌子,家用電器,四腳機器或設備等,都有設計方面的應用價值.用函數(shù)的觀點來解決問題,引入適宜的函數(shù)式關鍵.此題用變量e表示椅子的位置,用e的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的豎直距離,較為準確與適宜.7 .模型的推廣與改良方向如果將椅子的四腳連線看作一般的四邊形而非特殊

8、的,下面我們進行分析與討論.分析：首先,椅子繞中央軸旋轉一周,顯然,椅子與地面的接觸點組成了三維空間中的一條封閉曲線,下面考慮這條封閉曲線的性質其次,選擇一個水平面,那么曲線中的每一個點與水平面都有一個距離,并且這個距離是椅子位置變量e的連續(xù)函數(shù).如圖,記封閉曲線上關于中央軸對稱的A、C兩點與水平面的距離之和為/6,而對稱的8、.兩點與水平面的距離之和為g6=/e+°,/8,gO都是連續(xù)函數(shù),顯然,四只腳同時著地也就是兩個距離和相等.最后,歸結為數(shù)學問題：f8,g8是e的周期為2乃的連續(xù)函數(shù),對于Vee0,2-ge=/e+a,證實：明,使得d=gd=O.證實：構造函數(shù)_g6=fS-f

9、e+a,顯然力8連續(xù),“是e的周期為2乃的連續(xù)函數(shù),那么根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值得性質,羽e,使/4=maxfxIxe0,2,/0,=min/xlxe0,2.月K么田420,力口o.如果兩個不等式有一個等號成立,那么問題得證；否那么力的°,"40根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點定理,三珞,使",.=°,即/%=g%=0對于一般的四邊形,如圖,讓A、C兩點保持定長在封閉曲面上移動,E點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)/“,'；讓8、.兩點保持定長在封閉曲面上移動,E點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)gK'.具體結論：在封閉曲面.上,在保持定長的移動過程中,線段斗.中的七點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)八乂'可以取到最大值M和最小值,線段8.中的七點與水平面的距離是一個雙變量的連續(xù)函數(shù)g%V可以取到最大值和最小值H.如果">">?、?,那么一定存在一點5,%,使得,即椅子可以放平.8 .模型的優(yōu)缺點優(yōu)點：該模型較全面的研究了在不平的地面上如何使椅子放平,對椅子四腳連線所稱的形狀進行了分別討論,同時也對一般四邊形的問題進