空間向量初步

1、分別以i,j,k的方向為正方向建立三條數(shù)軸i, j, k，以點0為原點,正交基底，用i, j, k表示；(2)在空間選定一點 0和一個單位正交基底叫坐標軸？我們稱建立了一個空間直角坐標系量i,j,k都叫坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面；2、空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系 O-xyz中，對空間任一點 A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA二xi ? yj ? zk,有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量 A在空間 直角坐標系 O-xyz中的坐標，記作 A(x, y,z) , x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標.3、設(shè) a = (

2、ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)(1) a±)= (2) = . a b =_門；=.'a/ a" a/ .(4) a / b=; a_b =(5)模長公式：假設(shè) a = (a!,a2,a3),那么 | a| =(6)夾角公式：cos a bf|a| |b|ab a2b2 a3b3/ ? a?2a32、g2 b22 bs2兩點間的距離公式：假設(shè) 理心 ,習(xí)),0>2,y2,z?),那么A!=B次d(8)設(shè) A = (Xi, yi, zJB =(X2, y2, Z2)貝 y AB =AB = 空間向量提綱1. 理解空間向量的概念；掌握空

3、間向量的加法、減法和數(shù)乘，數(shù)量積的運算；2. 理解空間向量坐標及坐標運算；3 ?掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；能解決空間平行，垂直問題，會求兩點間的距離公式.重點：掌握空間向量的坐標運算；會用向量判斷平行，垂直關(guān)系；難點：掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式。1空間直角坐標系：(1)假設(shè)空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位AB的中點M的坐標為7. 如何建立適當?shù)淖鴺讼?. 如何確定平面的法向量1首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，假設(shè)有可直接確定，假設(shè)不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法;2待定系數(shù)法：由于法向量沒有規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以

4、有一個自由度，于是可把法向量的某個坐標設(shè)為1，再求另兩個坐標。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)'n = x, y,z,由！ n $ = 0解方程組求得n， b = 07 理 利用向量處理平行問題1證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線；2 證明線面平行的方法：證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線平行： 證明直線的方向向量與平面的兩個不共線向量是共線向量，即利用共面向量定理進行證明；證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直3 平面與平面平行的證明方法：證明兩個平面的法向量平行8 理利用向量處理垂直問題1證明線線垂直，可證明兩條線的方向向量

5、的數(shù)量積為0；2 證明線面垂直方法：根據(jù)線面垂直的判定定理利用向量證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線3 證明面面垂直的方法：根據(jù)面面垂直的判定定理利用向量證明一個平面內(nèi)的一條直線方向向量為另一個平面的法向量；證明一個平面的法向量與另一人平面平行；轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量互相垂直9. 理利用向量處理角度問題ji1 異面直線AB,CD所成的角二范圍：0 :2_ a n2線面角二范圍:0蘭日蘭一，rS日=s < a, n >二-？ a n22 了解到面二面角二d范圍：0乞乞二2、距離問題1 )點 A 到點 B 的距離：AB = ¥

6、 ( Xa xb) 2 + (yA yB) 2 + ( Za Zb) 2在平面上任取點B3直線I到平面-的距離4平面到平面：的距離在直線I上任取一點 A，轉(zhuǎn)化為點A到面的距離d在平面1上任取一點 A，轉(zhuǎn)化為點A到面的距離9.向量為謀求解立體幾何的探索性問題理，只需通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題？例i:在棱長為i的正方體 ABCD - A iBiCiDi中，E、F、占 八、?(i)求證：EF丄CF;(2 )求EF和AB所成角的余弦值G分別是DDi、BD、BBi的中求G

7、Ai的長.變式：在正方體 ABCD-A i BiCiDi中，E是棱BC的中點。AE(1)在棱BBi上是否存在一點 M，使DiM 一平面Bi , 么？ 在正方體外表 ABB iAi上是否存在點 N，使DiN _平面 BiAE，為什么？8.如下列圖，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PD丄底面ABCD.(1)證明：PA丄 BD ; (2)設(shè) PD = AD = 1,求棱錐 D 3 )假設(shè)PD = AD，求二面角 A - PB - C的余弦值.為什PBC的高.i.(廣州市20i3屆高三3月畢業(yè)班綜合測試試題(一)如圖4,在三棱柱ABC - ABiG中， ABC是邊長為2的等邊三角形AA丄平面ABC , D , E分別是CC1 , AB的中點.(1) 求證：CE / 平面 A,BD ；(2) 假設(shè)H為AB上的動點，當CH與平面AAB所成最大角的正切值為i5時，求平面ABD與平面ABC所成二面角(銳角)的2余弦值.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi的側(cè)棱AA2丄底面 ABC , / ACB = 90E是棱CCi