數(shù)值計(jì)算方法練習(xí)題

1、數(shù)值計(jì)算方法練習(xí)題習(xí)題一5. 序列滿足遞推關(guān)系式1. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，試指出它們有幾位有效數(shù)字以及它們的絕 對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限。1）；1）4）；7）；7）2） ；5）；3） ；6）；2. 為使下列各數(shù)的近似值的相對(duì)誤差限不超過， 問各近似值分別應(yīng)取幾位有效數(shù)字？3. 設(shè)均為第 1 題所給數(shù)據(jù)，估計(jì)下列各近似數(shù)的誤差限。（ 1） ；（2 ）；（ 3）4. 計(jì)算，取，利用下列等價(jià)表達(dá)式計(jì)算，哪一個(gè)的結(jié)果最好？為什么？（ 1） ；（ 2）；（ 3）（ 4）若（三位有效數(shù)字），計(jì)算時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？6. 求方程的兩個(gè)根，使其至少具有四位有效數(shù)字（要求利用。7.

2、利用等式變換使下列表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果比較精確。1）；8. 設(shè)，求證：（ 1）2）利用（1 ）中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差增大；反向遞推時(shí)誤差函數(shù)減小。9. 設(shè) x>0,x* 的相對(duì)誤差為 ，求 f（x）=ln x 的誤差限。10. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限。11. 下列公式如何才比較準(zhǔn)確？1）2）13. 計(jì)算取，利用式計(jì)算誤差最小。12. 近似數(shù) x*=0.0310, 是位有數(shù)數(shù)字。習(xí)題二1. 已知，求的二次值多項(xiàng)式。2. 令求的一次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)插值誤差。3. 給出函數(shù)的數(shù)表，分別用線性插值與二次插值求的近似值，并估計(jì)截

3、斷誤差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717364. 設(shè)，試?yán)美窭嗜沼囗?xiàng)定理寫出以為節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。5. 已知，求及的值。6. 根據(jù)如下函數(shù)值表求四次牛頓插值多項(xiàng)式，并用其計(jì)算和的近似值。X1.6151.6341.7021.8281.921F (x)2.414502.464592.652713.030353.340667. 已知函數(shù)的如下函數(shù)值表，解答下列問題（ 1）試列出相應(yīng)的差分表；（ 2）分別寫出牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f (x)1.001.321.682.082.52

4、3.008. 下表為概率積分1）時(shí)，積分2） 為何值時(shí)，積分？0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839. 利用在各點(diǎn)的數(shù)據(jù)（取五位有效數(shù)字），求方程在 0.3 和 0.4之間的根的近似值。10. 依據(jù)表 10 中數(shù)據(jù)，求三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。表 1012. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用分段線性插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問函數(shù)表的步長(zhǎng)h 應(yīng)怎樣選??？13. 將區(qū)間分成 n 等分，求在 上的分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，并估計(jì)截?cái)嗾`差。14、給定的數(shù)值表用線性插值與二次插值計(jì)算ln0.54 的近似值并估計(jì)誤差限15、在-4

5、 x4 上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過，函數(shù)表的步長(zhǎng)h 應(yīng)取多少?16、若，求和17、若互異，求的值，這里p n+1.18、求證19、已知的函數(shù)表求出三次Newton 均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(0.23)的近似值并用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差20、給定f(x)=cosx 的函數(shù)表用 Newton 等距插值公式計(jì)算cos 0.048 及 cos 0.566 的近似值并估計(jì)誤差.21. 求一個(gè)次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x), 使它滿足22. 令稱為第二類Chebyshev多項(xiàng)式，試求 的表達(dá)式，并證明 是 -1,1 上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列.23、 用最小二乘法求一個(gè)形

6、如使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差24、填空題(1) 滿足條件的插值多項(xiàng)式p(x)=().(2) ,則f1,2,3,4 =()， f1,2,3,4,5 =().(3) 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則 ()， ().(4) 設(shè)是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為 (x)=x的最高項(xiàng)系數(shù)為1 的正交多項(xiàng)式序列，其中，則 ()， ()習(xí)題三1. 給出數(shù)據(jù)如下表所示，試用最小二乘法求一次和二次擬合多項(xiàng)式。x 1.00 0.75 0.50 0.2500.250.500.751.00y 0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.28362. 用最小二乘

7、法求下列不相容方程組的近似解。1)2)3. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下表中的數(shù)據(jù)相擬合，并計(jì)X1925313844Y19.032.349.073.397.8算均方誤差。4. 在某次實(shí)驗(yàn)中，需要觀察水份的滲透速度，測(cè)得時(shí)間t 與水的重量W 的數(shù)據(jù)見下表。t（秒）1248163264W（ 克 ）4.224.023.854.593.443.022.59a、 s。設(shè)已知 t 與 W 之間的關(guān)系為，試用最小二乘法確定參數(shù)5. 試 構(gòu) 造 點(diǎn) 集。并利用所求的離散正交多項(xiàng)式系，對(duì)第二題中的數(shù)據(jù)求二次擬合多項(xiàng)上的離散正交多項(xiàng)式系6. 現(xiàn)測(cè)量長(zhǎng)度和米、米，為了提高測(cè)量的可靠性，又測(cè)量到米。試合

8、理地決定長(zhǎng)度和 的值。習(xí)題四1. 確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式具有的代數(shù)精度。（ 1） ；（ 1） ；（ 2） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） ；2. 用辛甫生公式求積分的值，并估計(jì)誤差。3. 分別用復(fù)化梯形法和復(fù)化辛甫生法計(jì)算下列積分：（ 1） ， 8等分積分區(qū)間；（ 2）， 4 等分積分區(qū)間；， 8 等分積分區(qū)間；4）， 6 等分積分區(qū)間。4. 用復(fù)化梯形公式求積分，問將積分區(qū)間 a, b 分成多少等分，才能保證誤差不超過e（不計(jì)舍入誤差）？5. 導(dǎo)出下列三種矩形公式的項(xiàng)（ 1）；（ 2）；（ 3）提示：利用泰勒公式。6. 用龍貝格公式計(jì)算

9、下列積分，要求相鄰兩次龍貝格值的差不超過。1）7. 根據(jù)等式當(dāng) n=3,6,12 時(shí)的三個(gè)值，利用外推算法求的近似值。8. 分 別 用 下 列 方 法 計(jì) 算 積 分， 并 比 較 結(jié) 果 精 度 ( 積 分 準(zhǔn) 確 值。1)復(fù)化梯形法，n = 16；2) 復(fù)化辛甫生法，n = 8；3)龍貝格算法，求至R2；4) 三點(diǎn)高斯勒讓德公式；五點(diǎn)高斯勒讓德公式。5)9. 試確定下面求積分式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高。10. 已知 f ( x )的值見表6-13。 用三點(diǎn)公式求函數(shù)在 x = 1.0,1.1,1.2 處的一階導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。11. 用二階三點(diǎn)公式求函數(shù)在 x = 1.2處的二階

10、導(dǎo)數(shù)值(利用數(shù)表6-13)。x1.01.11.2f ( x )0.250000.226760.2066112. 用中點(diǎn)公式的外推算法求在 x = 2 處的一階導(dǎo)數(shù)值，取h = 0.8 開始，加速二次。13. 分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson 公式計(jì)算下列積分.，并估計(jì)誤差14、用Simpson 公式求積分15、 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度.(1)(2)(2)(3)， 問區(qū)間應(yīng)分為多少等分?16、 計(jì)算積分， 若用復(fù)合Simpson 公式要使誤差不超過要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間17、用Romberg求積算

11、法求積分，取18、用三點(diǎn)Gauss-Legendre 求積公式計(jì)算積分19、用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev 求積公式計(jì)算積分習(xí)題五1. 用列主元素法解下列方程組(1) ；(2)；(3)對(duì) (1) (2)兩題觀察每步消元結(jié)果的系數(shù)矩陣有何特點(diǎn)，右下方矩陣是否對(duì)稱，列主元在何處，消元過程是否符合上題結(jié)論。2. 用追趕法解下列方程組1)3. 求第 1 題及第 2 題中系數(shù)矩陣A 的 LU 分解，并用此分解法解對(duì)應(yīng)的線性方程組。4. 給定及。5、用Gauss消去法求解下列方程組.6、 用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式 detA 的值 .7、用Doolittle 分解法求習(xí)題5(1

12、) 方程組的解.8、下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一9、用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b，其中10、用平方根法解方程組11、設(shè)，證明12、設(shè)計(jì)算 A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和 2 范數(shù) .13 、設(shè) 為 上任一種范數(shù)，是非奇異的，定義，證明14、求下面兩個(gè)方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì)，即15、 是 非 題 （ 若 " 是 " 在 末 尾 （） 填 +," 不 是 " 填 - ） ： 題 目 中1） 若 A對(duì)稱正定, 則是 上的一種向量范數(shù)（）2）定義是一種范數(shù)矩陣（）4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L 為單位下三

13、角陣，U為非奇（）5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解 （）6）若A對(duì)稱正定, 則 A可分解為，其中 L 為對(duì)角元素為正的下三角陣）7）對(duì)任何都有（）8）若A為正交矩陣，則（）習(xí)題六1. 對(duì)下列方程組考察用雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法是否收斂？若收斂，寫出其迭代格式；若下收斂，能否將方程變形，使之用雅可比迭代法或高斯塞德爾迭代法時(shí)收斂？3)( 2)；4)；5 次求線性方程組的解(取初值2. 試分析用雅可比迭代法和塞德爾迭代法連續(xù)迭代)3. 用雅可比迭代法解下列方程組。取，并判別此迭代是否收斂？4. 用塞德爾迭代法解方程組。取，并判別此迭代是否收斂？5. 證明對(duì)于任意的矩陣A，序列收

14、斂于零矩陣.6. 方程組(1) 考查用 Jacobi 法和GS法解此方程組的收斂性.(2) 寫出用 J 法及 GS 法解此方程組的迭代公式并以計(jì)算到為止 .7. 設(shè)方程組證明 : 解此方程的Jacobi 迭代法與Gauss-Seidel 迭代法同時(shí)收斂或發(fā)散.8. 下列兩個(gè)方程組Ax=b，若分別用J 法及GS法求解，是否收斂?9. 設(shè)， detA 0，用,b 表示解方程組Ax=f 的 J 法及GS法收斂的充分必要條件.10. 用 SOR方法解方程組（分別取 =1.03, =1, =1.1）精確解，要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并對(duì)每一個(gè) 值確定迭代次數(shù).11. 對(duì)上題求出SOR迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收

15、斂速度，并求 J 法與 GS法的漸近收斂速度. 若要使那么 J 法 GS法和SOR法各需迭代多少次?12. 填空題（1）要使應(yīng)滿足（）（2） 已知方程組，則解此方程組的Jacobi 迭代法是否收斂（）. 它的漸近收斂速度R（B）=（）（3） 設(shè)方程組Ax=b,其中其 J 法的迭代矩陣是（）.GS 法的迭代矩陣是（）.（4） 用 GS法解方程組，其中 a 為實(shí)數(shù)，方法收斂的充要條件是 a 滿足（）.（5） 給定方程組,a 為實(shí)數(shù). 當(dāng) a 滿足（） ，且 0< < 2SOR迭代法收斂.習(xí)題七1. 判斷下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求出其隔根區(qū)間。（ 1） ；（ 2）（ 3） ；（ 4）2.

16、方程在區(qū)間（3， 4）中有一實(shí)根，若用二分法求此根，使其誤差不超過，問應(yīng)將區(qū)間對(duì)分幾次？并請(qǐng)用二分法求此根。3. 下列方程各有一實(shí)根，判別能否直接將其寫成迭代格式而后求解？如不能，將方程變形，給出一個(gè)收斂的迭代格式。（ 1） ；（ 2）4. 求方程的隔根區(qū)間，對(duì)方程的下列四種等價(jià)變形，判斷各迭代格式的收斂性，選一種收斂最快的迭代格式，求出具有四位有效數(shù)字的近似根。（ 1） （ 2）（3）（ 4）5. 考察方程有幾個(gè)根，選擇合適的迭代格式求這些根，允許誤差6. 用牛頓法求出的方程根的迭代結(jié)果見表2-6，試估計(jì)所求根的重?cái)?shù)。表 2-6kXkxkxk 100.7510.7527010.0027020

17、.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.0008897. 用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05.8. 求方程在 =1.5 附近的一個(gè)根，將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) , 迭代公式.(3) ， 迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4 位有效數(shù)字的近似根.9. 設(shè)方程的迭代法(1) 證明對(duì), 均有, 其中 為方程的根.(2) 取 =4, 求此迭代法的近似根，使誤差不超過, 并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收斂階是多少?證明你的結(jié)論.10 給定

18、函數(shù)， 設(shè)對(duì)一切x, 存在， 而且. 證明對(duì), 迭代法均收斂于方程的根 .11 用 Steffensen 方法計(jì)算第12題中 (2) 、 (3) 的近似根，精確到12用 Newton法求下列方程的根，計(jì)算準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字.(1) 在 =2 附近的根.(2) 在 =1 附近的根.13. 應(yīng)用 Newton法于方程, 求立方根的迭代公式，并討論其收斂性.32A12 3101.已知矩陣試用格希哥林圓盤確定10 , A2A 的特征值的界。141142.設(shè) x (x1, x2,., x3)T 是矩陣 A 屬于特征值的特征向量，若xxi ，naiiaijj1 試證明特征值的估計(jì)式j(luò) i .3.用冪法求矩

19、陣232A 10 3 436 1 的強(qiáng)特征值和特征向量，迭代初值取y(0)(1,1,1)T。4 .用反冪法求矩陣y(0)(1,1,1)T。21311 1 最接近 6 的特征值和特征向量，迭代初值取335 .設(shè) A Rn n 非奇異，A 的正交分解為A=QR，作逆序相乘A 1=RQ，試證明1) 若 A 對(duì)稱則 A1 也對(duì)稱；2) 若 A 是上 Hessenberg陣，則 A 1 也是上Hessenberg陣。6.設(shè)矩陣121 )任取一非零向量作初始向量用冪法作迭代，求A 的強(qiáng)特征值和特征向量；2)用QR 算法作一次迭代，求A 的特征值；3)用代數(shù)方法求出A 的特征值和特征向量，將結(jié)果與(1)和(

20、2)的結(jié)果比較。201A0217. 設(shè)矩陣1111 )用 Householder 變換化 A 為對(duì)稱三對(duì)角陣A1。2)用平面旋轉(zhuǎn)陣對(duì)A1 進(jìn)行一步QR 迭代計(jì)算出A1T2 為例，已知14, x(1)(2,1)T ，用以上方法構(gòu)造H 陣，并求出A。8. 用帶位移的QR 方法計(jì)算下列矩陣的全部特征值。421310(1)A0 1 0 ,(2)A1 2 10230119. 設(shè) A Rn n ，且已知其強(qiáng)特征值1 和對(duì)應(yīng)的特征向量x(1)，1 )證明：若構(gòu)造Householder 陣 H 使 Hx (1)ke1(常數(shù)k 0,e1(1,0,.,0)TRn ) ，1xHAH 10A1(n 1) (n 1)1

21、 (n 1)A1R, x R ，且 A 的其余 n-1 個(gè)特征值就是A1 的特征值。10. 對(duì)以下的實(shí)對(duì)稱陣用QR 方法求其全部特征值。310411(1)A1 4 2 ,(2)A132021123習(xí)題九1. 取步長(zhǎng) h = 0.1 ，分別用歐拉法與改進(jìn)的歐拉法解下列初值問題（ 1） ；（ 2）準(zhǔn)確解：（1 ）；（2）；2. 用四階標(biāo)準(zhǔn)龍格庫(kù)塔法解第1 題中的初值問題，比較各法解的精度。3. 用歐拉法計(jì)算下列積分在點(diǎn)處的近似值。4. 求下列差分格式局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng)，并指出其階數(shù)。1）2）4)5. 用 Euler 法解初值問題取步長(zhǎng) h=0.1，計(jì)算到x=0.3(保留到小數(shù)點(diǎn)后4位 ).6. 用

22、改進(jìn) Euler 法和梯形法解初值問題取步長(zhǎng) h=0.1,計(jì)算到 x=0.5， 并與準(zhǔn)確解相比較 .7.證明中點(diǎn)公式(7.3.9)是二階的，并求其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).8. 用四階 R-K 方法求解初值問題取步長(zhǎng) h=0.2.9. 對(duì)于初值問題10. (1) 用 Euler 法求解，步長(zhǎng)h 應(yīng)取在什么范圍內(nèi)計(jì)算才穩(wěn)定?11. (2) 若用梯形法求解，對(duì)步長(zhǎng)h 有無限制?12. (3) 若用四階R-K 方法求解，步長(zhǎng)h 如何選取?13.用四步四階的Adams 顯式方法求解初值問題取 h=0.1.14.用形如的線性二步法解( 2) 2，4) 5，6) 2，；15. 試確定參數(shù)，使方法具有盡可能高的階數(shù)

23、，并求出局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)習(xí)題一1. ( 1) 5，( 3) 4，；( 5) 1，；7) 6，2.3.1)；2)；(3)4.第(3)個(gè)結(jié)果最好5.不穩(wěn)定。從計(jì)算到時(shí)，誤差約為6.7.1)；2)；3)4)9. 求 lnx 的誤差極限就是求f(x)=lnx已知 x*的相對(duì)誤差滿足故而，10. 直接根據(jù)定義得有 5 位有效數(shù)字，其誤差限有 2 位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限有 5 位有效數(shù)字， 11. 要使計(jì)算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。13.習(xí)題二1.2. ；， 介于 x 和 0， 1 決定的區(qū)間內(nèi)；，當(dāng)時(shí)。3. 0.54667 ， 0.000470； 0.54714， 0.00002

24、94.5. 1 ， 06. ，7. 向前插值公式8. （ 1）；2）9. 0.337648910.11.12.13.14、解 仍可使用n=1 及 n=2的 Lagrange插值或Newton插值, 并應(yīng)用誤差估計(jì)。線性插值時(shí)，用0.5 及 0.6 兩點(diǎn)，用Newton插值誤差限，因，故二次插值時(shí)，用0.5， 0.6， 0.7 三點(diǎn)，作二次Newton插值誤差限 故15、解： 用誤差估計(jì)式，令因得16、解： 由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系17、解：，由均差對(duì)稱性于是可知當(dāng)有而當(dāng)P n 1 時(shí)18、解： 只要按差分定義直接展開得解： 根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表n=3時(shí)得Newton均差插值多項(xiàng)式19、N3(x)=

25、1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余項(xiàng)表達(dá)式可得由于20、 計(jì)算， 用 n=4得 Newton前插公式誤差估計(jì)其中計(jì)算時(shí)用 Newton后插公式（5.18）誤差估計(jì)得這里 仍未 0.56521、 解： 這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡(jiǎn)單為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由 p(2)=1 求出A，于是22、解： 因23、解： 本題給出擬合曲線，即，故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為 均方程為24、 解答：( 1)2)4)習(xí)題

26、三2），其中 c 為任意常數(shù)3.4. ，5. ，6. ，習(xí)題四1.，代數(shù)，代數(shù)精度為，代（1） ，精度為3；（2），3；（3） ，或，數(shù)精度 2；4)，代數(shù)精度為3。2.3.( 1)，2)3) ，4)4.5.1)；(2)；(3)6.1)，7. 3.1415800728. （ 1） 1.099768；1.09862；3)（ 2）1.098612；5） 1.098604） 1.098039；9，9.11. 0.260012. 0.35355413、 解 本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式（ 6.13） 直接計(jì)算即可。對(duì)， 取 n=8, 在分點(diǎn)處計(jì)算f（x） 的值構(gòu)造函數(shù)表。按復(fù)合梯形

27、公式求出，按復(fù)合Simpson公式求得，積分14、 解： 直接用 Simpson 公式得估計(jì)誤差，因，故15、 解： 本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。1）令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3 次代數(shù)精確度。2）令代入公式兩端使其相等，得解出得不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3 次代數(shù)精確度。3）令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對(duì)故求積公式具有2 次代數(shù)精確度。16、 解： 由 Simpson公式余項(xiàng)及得即，取n=6，即區(qū)間分為 12 等分可使誤差不超過對(duì)梯形公式同樣，由余項(xiàng)公式得取 n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過17、 解：

28、本題只要對(duì)積分 果如下表所示。使用Romberg算法（6.20），計(jì)算到K 3，結(jié)于是積分，積分準(zhǔn)確值為0.71327218、 解： 本題直接應(yīng)用三點(diǎn)Gauss公式計(jì)算即可。，所以先做變換于是本題精確值19、 解： 本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算即于是，因n=2, 即為三點(diǎn)公式，于是，即故1.習(xí)題五3)2. ( 1) (1.2,1.4,1.6,0.8)2) ( 1.5,2,1,1) T3. 對(duì)第 1 題中的系數(shù)矩陣1)對(duì)第 2 題中的系數(shù)矩陣1)2)9. 解：用解對(duì)三角方程組的追趕法公式計(jì)算得4. 8 ， 5； 6， 85. 解 本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直

29、接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。故6. 解： 先選列主元， 2 行與 1 行交換得3 行與 2 行交換 回代得解行列式得7. 解： 由矩陣乘法得再由求得由 解得A能 分步分解后，8. 解 ： A 中， 相互矛盾，故 A不能分解，但，若 A中 1 行與 2 行交換，則可分解為L(zhǎng)U分解不唯一，為一任意常數(shù)，且U 奇異。 C可分解，且唯一。對(duì) B，顯然，但它仍可分解為10. 解： 用分解直接算得及求得11. 解：即，另一方面故12. 解：故13. 證明： 根據(jù)矩陣算子定義和定義，得令 ，因 P 非奇異，故x 與 y 為一對(duì)一，于是14. 解： 記則的解，而的解 故由（ 3.12）的誤差估計(jì)得表明

30、估計(jì)略大，是符合實(shí)際的。15、 答案： （ 1） （）（ 2） （）（ 3） （）（ 4） （）（ 5） （）（ 6） （）（ 7）（）（ 8） （）習(xí)題六1.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）雅可比迭代法收斂發(fā)散收斂發(fā)散高斯一賽德爾法收斂發(fā)散收斂發(fā)散塞德爾迭代法：2. 雅可比迭代法：3. （ 1）范數(shù)，故雅可比迭代法收斂（ 2）范數(shù)，由可判定雅可比法收斂。4. 方程組系數(shù)矩陣對(duì)角占優(yōu)，因此塞德爾迭代法收斂與 3 題（1）迭代結(jié)果相比較，這里收斂速度快。5. 解：由于而6. 解：因?yàn)榫哂袊?yán)格對(duì)角占優(yōu)，故J 法與GS法均收斂。（ 2） J 法得迭代公式是取，迭代到18 次有GS迭代法計(jì)算公式為取7

31、. 解： Jacobi 其迭代矩陣迭代為， 譜半徑為， 而 Gauss-Seide 迭代法為其迭代矩陣， 其譜半徑為，故Jacobi 迭代法與Gauss-Seidel 法同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。8. 解： Jacobi 法的迭代矩陣是即，故GS法的迭代矩陣為， J 法收斂、故，解此方程組的GS法不收斂。9. 解 J 法迭代矩陣為， 故 J 法收斂的充要條件是。 GS法迭代矩陣為得 GS法收斂得充要條件是10. 解： 用 SOR方法解此方程組的迭代公式為取， 當(dāng)時(shí) ， 迭 代 5次 達(dá) 到 要 求若取，迭代 6 次得11. 解 ： J 法的迭代矩陣為，故J 法收斂速度由于，故若要求對(duì)于 J 法， 因

32、 A為對(duì)稱正定三對(duì)角陣，最優(yōu)松弛因子，于是迭代次數(shù)，取K 15對(duì)于GS法對(duì)于SOR法12、 解答 :(1)，取K 8，取K 5(2)J 法是收斂的，(3)J 法迭代矩陣是GS法迭代矩陣(4) 滿足(5) 滿足習(xí)題七1. （ 1）2)；2. 63.1)能；4. ( 發(fā)散；5.6.7.( 3)，；為根。1.4,1.5 ）；4)發(fā)散；1)收斂；1.989761 ； 0.37581222)不能，2)收斂；1.465573解 使用二分法先要確定有根區(qū)間 。4)3)本 題 f（x）=x2-x-1=0, 因f（1）=-1,f（2）=1, 故區(qū)間 1,2 為有根區(qū)間。另一根在-1,0 內(nèi)，故正根在1,2內(nèi)。用

33、二分法計(jì)算各次迭代值如表。其誤差8 解： （ 1） 取區(qū)間且， 在 且，在中故迭代收斂。，則 L<1，滿足收斂定理?xiàng)l件，2），在中，且，在，故迭代收斂。中有（ 3） ，在附近，故迭代法發(fā)散。在迭代（ 1）及（2）中，因?yàn)椋?）的迭代因子L 較小，故它比（1）收斂快。用（ 2）迭代，取，則9 解： （ 1）迭代函數(shù)，對(duì) 有（ 2）取，則有各次迭代值取，其誤差不超過3）故此迭代為線性收斂。10解：由于， 為單調(diào)增函數(shù)，故方程的根是唯一的（假定方程有根） 。迭代函數(shù)，。令，則，由遞推有11 解 : 在 (2) 中,令,令, 則有令,得, 與第 2 題中 (2) 的結(jié)果一致, 可取, 則滿足精度

34、要求.對(duì) (3) 有,原迭代不收斂. 現(xiàn)令令12解： ( 1) Newton 迭代法取 ，則，取2)令 ，則，13解： 方程的根為，用Newton迭代法，故迭代法2 階收斂。還可證明迭此公式迭代函代法整體收斂性。設(shè)，對(duì)一般的，當(dāng)時(shí)有這是因?yàn)楫?dāng) 時(shí)成立 從而，即，表明序列單調(diào)遞減 故對(duì)，迭代序列收斂于1.解： (1)3 3,(2)4 2,解： Ax x , Ax x x i A x由 xxi 得ai1x1aiixiain xn xin( aii )xiaij xji1ijaii xiaijxji1ijnaij xji1ijaiji1ijn xja iiaiji 1 xi ij3.解： y=1,1

35、,1'z=y;d=0;A=2,3,2;10,3,4;3,6,1;for k=1:100y=A*z;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; end d=cend(1) z(0.41181.00000.5882) T,c1 =17(2) z(0.52801.0000T 0.8261) T,c2 =9.4706z(3)( 0.49281.00000.7260)T,c3= 11.5839z(4)(0.50201.00000.7574) T,c4 =10.8316(5) z(0.49951.000

36、00.7478) T,c5 =11.04981z(6)(0.50011.00000.7506)T,c6 =10.9859(7) z(0.50001.00000.7498) T,c7 =11.0040(8) z(0.50001.0000T 0.7500) T,c8 =10.9989z(9)(0.50001.00000.7500) T,c9 =11.0003z (10)(0.50001.00000.7500) T,c10= 10.9999z (11)(0.50001.00000.7500) T,c11= 11.0000(0.5000 1.0000 0.7500)T。強(qiáng)特征值為11，特征向量為4.解

37、：y=1,1,1'z=y;d=0;A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;for k=1:100AA=A-6*eye(3);y=AAz;c,i=max(abs(y);if y(i)<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d)<0.0001,break; end d=cendd=6+1/cz(1)(1.00000.40000.1000)T,z(2)(1.00000.57140.2857)T,z(3)( 1.00000.50660.2303)T,z(4)(1.00000.52860.2457)T,z(5)(1.00000.52100.2411)T,z(6)(1.00

38、000.52360.2425)T,(7) z(1.00000.52270.2421)T,z(8)(1.00000.52300.2422)T,z(9)(1.00000.52290.2422)T,最接近 6 的特征值為c1 = 1.1111c2 = 0.7000c3 = 0.8042c4 = 0.7675c5 = 0.7794c6 = 0.7754c7 = 0.7767c8 = 0.7763c9 = 0.77646+1/c=7.2880，特征向量為(1.0000 0.5229 0.2422)T。5.1T證明：1 ) A QR, A1RQ Q AQ Q AQ ，A1T QTATQ QTAQ A1,

39、A1 對(duì)稱2 2) A 是上 Hessenberg陣，用 Givens 變換對(duì) A 作正交分解，即R(n 1,n) R(2,3)R(1,2)A R,QTR(n 1,n) R(2,3)R(1,2)A1 QTAQ R(n 1, n) R(2,3)R(1,2)ART (1,2) RT (n 1,n)顯然A1 也是上Hessenberg陣。6.解： （ 1 ）z(1)( 0.66671.0000)T,c1=3z(2)( 0.62501.0000)T,c2= 2.6667z(3) ( 0.6190 1.0000)T, c3 = 2.6250z(4) ( 0.6182 1.0000)T, c4 = 2.6

40、190z(5) ( 0.6181 1.0000)T, c5 = 2.6182z(6) ( 0.6180 1.0000)T, c6 = 2.6181A 的強(qiáng)特征值為2.6181，特征向量為(0.6180 1.0000)T2) for i=1:10Q,R=qr(A);A=R*Qend2.6180 - 0.0112- 0.0112 0.38202.5000 - 0.50002.6154 0.0769A1- 0.5000 0.5000 ,A20.0769 0.3846 ,- 0.0002 A 2.61800.3820 , A6 0.00000.00000.3820A 2.6180 0.0016 A 2

41、.6180A40.0016 0.3820 , A5- 0.0002A 的特征值為2.6180， 0.3820A- I3）231，特征值1,21.5 0.5 57.特征向量 ( 0.5 0.5 5 ,1)T解： （ 1 ）x(1)1, Hx y (1,0)T ,u x y ( 1,1)T ,H2T 2uu 2T uu10,100121 0HAH 1 1 - 10-1 2(2)2.6000 0.4899 - 0.00000.4899 2.4000 - 0.0000 , 0 - 0.0000 - 0.00008.解： ( 1 ) for k=1:20p=A(3,3);AA=A-p*eye(3);Q,

42、R=qr(AA);A=R*Q+p*eye(3) end4.0000 - 0.7071 2.1213A10 1.0000 2.0000 ,003.0000全部特征值為4 , 1 , 3(2)3.6000 0.4899 0.00000.4899 1.7333 0.74540 0.7454 0.66673.7317 0.0249 0.0000A50.0249 2.0004 - 0.0000 ,0 0.0000 0.26793.7263 0.0993 0.0000 A30.0993 2.0057 0.0072 ,0 0.0072 0.26803.7320 0.0062 0.0000A70.0062 2

43、.0000 - 0.0000 ,0 0.0000 0.26793.73200.001600.00162.000000.0000- 0.0000 ,A110.26793.7321 0.0004 0.00000.0004 2.0000 - 0.0000 ,000.26793.7321 0.0001A130.0001 2.000000全部特征值為3.7321, 2.0,0.0000- 0.0000 , A14 0.26793.7321 - 0.0000 - 0.0000- 0.0000 2.0000 - 0.0000000.26790.26799. 1) (1)(1)( 1 ) Ax 1 x , 構(gòu)造Householder 陣 H 使 Hxke1HAx (1)1Hx(1)1ke1 ,HAH (Hx(1) HAH (ke1)1ke1,HAHe 11e1,101HAH 1,即 HAH 的第一列為0 ,0 A1 2) 2)x(1)5,Hx y ( 5,0)T ,u x y