2019年中考數(shù)學(xué)圓的專題之四點(diǎn)共圓與半角模型問題

1、圓的專題之四點(diǎn)共圓與半角問題四點(diǎn)共圓AZA=ZD或ZB=/ADB/AB090OAfOB=OCACDZB+ZD=180/A+/BCB180ZC或/A=ZDCE簡四點(diǎn)共圓的條件：如果一個(gè)四邊形對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上,ABD=90稱“四點(diǎn)共圓1 .到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓2 .同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓.3 .對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓.4 .同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓(頂角在底邊的同側(cè))、到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓1、如圖,ABC中,AB=AC=5BC=2以AC為邊在ABC外作等邊三角形ACD連接BD,貝UBD=2、：AB、C三點(diǎn)不在同一直線上.(1)假設(shè)點(diǎn)AB、C均在

2、半徑為R的.O上,(i)如圖,當(dāng)/A=45,R=1時(shí),求/BOC勺度數(shù)和BC的長;(ii)如圖,當(dāng)/A為銳角時(shí),求證：sinABC2R(2)假設(shè)定長線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在/MAN勺兩邊AMANBC均與A不重合)滑動(dòng),如圖,當(dāng)/MAN60,BG2時(shí),分另作BP)AMCPLAN交點(diǎn)為P,試探索在整個(gè)滑動(dòng)過程中,P、A兩點(diǎn)間的距離是否保持不變？請(qǐng)說明理由.、同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓.1、如圖,矩形ABCD勺對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)O作OHAC交AB于E,假設(shè)BC=4AOE勺面積為6,貝UcosZBOE=AD2、如圖,直角三角形ABC中,/ABC=90,AB=6,BC=8D為AC中點(diǎn),過D

3、作DE!DF,分別交射線ABBC于E、F,那么EF的最小值為3、如圖,正方形ABC曲邊長為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AGBD的交點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,過點(diǎn)C作CFBE,垂足為F,連接OF,那么OF的長為？三、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓.1.,點(diǎn)P是/MONJ平分線上的一動(dòng)點(diǎn),射線PA交射線OMF點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線OM點(diǎn)B,且使/APE+ZMOW80.(1)利用圖1,求證：PA=PB(2)如圖2,假設(shè)點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),當(dāng)&pob=3&pcb時(shí),求PB與PC的比值；(3)假設(shè)/MON60,OB=2,射線AP交OW點(diǎn)D,且滿足且/PBR/ABO請(qǐng)借助圖3補(bǔ)全圖形,并求OP

4、K.四、同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓(頂角在底邊的同側(cè))1 .：如圖2、色ABD和ZAEC分刖是以ABC的邊ARAC向外作的等邊三角形,聯(lián)結(jié)BECD相交于F.求證：AF平分/DFE2 .在ABC/A=30,AB=2褥,將ABCg點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0a90),得到DBE其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,ACDE相交于點(diǎn)F,連接BF(1)如圖1,假設(shè)0(=60,線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)a得到線段BD請(qǐng)補(bǔ)全DBE并直接寫出/AFB的度數(shù)；(2)如圖2,假設(shè)a=90,求/AFB的度數(shù)和BF的長；(3)如圖3,假設(shè)旋轉(zhuǎn)a(0a90),請(qǐng)直接寫出/AFB的度數(shù)及BF的長(用含a的代數(shù)式表示).【旋轉(zhuǎn)

5、中的隱圓問題】1 .如圖,在矩形ABCD43,AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn),F是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn),將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF,連接BD,那么BD的最小值是.2 .如下圖,矩形ABCN,AB=4,BC=43,點(diǎn)E是折線段A-D-C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合),點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn).在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,使PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有個(gè).3 .(12分)在正方形ABCD43,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DCCB上移動(dòng).www-2-1-cnjy-com(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和D

6、F交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由；(2)如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CDBC的延長線上移動(dòng)時(shí),連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請(qǐng)你直接答復(fù)“是或“否,不需證實(shí))；連接AC,請(qǐng)你直接寫出ACE為等腰三角形時(shí)CECD的值；(3)如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DCCB上移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.假設(shè)AD=2,試求出線段CP的最大值.國1圖2圖34.以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),分別畫出兩個(gè)直角三角形,記作AOBF口COD其中/ABONDCO=30.(1)點(diǎn)E.F.M分別是AGCDDB的中點(diǎn),連接FM

7、EM.如圖1,當(dāng)點(diǎn)D.C分別在AOBO的延長線上時(shí),FMEM=I如圖2,將圖1中的4AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)“角(00“60),其他條件不變,判斷FMEM勺值是否發(fā)生變化,并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證實(shí)；(2)如圖3,假設(shè)BO=3x.;3,點(diǎn)N在線段OD上,且NO=3點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在將AO弱點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中,線段PN長度的最小值為,最大值為一.半角模型【課堂導(dǎo)入】旋轉(zhuǎn)主要分四大類：繞點(diǎn)、空翻、弦圖、半角.這四類旋轉(zhuǎn)的分類似于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的分類.【新知點(diǎn)擊】半角模型：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角,通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起,成對(duì)稱全

8、等.【典型例題1】如圖,P是等邊三角形ABC中的一點(diǎn),PA=2,PB=2.3,PC=4,求BC邊得長是多少？【對(duì)點(diǎn)演練1】1 .如圖,在等腰直角ABC的斜邊AB上任取兩點(diǎn)MN,使/MCN=45,記AM=m,MN=n,BN=kM猜測：以nn、k為邊長的三角形的形狀是在以下括號(hào)中選擇.銳角三角形；鈍角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等邊三角形C2 .請(qǐng)閱讀以下材料：如圖所示,在RtABC中,/BAC=90,AB=AC,點(diǎn)D,E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn),假設(shè)/DAE=45,探究BD,DE,EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90.,得到AEB,連接ED,使

9、問題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決以下問題：1猜測BD,DE,EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系,并對(duì)你的猜測給予證實(shí)；2當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖所示,其他條件不變,1中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜測并給予證實(shí).【典型例題2】如圖,正方形ABCM邊長為1,AB,AD上各有一點(diǎn)P,Q,如果APQ勺周長為2,求/PCQ的度數(shù).DC【對(duì)點(diǎn)演練2】1 .如圖1,在正方形ABC邛,點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且滿足/EAF=45,連接EF,求證：DE+BF=EF.(1)感悟以下解題方法,并完成填空：將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABG此日AB與

10、AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE,/1=/2,/ABGWD=90,/ABG吆ABF=90+90=180.因此,點(diǎn)G,B,F在同一條直線上.,./EAF=45./2+/3=/BAD/EAF=90-45=45Z1=Z2-.Z1+73=45,即/GAFN.又AG=AE,AF=AF.GA障=EF,故DE+BF=EF(2)方法遷移：如圖2,將RtABC沿斜邊翻折得到ADC點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且/EAF=1/2/DAB試彳#想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系,并證實(shí)你的猜測.2 .在ABC中,AB=AC,/ABC=90,D為AC中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AD上的一點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)A.點(diǎn)D不重合),連接BP.將4ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)“角(0a180),得到AiBiP,連接ABi、BB如圖,當(dāng)0“90,在a角變化過程中,請(qǐng)證實(shí)/PAA=/PBB.(2)如圖,直線AA1與直線PR