概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)大題類型0：古典概率（10頁(yè)，例子）排列和組合的區(qū)別一：全概率公式和貝葉斯公式（14頁(yè)）例：某廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1，各車間產(chǎn)品的不合格率依次為8，9%, 12% 。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格產(chǎn)品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。解：設(shè)A1，A2，A3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品不合格，則A1，A2，A3為一個(gè)完備事件組。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)0.08，P(B| A2)0.09，P(B| A3)0.12。由全概率公式

2、P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09由貝葉斯公式：P(A1| B)P(A1B)/P(B) = 4/9練習(xí)：市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨，其供應(yīng)量第一廠家為第二廠家的2倍，第二、三兩廠家相等，而且第一、二、三廠家的次品率依次為2，2，4 。若在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)買一件商品為次品，問(wèn)該件商品是第一廠家生產(chǎn)的概率是多少？ 練習(xí)：設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件，第一箱裝50件，有10件一等品，第二箱裝30件，有18件一等品，先從兩箱中任挑一箱，再?gòu)拇讼渲星昂蟛环呕氐厝稳?個(gè)零件，求：（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是

3、一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。解：設(shè)事件=從第i箱取的零件，=第i次取的零件是一等品（1）P()=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,則P(|)= 0.485二、連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題（期望（76頁(yè)），方差（82頁(yè)），分布函數(shù)（41頁(yè)），概率和參數(shù)求法（37頁(yè)）（第二章，第三章）例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求：（1）常數(shù)；（2）EX；(3)P1<X<3；（4）X的分布函數(shù)F(x) 解：(1)由得到1/2(2) (3)(4)當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)0x<2時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=1故練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為且E(X)=7/12。求：（1）a ,

4、 b ；（2）X的分布函數(shù)F(x) （3）P-1<X<0.5練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求：（1）X的分布函數(shù)F(x) ；（2）P0.3<X<2三、離散型隨機(jī)變量和分布函數(shù)（期望，方差，分布函數(shù)，概率，參數(shù)求法）例：設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為： , 則X的概率分布為（ ）。分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機(jī)變量 答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,寫出其分布函數(shù)F(x)。 當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)=0; 當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)(x)

5、=0.2; 當(dāng)2x3時(shí)，F(xiàn)(x)=0.5;當(dāng)3x時(shí)，F(xiàn)(x)=1 四、二維連續(xù)型隨機(jī)向量（未知參數(shù)求法，邊緣概率，獨(dú)立性，聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度的關(guān)系，某個(gè)區(qū)間的概率）例：設(shè)與相互獨(dú)立，且服從的指數(shù)分布，服從的指數(shù)分布.（1）聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)；（2）；（3）在取值的概率。解:（1）依題知 所以聯(lián)合概率密度為當(dāng)時(shí)，有所以聯(lián)合分布函數(shù) （2）； （3）練習(xí)：設(shè)二元隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度是求：（1）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)f X(x)；（2）PX50，Y50五、二維離散型隨機(jī)向量（邊緣分布，獨(dú)立性，聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，函數(shù)的分布求法）（重點(diǎn)：書(shū)里例題）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，

6、下表列出了二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其他數(shù)值填入表中的空白處。 答案： 六、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)（86頁(yè)），期望（80頁(yè)）和方差（84頁(yè)）的性質(zhì)（公式）例：已知隨機(jī)向量（X,Y）的協(xié)差矩陣V為計(jì)算隨機(jī)向量（XY, XY）的協(xié)差矩陣解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(XY)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1COV（XY, XY）=DX-DY=-5故（XY, XY）的協(xié)差矩陣練習(xí)：隨機(jī)向量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為計(jì)算隨機(jī)向量（9XY

7、, XY）的協(xié)差矩陣解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y91+2E(XY)= EXE Y12D(9XY)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=8112181222D(XY)= DX + DY 2 COV(X,Y)=1221222COV（9XY, XY）=9DX-DY8 COV(X,Y)= 91281222然后寫出它們的矩陣形式（略）七、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)（離散型（所有函數(shù)都會(huì)求，特別MAX，MIN函數(shù)）和連續(xù)型（簡(jiǎn)單函數(shù)會(huì)求）（63頁(yè)）重點(diǎn)：書(shū)里相應(yīng)例題。例：設(shè)XU(0,2),則Y=在(0,4)內(nèi)的概率密度（ ）。 答案 填：解：XU(0,2) ， ，求導(dǎo)出= （）練習(xí)：設(shè)隨機(jī)

8、變量X在區(qū)間1，2上服從均勻分布，求Y=的概率密度f(wàn)(y)。答案：當(dāng)時(shí)，f(y)=，當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí)，f(y)=0.八、中心極限定理（109頁(yè)）(正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化（101頁(yè)），及其可加性公式（105頁(yè)）)例：設(shè)對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地發(fā)射400發(fā)炮彈，已知每一發(fā)炮彈地命中率等于0.2。請(qǐng)用中心極限定理計(jì)算命中60發(fā)到100發(fā)的概率。解：設(shè)X表示400發(fā)炮彈的命中顆數(shù)，則X服從B(400,0.2),EX=80，DX=64,由中心極限定理：X服從正態(tài)分布N(80,64)P60<X<100=P-2.5<(X-80)/8<2.5=2(2.5)10.9876練習(xí)：袋裝食鹽，每袋凈重為隨

9、機(jī)變量，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝100袋，求一箱食鹽凈重超過(guò)50250克的概率。九、最大似然估計(jì)（148頁(yè)），矩估計(jì)法（146頁(yè)）（書(shū)本）例：設(shè)總體X的概率密度為 其中未知參數(shù)，是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求的估計(jì)量。解：設(shè)似然函數(shù)對(duì)此式取對(duì)數(shù)，即：且令可得，此即的極大似然估計(jì)量。例：設(shè)總體的概率密度為 據(jù)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。解：由得總體的樣本的似然函數(shù) 再取對(duì)數(shù)得： 再求對(duì)的導(dǎo)數(shù)：令，得所以未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量為。練習(xí)：設(shè)總體X的密度函數(shù)為X1,X2,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)的最大似然估計(jì)。十、無(wú)偏性和有

10、效性（153頁(yè)，154頁(yè)）十、區(qū)間估計(jì)（書(shū)本）總體X服從正態(tài)分布N(,2), X1,X2,Xn為X的一個(gè)樣本 1：2已知,求的置信度為1-置信區(qū)間2：2未知,求的置信度為1-置信區(qū)3：求2置信度為1-的置信區(qū)間例：設(shè)某校學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽查10名女生，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下： 。求該校女生平均身高的95的置信區(qū)間。解： ,由樣本數(shù)據(jù)得查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95的置信區(qū)間為例：從總體X服從正態(tài)分布N(，2)中抽取容量為10的一個(gè)樣本，樣本方差S20.07,試求總體方差2的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：因?yàn)?所以的95%的置信區(qū)間為:, 其中S

11、20.07, ,所以=（0.033,0.233）例：已知某種材料的抗壓強(qiáng)度, 現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn), 測(cè)得數(shù)據(jù)如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1)求平均抗壓強(qiáng)度的點(diǎn)估計(jì)值;(2)求平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間;(3)若已知=30, 求平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間;(4)求的點(diǎn)估計(jì)值;(5)求的95%的置信區(qū)間;解: (1)0(2) 因?yàn)? 故參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間是:, 經(jīng)計(jì)算,s = 35.276, n =10,查自由度為9的分位數(shù)表得, ,故=432.30, 482.70(3) 若已知

12、=30, 則平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間為:=438.90,476.09(4) =S2=1 240.28(5) 因?yàn)?所以的95%的置信區(qū)間為:,其中S2=1 240.28, ,所以=586.79,4134.27十一、假設(shè)檢驗(yàn)（書(shū)本）1 已知方差2,關(guān)于期望的假設(shè)檢驗(yàn)2 未知方差2,關(guān)于期望的假設(shè)檢驗(yàn)3 未知期望,關(guān)于方差2的假設(shè)檢驗(yàn)例：已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112),現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水，含碳量平均數(shù)，樣本方差S 20.0169。若總體方差沒(méi)有變化，即20.121，問(wèn)總體均值有無(wú)顯著變化？（0.05）解：原假設(shè)H0：4.55統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0成立時(shí)，U服從N（

13、0，1）對(duì)于0.05，U0.025=1.96故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值有顯著變化練習(xí)：某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長(zhǎng)服從正態(tài)分布，均值為0.13厘米。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測(cè)量后得厘米，S=0.016厘米。問(wèn)該日生產(chǎn)得零件得平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣？（0.05）例：設(shè)某廠生產(chǎn)的一種鋼索, 其斷裂強(qiáng)度kg/cm2服從正態(tài)分布. 從中選取一個(gè)容量為9的樣本, 得 kg/cm2. 能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800 kg/cm2 ().解： H0：u=800.采用統(tǒng)計(jì)量U=其中=40, u0=800, n=9, ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得=1.96|U |=,| U

14、 |<, 應(yīng)接受原假設(shè),即可以認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800kg/cm2.練習(xí)：某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽出10段檢查其折斷力，測(cè)后經(jīng)計(jì)算： 。假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力方差為16？（0.1）十二、證明題：例：總體, 其中是未知參數(shù), 又為取自該總體的樣本,為樣本均值. 證明: 是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì). 證明: 因?yàn)?, 故是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì).例：設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量, , 證明: 不是的無(wú)偏估計(jì)量.證明：因?yàn)槭菂?shù)的無(wú)偏估計(jì)量，所以，, 即,故 不是的無(wú)偏估計(jì)量. 其它證明題見(jiàn)同步練習(xí)46頁(yè)五、50頁(yè)五、十三、其它題目例：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間2，5上服從均勻分布，求對(duì)X進(jìn)行的三次獨(dú)立觀測(cè)中，至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率。解：P(X3)=d= , 則所求概率即為練習(xí)：設(shè)測(cè)量誤差XN(0，100)，求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精確到0.01）。解：由于XN(0，100)，則P(|X|19.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且顯然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y 2)=1-設(shè)l= np =100×0.05=5，且YP(5),