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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)大題類型0:古典概率(10頁(yè),例子)排列和組合的區(qū)別一:全概率公式和貝葉斯公式(14頁(yè))例:某廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量之比為3:2:1,各車間產(chǎn)品的不合格率依次為8,9%, 12% 。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格產(chǎn)品的概率;(2)若取到的是不合格品,求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。解:設(shè)A1,A2,A3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn),B表示產(chǎn)品不合格,則A1,A2,A3為一個(gè)完備事件組。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)0.08,P(B| A2)0.09,P(B| A3)0.12。由全概率公式
2、P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09由貝葉斯公式:P(A1| B)P(A1B)/P(B) = 4/9練習(xí):市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨,其供應(yīng)量第一廠家為第二廠家的2倍,第二、三兩廠家相等,而且第一、二、三廠家的次品率依次為2,2,4 。若在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)買一件商品為次品,問(wèn)該件商品是第一廠家生產(chǎn)的概率是多少? 練習(xí):設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件,第一箱裝50件,有10件一等品,第二箱裝30件,有18件一等品,先從兩箱中任挑一箱,再?gòu)拇讼渲星昂蟛环呕氐厝稳?個(gè)零件,求:(1)取出的零件是一等品的概率;(2)在先取的是
3、一等品的條件下,后取的仍是一等品的條件概率。解:設(shè)事件=從第i箱取的零件,=第i次取的零件是一等品(1)P()=P()P(|)+P()P(|)=(2)P()=,則P(|)= 0.485二、連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題(期望(76頁(yè)),方差(82頁(yè)),分布函數(shù)(41頁(yè)),概率和參數(shù)求法(37頁(yè))(第二章,第三章)例:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求:(1)常數(shù);(2)EX;(3)P1<X<3;(4)X的分布函數(shù)F(x) 解:(1)由得到1/2(2) (3)(4)當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)0x<2時(shí),當(dāng)x2時(shí),F(xiàn)(x)=1故練習(xí):已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為且E(X)=7/12。求:(1)a ,
4、 b ;(2)X的分布函數(shù)F(x) (3)P-1<X<0.5練習(xí):已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求:(1)X的分布函數(shù)F(x) ;(2)P0.3<X<2三、離散型隨機(jī)變量和分布函數(shù)(期望,方差,分布函數(shù),概率,參數(shù)求法)例:設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為: , 則X的概率分布為( )。分析:其分布函數(shù)的圖形是階梯形,故x是離散型的隨機(jī)變量 答案: P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,寫出其分布函數(shù)F(x)。 當(dāng)x1時(shí),F(xiàn)(x)=0; 當(dāng)1x2時(shí),F(xiàn)(x)
5、=0.2; 當(dāng)2x3時(shí),F(xiàn)(x)=0.5;當(dāng)3x時(shí),F(xiàn)(x)=1 四、二維連續(xù)型隨機(jī)向量(未知參數(shù)求法,邊緣概率,獨(dú)立性,聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度的關(guān)系,某個(gè)區(qū)間的概率)例:設(shè)與相互獨(dú)立,且服從的指數(shù)分布,服從的指數(shù)分布.(1)聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù);(2);(3)在取值的概率。解:(1)依題知 所以聯(lián)合概率密度為當(dāng)時(shí),有所以聯(lián)合分布函數(shù) (2); (3)練習(xí):設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度是求:(1)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)f X(x);(2)PX50,Y50五、二維離散型隨機(jī)向量(邊緣分布,獨(dú)立性,聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系,函數(shù)的分布求法)(重點(diǎn):書(shū)里例題)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,
6、下表列出了二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其他數(shù)值填入表中的空白處。 答案: 六、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)(86頁(yè)),期望(80頁(yè))和方差(84頁(yè))的性質(zhì)(公式)例:已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)差矩陣V為計(jì)算隨機(jī)向量(XY, XY)的協(xié)差矩陣解:DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(XY)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1COV(XY, XY)=DX-DY=-5故(XY, XY)的協(xié)差矩陣練習(xí):隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,均值向量及協(xié)差矩陣分別為計(jì)算隨機(jī)向量(9XY
7、, XY)的協(xié)差矩陣解:E(9X+Y)= 9EX+ E Y91+2E(XY)= EXE Y12D(9XY)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=8112181222D(XY)= DX + DY 2 COV(X,Y)=1221222COV(9XY, XY)=9DX-DY8 COV(X,Y)= 91281222然后寫出它們的矩陣形式(略)七、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)(離散型(所有函數(shù)都會(huì)求,特別MAX,MIN函數(shù))和連續(xù)型(簡(jiǎn)單函數(shù)會(huì)求)(63頁(yè))重點(diǎn):書(shū)里相應(yīng)例題。例:設(shè)XU(0,2),則Y=在(0,4)內(nèi)的概率密度( )。 答案 填:解:XU(0,2) , ,求導(dǎo)出= ()練習(xí):設(shè)隨機(jī)
8、變量X在區(qū)間1,2上服從均勻分布,求Y=的概率密度f(wàn)(y)。答案:當(dāng)時(shí),f(y)=,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí),f(y)=0.八、中心極限定理(109頁(yè))(正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化(101頁(yè)),及其可加性公式(105頁(yè)))例:設(shè)對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地發(fā)射400發(fā)炮彈,已知每一發(fā)炮彈地命中率等于0.2。請(qǐng)用中心極限定理計(jì)算命中60發(fā)到100發(fā)的概率。解:設(shè)X表示400發(fā)炮彈的命中顆數(shù),則X服從B(400,0.2),EX=80,DX=64,由中心極限定理:X服從正態(tài)分布N(80,64)P60<X<100=P-2.5<(X-80)/8<2.5=2(2.5)10.9876練習(xí):袋裝食鹽,每袋凈重為隨
9、機(jī)變量,規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為500克,標(biāo)準(zhǔn)差為10克,一箱內(nèi)裝100袋,求一箱食鹽凈重超過(guò)50250克的概率。九、最大似然估計(jì)(148頁(yè)),矩估計(jì)法(146頁(yè))(書(shū)本)例:設(shè)總體X的概率密度為 其中未知參數(shù),是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,用極大似然估計(jì)法求的估計(jì)量。解:設(shè)似然函數(shù)對(duì)此式取對(duì)數(shù),即:且令可得,此即的極大似然估計(jì)量。例:設(shè)總體的概率密度為 據(jù)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。解:由得總體的樣本的似然函數(shù) 再取對(duì)數(shù)得: 再求對(duì)的導(dǎo)數(shù):令,得所以未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量為。練習(xí):設(shè)總體X的密度函數(shù)為X1,X2,Xn是取自總體X的一組樣本,求參數(shù)的最大似然估計(jì)。十、無(wú)偏性和有
10、效性(153頁(yè),154頁(yè))十、區(qū)間估計(jì)(書(shū)本)總體X服從正態(tài)分布N(,2), X1,X2,Xn為X的一個(gè)樣本 1:2已知,求的置信度為1-置信區(qū)間2:2未知,求的置信度為1-置信區(qū)3:求2置信度為1-的置信區(qū)間例:設(shè)某校學(xué)生的身高服從正態(tài)分布,今從該校某班中隨機(jī)抽查10名女生,測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下: 。求該校女生平均身高的95的置信區(qū)間。解: ,由樣本數(shù)據(jù)得查表得:t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95的置信區(qū)間為例:從總體X服從正態(tài)分布N(,2)中抽取容量為10的一個(gè)樣本,樣本方差S20.07,試求總體方差2的置信度為0.95的置信區(qū)間。解:因?yàn)?所以的95%的置信區(qū)間為:, 其中S
11、20.07, ,所以=(0.033,0.233)例:已知某種材料的抗壓強(qiáng)度, 現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn), 測(cè)得數(shù)據(jù)如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1)求平均抗壓強(qiáng)度的點(diǎn)估計(jì)值;(2)求平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間;(3)若已知=30, 求平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間;(4)求的點(diǎn)估計(jì)值;(5)求的95%的置信區(qū)間;解: (1)0(2) 因?yàn)? 故參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間是:, 經(jīng)計(jì)算,s = 35.276, n =10,查自由度為9的分位數(shù)表得, ,故=432.30, 482.70(3) 若已知
12、=30, 則平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間為:=438.90,476.09(4) =S2=1 240.28(5) 因?yàn)?所以的95%的置信區(qū)間為:,其中S2=1 240.28, ,所以=586.79,4134.27十一、假設(shè)檢驗(yàn)(書(shū)本)1 已知方差2,關(guān)于期望的假設(shè)檢驗(yàn)2 未知方差2,關(guān)于期望的假設(shè)檢驗(yàn)3 未知期望,關(guān)于方差2的假設(shè)檢驗(yàn)例:已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112),現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水,含碳量平均數(shù),樣本方差S 20.0169。若總體方差沒(méi)有變化,即20.121,問(wèn)總體均值有無(wú)顯著變化?(0.05)解:原假設(shè)H0:4.55統(tǒng)計(jì)量,當(dāng)H0成立時(shí),U服從N(
13、0,1)對(duì)于0.05,U0.025=1.96故拒絕原假設(shè),即認(rèn)為總體均值有顯著變化練習(xí):某廠生產(chǎn)某種零件,在正常生產(chǎn)的情況下,這種零件的軸長(zhǎng)服從正態(tài)分布,均值為0.13厘米。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件,測(cè)量后得厘米,S=0.016厘米。問(wèn)該日生產(chǎn)得零件得平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣?(0.05)例:設(shè)某廠生產(chǎn)的一種鋼索, 其斷裂強(qiáng)度kg/cm2服從正態(tài)分布. 從中選取一個(gè)容量為9的樣本, 得 kg/cm2. 能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800 kg/cm2 ().解: H0:u=800.采用統(tǒng)計(jì)量U=其中=40, u0=800, n=9, ,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得=1.96|U |=,| U
14、 |<, 應(yīng)接受原假設(shè),即可以認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800kg/cm2.練習(xí):某廠生產(chǎn)銅絲,生產(chǎn)一向穩(wěn)定?,F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽出10段檢查其折斷力,測(cè)后經(jīng)計(jì)算: 。假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布,問(wèn)是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力方差為16?(0.1)十二、證明題:例:總體, 其中是未知參數(shù), 又為取自該總體的樣本,為樣本均值. 證明: 是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì). 證明: 因?yàn)?, 故是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì).例:設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量, , 證明: 不是的無(wú)偏估計(jì)量.證明:因?yàn)槭菂?shù)的無(wú)偏估計(jì)量,所以,, 即,故 不是的無(wú)偏估計(jì)量. 其它證明題見(jiàn)同步練習(xí)46頁(yè)五、50頁(yè)五、十三、其它題目例:設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間2,5上服從均勻分布,求對(duì)X進(jìn)行的三次獨(dú)立觀測(cè)中,至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率。解:P(X3)=d= , 則所求概率即為練習(xí):設(shè)測(cè)量誤差XN(0,100),求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率,并用泊松分布求其近似值(精確到0.01)。解:由于XN(0,100),則P(|X|19.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且顯然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y 2)=1-設(shè)l= np =100×0.05=5,且YP(5),
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