無窮級數(shù)練習(xí)題

1、、填空題1、設(shè)幕級數(shù)2、幕級數(shù)3、幕級數(shù)4、幕級數(shù)5、級數(shù)n6、級數(shù)7、8、a0無窮級數(shù)習(xí)題anxn的收斂半徑為3,那么幕級數(shù)nan(x 1)n 1的收斂區(qū)間為0n 1(2n1)xn的收斂域為01x2n1的收斂半徑Rxn的收斂域是 on 11甘的收斂域為皿的和為n 02nn(|)n1n 12設(shè)函數(shù)f(x)x x2 (x)的傅里葉級數(shù)展開式為(an cosnx2 n 1bn sinnx),那么其系數(shù)b3的值為9、設(shè)函數(shù)f(x)1,2x ,X 0,那么其以2為周期的傅里葉級數(shù)在點x處的斂于10、級數(shù)的和1 n(n 1)( n 2)11、級數(shù)的收斂域為。n 1n 4n參考答案：1、(2,4)2、 (

2、 1,1)3、R 34、22126、7、48、9、-10、2 ln332n2n1,1)二、選擇題5、(0,4 )11、(0,4 )1、設(shè)常數(shù)0，而級數(shù)a：收斂，那么級數(shù)n 1。A丨發(fā)散 B條件收斂C絕對收斂D收斂與 有關(guān)an |ananan2、設(shè) Pn,qn-,n 1.2，那么以下命題中正確的選項是22A丨假設(shè)an條件收斂，那么Pn與 qn都收斂。n 1n 1n 1B丨假設(shè)an絕對收斂，那么pn與 qn都收斂。n 1n 1n 1C假設(shè)an條件收斂，那么pn與 qn的斂散性都不一定。n 1n 1n 1D丨假設(shè)an絕對收斂，那么pn與 qn的斂散性都不定。n 1n 1n 13、設(shè)an0,n 1,2

3、假設(shè)an發(fā)散，1n 1an收斂，那么以下結(jié)論正確的選項是n 1n 1 丨。aa2n 1收斂，a2n發(fā)散Ba2n收斂，a2n 1發(fā)散N 1n 1n 1n 1C(a2n 1n 1a2n收斂.D( a2n 1n 1a2n)收斂.4、設(shè)為常數(shù)，那么級數(shù)sinnn 1n加是A絕對收斂.B丨條件收斂.c發(fā)散.D收斂性與取值有關(guān)5、級數(shù)(1)n 1n(1cos常數(shù)nA0是A發(fā)散.E3條件收斂.c絕對收斂.D丨收斂性與， 亠 、/ 有關(guān).16、設(shè) Un 1nln1丁，那么級數(shù)Aun 與u；都收斂.BUn與U；都發(fā)散n 1n 1n 1n 17、級數(shù)(1)n 1an2,a2n 15，那么級數(shù)an等于n 1n 1n

4、 1A3. B7.C8.D9.& 設(shè)函數(shù) f(x) x2(0 x1)，而C Un收斂而u2發(fā)散.n 1n 0D un發(fā)散而 u2收斂.n 1n 1S(x)bn sinn x ,n 11其中 02 0 f(x)sin n xdx, nA9、設(shè) f( x)111BCD4 .4 .2 .10 xx,2aS(x)an cosn x，2 2x,1x12n 12S，那么S( £)等于。1其中 an 2 f (x)cosn0xdx (n 0,1,2,)那么S(斗等于r、1133A一.B.C 一.D2244A( 1)叫B1u；n 1nnn 110、設(shè)級數(shù)n收斂，那么必收斂的級數(shù)為n 1D (

5、UnUn 1).n 111、級數(shù)(1)n 1an2，a2n 1 5，那么級數(shù)an等于n 1n 1n 1A3. B7.C8.D9.C (u2n 1 U2n).n 112、假設(shè)級數(shù)an收斂，那么級數(shù)n 1Aan收斂.n 1b( 1)nan 收斂.n 1anan 1 收斂Dn 113、假設(shè)an(x 1)n在x 1處收斂，那么此級數(shù)在 x 2處。14、設(shè)幕級數(shù)anxn與bnxn的收斂半徑分別為n 0n 1-5與-，那么幕級數(shù)離£的收斂半33n 1 bn徑為A5.D1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA參考答案:三、解答題1、設(shè)f(x)在點x 0的某一鄰域內(nèi)具有二階連

6、續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f ( x)00寧0，證明級數(shù)1f (丄)絕對收斂。 n 1 n【分析一】lim丄x 0 x0說明x 0時f (x)是比x高階的無窮小，假設(shè)能進一步確定f ( X )是x的p階或高于p階的無窮小,1 一 1p 1，從而f (-)也是-的p階或高于p階n的無窮小，這就證明了1f( _)絕對收斂。nf ( x)【證明一】由lim0及f(x)的連續(xù)性X 0 xx 0鄰域有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及洛必達法那么.f(x) f (x) lim 2 lim x 0 x x 0 2xf(0 )0, f (0 )0。再由 f(x)在limf (x)x 011f(0)(0 )由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系limxf(

7、1)n£2n1-|f(0)1f()絕對收斂。n1()n是否收斂?n i an 12、設(shè)正項數(shù)列an單調(diào)減小，且1nan發(fā)散，試問級數(shù)n 1【分析與求解】因 an單調(diào)下降有下界0極限lim ana 0。假設(shè)a 0，由萊x布尼茲法那么，并錯級數(shù)1nan收斂，與假設(shè)矛盾，于是a 0。n 11現(xiàn)在對正項級數(shù)n可用根值判別法：因為n 1 an 而一發(fā)散,n 1 n嚴孑嚴d & 1，所以原級數(shù)收斂。3、求幕級數(shù)nn13n 2收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點處的收斂性?！痉治雠c求解】直接用求收斂半徑的公式,先求nlim3n ( 2)nlimn3(1于是收斂半徑R 3，收斂區(qū)間為3,3).當(dāng)x 3

8、時是正項級數(shù):3n13n(2)n_323n (2)n1n丄發(fā)散，即13 2 n3nnx 3時原幕級數(shù)發(fā)散。3時是變號級數(shù)，我們用分解法討論它的斂發(fā)散。3n1(1)n(3n(2)n ( 2)n 13n ( 2)n n3n(2)nn(1)n2n 1n3n(2)n nlimnn丄2 1 3n (2)nnlimn3n3n ( 2)n20,(-)n 收斂,n 1 32nn 13n (2)原幕級數(shù)收斂。4、 1驗證函數(shù)y(x)x33!x66!2利用1的結(jié)果求幕級數(shù)【分析與求解】1首先驗證該幕級數(shù)的收斂區(qū)間是原級數(shù)3nXn o (3n)!tnn o (3n)!由 limn(3(n1)!1(3n)!limn，

9、從而其次,x3n3n3n ( 2)n n1收斂，即x 3時(3n)!滿足微分方程3nxo(3n)!的和函數(shù)。.這是缺項幕級數(shù)，令t0(3n 3)(3n 2)( 3n 1)時原級數(shù)收斂。在收斂區(qū)間內(nèi)對幕級數(shù)可以逐項求導(dǎo)任意次，這里要求逐項求導(dǎo)兩次:3n 1 y(x) n1 盂，y(x)3n 2xn 1 (3 n2)!y(x) y(x)y(x)x3，那么).3n 2Xn 1(3n 2)!3n 1X1 (3n 1)!3nXo(3n)!級數(shù)的線性性質(zhì)x3n2n 1(3n 2)!3n 1x(3n 1)!x3n21 (x X2!3456(XXX) 4!5!6!n Xn 0 n!e (x).收斂級數(shù)與它任意

10、添加括號后的級數(shù)有相同的和3n2因為幕級數(shù)的和函數(shù)y( x)滿足微分方程n 0 (3n)!xy y y e又知y(0 ) 1,y(0)0.該方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為1 0.所以為求y( x)只須解二階線性常系數(shù)微分方程的初值問題+相應(yīng)齊次方程的通解為1 3.-i2 2y egcos三 x CzSin三 x).2 2設(shè)非齊次方程的一個特解為y Aex，代入方程得3Aex非齊次方程的通解為xe 2(Ci3cos x2心)令x 0 ,由初始條件y(0)Ci1,0.Ciy(0)因此3nX0(3n)!y(x)2 -2e cos35、求幕級數(shù)(1)n 1(1n 11n(2n)x2n的收斂區(qū)間與和函數(shù)

11、1)f(x).【分析與求解】 這是缺項幕級數(shù)，令t X2,考察 antn，其中n 1an ( 1)n1(1 占).antn的收斂半徑為F面求和函數(shù):f1(x)1)n1x2nann2lim nnani.原幕級數(shù)收斂半徑為(1)n112(n 1)XX21,收斂區(qū)間為n 2n1) X1,1)。f2(X)n1)1n( 2n 1)2nX ，f2(X)2n 12j 1Uf2(x)2( 1)n 1x2(n 1n 121 x2(X1)注意 f2(0 )0, f2(0 )0 ,積分兩次得因此，f(x)f2(X)f2(X)f")x0 f2(t)dtX0 f2(t)dt2xarcta n xf2(x)6、

12、求級數(shù) (n 0n 121) n(n n【分析與求解】先將級數(shù)分解:A ( 1)訂 52n 02第二個級數(shù)是幾何級數(shù)，它的和x 122dt0 1 t2X2 arctan tdt02 arctan x,2x arcta n*dt1n(1 X2)(x 1).2X22 x arcta n1x 1n(1).1)的和。1)1)1(1)求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為幕級數(shù)求和，考察1)1r_x(x1)S(x)1)nn(n1)xn 1 2(1)nxnn 0(123(1 x)1)n( n 1)1 1歹 S(?)27因此原級數(shù)的和A -27322277、求級數(shù)n 2n 2 2 (n 1)的和?！痉治雠c求解】先用分解法將

13、原級數(shù)分解。丄(丄丄)2 2n 八 n 1 n 1 n2n “ 1)n22n1(n 1宀 AA2.1n(1 x)，即要熟記五個簡單函數(shù)的幕級數(shù)展開式，與此級數(shù)和有關(guān)的是1n(1 x)上 xnn 1 n(1 x 1).于是1 2n(1)n1(f)n1n(1丄)421(1)n1(PA(1)n1(1、n1)1 1()n 3n2n1n2 22 211151n (1-)-1n272288因此A A1A2531n2.84n 1n 2 2 (n 1)n32nn1 x&將函數(shù)f(x) arctan 展為x的幕級數(shù)。1 x【分析與求解】f(x)容易展開。f (x)1(1x) (1 x)(1)21<

14、rx)2x(1 x)2(1 x)2(1x)211 x2 '由11 t1 tt2(1)n丄nt (1)ntnn 0(t1)，得f (x)12 (八 n 2nz1)x(:x 1).x n 0x0 f(t)dtnx c(1)n 0t2ndt,0f(x)f(0)(1)n 2n 1Xn 0 2 n 14 n(1)nx2n10 2n 1且收斂區(qū)間不變，:當(dāng)x1時，式右端級數(shù)均收斂,1 而左端 f(x) arctan -x在x在幕級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分得1 x連續(xù)，在x1無定義，因此1arcta nn o 2n 1,x1,1)1 19、將函數(shù)f (x) 1n4【分析與求解】f( x)1 f (x

15、)1 x1-1 n(1 x)411arctan x x2丄 1n(141 1積分得展開成x的幕級數(shù)。x) arctan x2先求f (x)的展開式x21 121x221x2x44nx04nx1(x 1)f(x) f(0)xof(X)dXx .t4ndt0m4n 1(x1).10、設(shè) f(x)1 x2arcta nx,x 0 21,試將f(x)展開成x的幕級數(shù)，并求級數(shù)(1)nn 1 1 4n2的和。【分析與求解】關(guān)鍵是將arctanx展成幕級數(shù)，然后約去因子x，再乘上1 x2并化簡即可。直接將 arctan x展開辦不到，且(arctan x )易展開，即積分得(arcta nx)1 x1)n

16、x2n,x1,arcta n xx0 (arctan t) dtxn 2n1) 0 t2ndt(1)n 2n 1X°2n 1x 1,1 .因為右端級數(shù)在x 1成立。1時均收斂,arctan x在1連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點現(xiàn)將式兩邊同乘2x arcta n xx(1X2)n02n(1)1x2nUnn 0 2n 1(1)nx2n2n 0 2n 1(1)nx2n1o 2n上式右端當(dāng)x 0時取值為1，f(x)上式中令x 1(1)nn 1 1 4n21)n12n 1亠x2n2n 1(.11f(1)吟n,x4n2卑n,x11 R21,1,x 0.1,1.11、將函數(shù)f(x) 2x( 1 x

17、 1)展成以2為周期的傅里葉級數(shù)， 并由此求級數(shù)112的和。【分析與求解】按傅氏系數(shù)公式，先求f ( x )的傅氏系數(shù)an 與 bn °因f ( x)為偶函數(shù)bn 0(n 1,2,3 ).注意到an2 |f (x )cosl 014 cosn0xdx啟(1)naof(x)在f(x) 2xdx J 2 1(20x )cos ndx1120(2 x)dx1xd sin n04(2k 1)20,5.1,1分段單調(diào)，連續(xù)且 f( 1)21(2n1sin n02k 1,2k .xdx(n1,2，)f (1)，于是有傅氏展開式cos(2n1)1)x,x1,1 .為了求上式中令1(2 n 1)21

18、(2n現(xiàn)由丄2n 1 n1)2(2n)21(2n 1)214n12、將函數(shù)f(x)1(0x 2)展開成周期為4的余弦級數(shù)?！痉治雠c求解】這就是將f(x)作偶延拓后再作周期 4的周期延拓，于是得 f(x)的傅氏系數(shù)：bn 0(n1,2,3 ).ann x i 2 f ( x )cos dx= lnx220(x1)d sin2n(x 1)cos xdx2sin xdx242 cos x n21)n1)(2k0,2k 1,2k,k 1,2,3 2 2 f (x)dx2 020(x1)dx1)20.由于延拓后f (x)在2,2分段單調(diào)、連續(xù)且f( 1)f(1).于是f(x)有展開式f(x)8212 c

19、osn1(2 n 1)2(2n2-x,x0,2 .13、求幕級數(shù)n 13n (2)nxn的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端關(guān)處的收斂性。解：設(shè)an3n ( 2)n0,1,2，,limxan 1anlimx3n3n 1 ( 1)n2)n1 (n1)limx1( - )n1 1( 3)13 1 ( 2 )n 1 33收斂區(qū)間(3,3).3 時，an1發(fā)散2n3時,an3n (3n2)n n原級數(shù)在x 3處發(fā)散。12n3)n3n ( 2)n n(1)nn2n3n ( 2)n n0,n 1,2，,Vn 12n 13n ( 2)n2 1 ( 3)nV? 3n 1 ( 2 )n 1 ，n 3 1 ( 2)n i3

20、2nn 1 3n (2)n故原級數(shù)在x 3處收斂 收斂域內(nèi) 3,3).14、將函數(shù)f(x)2展開成x的幕級數(shù)。2 x x分析 先將f (x)分解成局部分式，再利用等比級數(shù)間接展開。解：f(x)n(2 x)(x 1),1尹，2 x 2,n 0 2(1)nxn, 1 x 1.n 0f(x)n n1) x2n1)x 1.1 2x15、將函數(shù)f(x) arctan展開成x的幕級數(shù)，并求級數(shù)1 2x(1)nn 0 2n 1的和。分析直接展開較困難，先將 f (X)展開，再遞項積分得出 f(x)的展開式f (x)(12(1 2x) 2(1 2x)2(12x)21 4x22n 2 nn n 2n 11(1)

21、 (4x )2( 1) 4 x , xn 0n 022xx of(x) f(0)0 f (t)dt ； 2( 1)n4n 0t2ndt4 n 03 4nx2n 1n 02n 1萊布尼茲判別法no£尹1 時，14)二2 n o2n 122n 12n(1)no2n 1收斂f(X) 4 Jo尋 4"1 12'21又 f(2) 4(1)nn o 2narcta nO 0(1)n n o 2n 1416、求幕級數(shù)(1)n1 2n 1X1 n(2n 1)的收斂域及和函數(shù)s(x).解：求收斂域，由于該幕級數(shù)缺項幕級數(shù)，那么直接用比值判別法求之，Un(x)(1)n1x2n 1n(2

22、 n 1),n1,2limXUn 1(X)Un( X)limXI 2n 3|xn(2n 1)2n 1(n 1)( 2n 1) x當(dāng)X21，即X 1時，原級數(shù)絕對收斂;當(dāng)X21,即X 1時，原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間是1,1.當(dāng)X 1時,(1)n1 n 1 n(2n一絕對收斂1n(2n 1)同理，當(dāng)x 1時，n(_1 絕對收斂,1 n(2 n 1)因此，該級數(shù)的收斂域為1,1S(x)(1)n1x2n1n 1 n(2n 1)x 1,1117、求幕級數(shù) (1)n 1(1)x2n (1)的收斂區(qū)間與和函數(shù) f ( x)。n 1n(2n 1)解：此級數(shù)(1)是缺項的幕級數(shù)令 Un(x

23、)( 1)n1(11 )xn1n(2n 1) 1xn(2n 1)n(2 n 1)2n,n1,2 ，打limn叫 1(X)Un(x)lim(n 1)(2n 1)1)n (n 1)( 2n 1) n(2n2x1) 1x2當(dāng)x21，即1時,級數(shù)(1 )絕對收斂;當(dāng)x21，即1時,級數(shù)(1)發(fā)散。級數(shù)(1)的收斂區(qū)間為(1,1)(1)nn 11(1n(2 n 1)2n)x(1)nn 11x2n12n一 x12n(2n 1)(1)n記 g(x)n 1 2n1) x2x2 ,1 x1,1)S(x)1)n 12n x1 2n(2n 1)(例7 )xarctamx如(1x2)f(x)g(x) 2S(x)2 2

24、 arctanx lin (1 x ),x ( 1,1) x18、 1討論級數(shù)5 nF 的斂散性,n 1 n2級數(shù)a2和b：都收斂，試證明級數(shù)n=1n 1anbn絕對斂。n 11解.Un 1Unn 1(n 2)! n(n 1)n 2 (n 1)!n(n 2)1(n 1)2 (11)nn(n(n 1)!n 1n 1 n收斂2證a2與b"都收斂n 1n 12 anbn收斂anbn收斂n 1n 1即xn絕對收斂。n 119、設(shè)有方程xn nx 1 0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正實根xn，并證明當(dāng) 1時，級數(shù) xn；收斂。n 1分析 1存在性用根的存在定理，唯一的性用函數(shù)的嚴格可

25、調(diào)性2用比擬判別法證明nxn收斂。1證們?nèi)?fn(x) xn nx 10，貝U fn(x)在0,1上連續(xù)，且fn(0)1 0,f(1) n 0(0,1)，使 f(Xn)0 ,又 fn(x) nxn 1 n 0,x0,fn(x)在0,上嚴格遞增方程nx 1 0存在唯一正實根xn(0,1).nXn1 0 且 Xn (0,1)，有n1 Xn xn-n丄(n1)1丄收斂1 nnn收斂。n 120、設(shè)antan nxdx.12試證：對任意常數(shù)級數(shù)並收斂。1 n1解直接求an an 2的表達式anan 2o4tan nxdx04ta nn2xdx；ta nnx(1 tan 2x)dx證由于因此21、求級數(shù)

26、0tannx sec2xdx:tannxd(tan x)1tan1ann 1 k(k 1)anan3n_n1n 1 n(n 1)1)tan nxdx丄dt0 1 t2&)1(n1tndt03)nn 1 n2(X的收斂域?！窘狻恳蛳禂?shù)a1,2),故因此當(dāng)1 x 3當(dāng)x 2時，得交錯級數(shù)tann ,nlimXan 1anarcta n tlimX2n(n 1)21.x 4時級數(shù)絕對收斂。1)12n當(dāng)x 4時，得正項級數(shù)n12，二者都收斂，n于是原級數(shù)的收斂域為2,422、函數(shù)f(x)假設(shè)02 x,假設(shè) 1X,2.試計算以下各題:2 s 0 f(x)exdx;4(2)$2 f(x 2)e x

27、dx;2n 2(3)So2n f(x2n )e xdx (n 2,3 );(4)sSn0【解】用分段積分法，1(1) So o xe xdx分部積分法和換元積分法，分別可得21 (2 x)exdxixe xdx02e xdx12e xdx1xxe1 xxe dx xe o2(2)S1x 2 t o f(t)e2dt e2(3 )snx 2n t o f(t )e2ndt(4)利用以上結(jié)果，有sSnn o2 2 xe dx1 12to f(t)e dte 2nSan2of(t)e(丄)no eS)e2 1eSotdtSeSo1e(12 e2nSd2ne2e Soe2 12g(e 1)2 ;e(e

28、 1)2e2123、設(shè)有兩條拋物線 ynx21 和 y (n 1)x2n記它們交點的橫坐標的絕對值為an。1求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn ；S2求級數(shù)n的和。n 1 an【解】1用Ln與Ln 1分別表示兩條拋物線21/八 21| 匕 |y nx 與 y (n 1)x丄n 與 Ln 1nn 1有兩個交點(an，yn)與(an,yn)，如圖5.2.令 nx2(n 1)x211容易求得an1，利用定積分還可求得兩nn 1Jn(n 1)拋物線圍成的平面圖形的面積。an2Sonx1 (n1)x2-dxannn12anan2x2dxan41n(n 1)3 n( n1),n(n 1).s 414

29、 11因為a 3冇3(n百)(n 1,2)，于是nSkSn-(-)(-31223A).n 1 anlimnn-lim(1 丄)-.3n n 1324、設(shè) I04 sinnxcosxdx,n 0,1,2,，求 In 0【解】由In4 sinnxd(sinx)-0n= (sinx)n1GT1，有In0令 s(x)xn 1，因其收斂半徑R 1，且 s(0 )1,1)內(nèi)有s(x)s(x)s(0)1 dt0 1 t1n(1x), 1 y xY 1.(1,1),即得1/2、n1川(£)1n(1 二)1n(2、2).2從而Inn 004si n'cosxdx2 一s(于)1n(2 .2).

30、25、fX)滿足fX)fn(x) xn 1ex n 為正整數(shù)，且 fn( 1)e，求函數(shù)項級數(shù)nfn(x)之和。n 1【解】由條件可知 fn(x)滿足一階線性微分方程fn(x) fn(x) xn 1ex,其通解為fn(x)X/ xe (nc).由條件fn(1)-，得n故 fn(X)n xx e.從而n記 s(x)nfn(X)s(x)故 s( x)s(0)其收斂域為1r xx0S(t)dt由 s( x)與 ln(1 x)在 x曰'當(dāng) 1 x 1時，有疋，fn(x)126、 1驗證函數(shù) y(x)3 x3!6 x6!(1)利用(1)的結(jié)果求幕級數(shù)【解】(1)因為幕級數(shù)y(x) 13 x3!的

31、收斂域是(y(x)2 x2!y (x)1,1),且S(0) 0,當(dāng)x (dt ln(1 x).01 t1,1)時,1的連續(xù)性知，上述和函數(shù)公式在x 1處也成立,e0x)9 x9!ex1n(1x).3nx /( x(3n)!)滿足微分方程3nx0(3 n)!的和函數(shù)。6 x6!9 x9!3nx因而可在()上逐項求導(dǎo)數(shù)，得5 x5!8x8!3n 1X(3n 1)!4xx 4!7 x7!3n 2X(3n 2)!y Aex，將y代入方程 y y y ex可得于是，方程通解為.3C cos x2C2s1y(0) 1 Ci -, 當(dāng)x 0時，有3_1 V3y (0) 0C1C22 2C13,C203n于是幕級數(shù)一的和函數(shù)為y(x)n 0(3n)!?es仝x丄ex(323x ).27、求幕級數(shù)2n1)n Jx