算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、如有你有幫助，請(qǐng)購(gòu)買下載，謝謝！典型例題一例1已知a,b,cwR,求證a2+b2+c2>ab+bc+ca.證明：a2+b2之2ab,b2c2_2bc,22c+a圭2ca,三式相加，得2.222.22.2(a+b+c)之2(ab+bc+ca),即a+b+c之a(chǎn)b+bc+ca.說(shuō)明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握.典型例題二例2已知a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：a(b2c2)b(a2c2)c(a2b2).6abc證明：b2+c2>2bc,a>0,a(b2c2).2abc同理可得：b(a2c2)2abc,c(a2b2)2abc.三個(gè)同向不等式相加，得222222_a(b+c)

2、+b(a+c)+c(a+b)>6abc說(shuō)明：此題中a、b、c互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)不成立.特別地，a=b,b#c時(shí)，所得不等式仍不取等號(hào).典型例題三例3求證Ja2+b2+v'b2+c2+Jc2+a2之M2(a+b+c).分析：此問(wèn)題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式a2+b21ab,并能由J2(a+b+c)這一特征，思索如何將a2+b2之2ab進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造”.證明：a2+b2>2ab,兩邊同加a2+b2得2(a2+b2)父(a+b)2.,，、22,2(ab)即a+b>-.2“a2+b22;|a+b(a+b).v1222同理可得：Vb2+c2>(b

3、+c),2三式相加即得va2+b2+yb2+c2+；c2+a22M2(a+b+c).典型例題四例4若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.解：a,bwR*,，ab=a+b+3之270b+3,令y=%：ab,得y22y3之0,.y之3,或yW-1(舍去).，y2=ab殳9,.ab的取值范圍是6,)說(shuō)明：本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤有二.一是沒(méi)有舍去y<-1；二是忘了還原，得出abw13,+望).前者和后者的問(wèn)題本源都是對(duì)Wb的理解，前者忽視了癡上0.后者錯(cuò)誤地將y2視為掠.因此，解題過(guò)程中若用換元法，一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之.典型例題五6,x21例5(1)求y=I

4、的最大值.x44(2)求函數(shù)y=x2+'的最小值，并求出取得最小值時(shí)的X值.X216 . x2 16 x2 1< 6 = .3.2、3(3)若x>QyA0,且x+y=2,求x2+y2的最小值.解：(1)y=-n=-7=x24(x21)3x2.1_3_.x21即y的最大值為V3.當(dāng)且僅當(dāng)收+1=3時(shí)即x2=2x=±J2時(shí)，取得此最大值.=x2 1y的最小值為3,當(dāng)且僅當(dāng)x21-1-24-1=3x21，=x2+1,即(x2+1=4,x2+1=2,x=±1x21時(shí)取得此最小值./2(3)，x2+y2>2xy2(x2+y2)>(x+y)2即x2+y2

5、>-(x-y)-22222<x+y=2.-x十y之2即x+y的最小值為2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)取得此最小值.說(shuō)明：解這類最值，要選好常用不等式，特別注意等號(hào)成立的條件.典型例題六一，一3例6求函數(shù)y=12x的最值.x分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件.如：x#0,應(yīng)分別對(duì)xA0,x<0兩種情況討論，如果忽視xwR+的條件，就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤:333y=1-2x一=1_(2x十)<1-2J2x一=1-26,ymax=1246.xx；x.一,一，3一3解：當(dāng)x>0時(shí)，2x>0,>0,又2x=6,xx當(dāng)且僅當(dāng)2x=3,即x=E

6、6時(shí)，函數(shù)2x+。有最小值26.x2xYmax=1-26.一,3一3當(dāng)x<0時(shí)，2x>0,>0,又(2x)()=6,xx363當(dāng)且僅當(dāng)2x=,即x=+時(shí)，函數(shù)(2x+)最小值2K6.x2xymin-126.典型例題七一,一、“，x210例7求函數(shù)y=x-的最值.x29，2一、分析:Y=(x9)1=.x29-12*x29x291，、，Y = x + 一在x 上 1時(shí)單倜遞增 x這一性質(zhì)，求函數(shù)1 , C、Y=t+；（t之3）的最值.但等號(hào)成立時(shí)x2=-8,這是矛盾的！于是我們運(yùn)用函數(shù)14頁(yè)解：設(shè)t=4x2+9*3,x2101當(dāng)t23時(shí)，函數(shù)y=t+-遞增.一一,110故原函數(shù)的

7、最小值為3+-=一,無(wú)最大值.33典型例題八x2»5一例8求函數(shù)y=的最小值.1, C、 ，一y = t+t（t之2）,再利用函數(shù)x24分析：用換元法，設(shè)t=4x2+4之2,原函數(shù)變形為,1y=t+t（t至2）的單調(diào)性可得結(jié)果.或用函數(shù)方程思想求解.解：解法一：設(shè)t = dx2 +4 >2,故 y =x2 5x2 41t -(t -2).t1t2 - 1t1t211設(shè)t2t1-2,y1-12=(t2)()=(t1-2)t1t2由t1tz<0,“2>2,得：“21>0,故：y1<y2一.，115.,.函數(shù)y=t十_（t之2）為增函數(shù)，從而y>2+-=

8、-t22解法二：設(shè)Jx2+4=t之2,知y=t+1（t主2）,可得關(guān)于t的二次方程t2yt+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系，得:垃2=1又t之2,故有一個(gè)根大于或等于2,25設(shè)函數(shù)f(t)=t-yt+1,則f(2)<0,即42y+1W0,故ya.x251說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)斛：y=f=nx+4+j222.要知道，x24x24Jx2+4=無(wú)實(shí)數(shù)解,即y#2,所以原函數(shù)的最小值不是2.錯(cuò)誤原因是忽視了,x24等號(hào)成立的條件.當(dāng)a、b為常數(shù)，且ab為定值，a¥b時(shí)，abxab,不能直接求最大（?。┲?，可2以利用恒等變形a+b=V（a-b）2+4ab,當(dāng)a-b之差最小時(shí)，再求原函數(shù)的最大（

9、?。┲?典型例題九ECCC4f1f1'一例9a>0,b>0,a+b=4,求a+i+b+-i的最小值.ka；<b,J分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值.22,、2斛：由a+b=4,得a+b=（a+b）_2ab=162ab.又a2+b2之2ab,得162ab之2ab,即ab<4.故 a + H+fb< a)12+-I的最小值是竺.b22 2b b -2-a說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解:22,11、f1、故a+一+b+-i<a)bbJ的最小值是8.錯(cuò)誤的原因是，在兩次用到重要不等式當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，有a=1和b=1,但在a+b=4的條件下，這

10、兩個(gè)式子不會(huì)同時(shí)取等號(hào)（a=1時(shí)，b=3）.排除錯(cuò)誤的辦法是看都取等號(hào)時(shí),與題設(shè)是否有矛盾.典型例題十例10已知：a,b,2R1求證：bc+ac+-ab>a+b+c.abc分析：根據(jù)題設(shè)，可想到利用重要不等式進(jìn)行證明.bcacabc2bcaco證明：一+>2J=2c,即一+>2c.ab-ababbcabacab同理：一一2b,2aacbc說(shuō)明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：（1）想利用三元重要不等式解決問(wèn)題；（2）不會(huì)利ab用重要不等式上上之Jab的變式；（3）不熟練證明輪換對(duì)稱不等式的常用方法.因此，在2證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu)，合理地選擇重要不等式.另外，本題的

11、證明方法在證輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性.典型例題十一例11設(shè)a、b、c、d、ewR,且a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.22分析：如何將a+b與a+b用不等式的形式聯(lián)系起來(lái)，是本題獲解的關(guān)鍵.算術(shù)平1O均數(shù)與幾何平均數(shù)定理a2+b2之2ab兩邊同加a2+b2之后得a2+b2>-（a+b）2.2212斛：由a+b之/(a+b),則有說(shuō)明：常有以下錯(cuò)解：16e2=a2+b2+c2+d2>2(ab+cd)之4Jabcd,8e=a+b+c+d>44/abcd.,(16-e2)28-e4u故>abcd,()>abcd.4242兩

12、式相除且開(kāi)方得16e9>1=>0<e<.(8-e)2541錯(cuò)因是兩不等式相除，如2>1,1a,相除則有2>2.22212不等式a2+b2(a+b)2是解決從“和”到“積”的形式.從“和”到“積”怎么辦呢?有以下變形：a2+b2>(a+b)2或Ja型L主(a+b).2.22典型例題十二22例12已知：x>y>0,且：xy=1,求證：-y22，2,并且求等號(hào)成立的條x-y件.分析：由已知條件x,yWR+,可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有x-y,(x-y)(x-y)無(wú)法利用x+y2jxy,故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形，看能否出現(xiàn)型，再

13、行論證.證明：丫xay>0,，x-y>0.又丫xy=1,，2等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)(x-y)=時(shí).(x-y)6，2.6一，：2由以上得x二,y=22'62'6-2即當(dāng)x=,y=時(shí)等號(hào)成立.22說(shuō)明：本題是基本題型的變形題.在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式,這容易形成思維定式.本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式.要注意靈活運(yùn)用均值不等式.典型例題十三例13已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.30-x分析：由x+2y+xy=30,可得，y=,(0<x<30)2x,30x-x230x-x2故

14、xy=(0<x<30)，令t=-2x2x利用判別式法可求得t(即xy)的最大值，但因?yàn)閤有范圍0<x<30的限制，還必須綜合韋達(dá)定理展開(kāi)討論.僅用判別式是不夠的，因而有一定的麻煩，下面轉(zhuǎn)用基本不等式求解.30-x解法一：由x+2y+xy=30,可得，y=3°-(0<x<30).2x注意至U(x+2)+-6>2/'(x+2)-6=16.x2,x2可得，xy<18.64一當(dāng)且僅當(dāng)x+2=石，即x=6時(shí)等號(hào)成立，代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值為18.解法二：二x,yWR+,x+2y>22xy=2V2Jxy,代

15、入x+2y+xy=30中得：2&jxy+xyE30解此不等式得0WxyW18.下面解法見(jiàn)解法一，下略.說(shuō)明：解法一的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二則是抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，所以解得更為簡(jiǎn)捷.典型例題十四例14若a、b、MR+,且a+b+c=1,求證：11-1-11-1|>8.abc分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式11-ab-c2bc所得三個(gè)“2”連乘而來(lái)，而'1=a=bc至仝變.aaaa證明：”-1=3=W，又a>0,b>0,c>0,aaabc2bc口h1-a2bc二>,即>.aaaa1.

16、2.ca問(wèn)理一-1_bb1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，等號(hào)成立.3說(shuō)明：本題巧妙利用a+b+c=1的條件，同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于a、b、c的輪換式.典型例題十五例15設(shè)a、b、cer求證：va2+b2+db2+c2+cc+a2AJ2(a+b+c).分析：本題的難點(diǎn)在于Va2+b2、Vb2+c2、Jc2+a2不易處理，如能找出a2+b2與a+b之間的關(guān)系，問(wèn)題可得到解決，注意到：a2+b2之2ab=2(a2+b2)之(a+b)2=02(a2+b2)之a(chǎn)+b,則容易得到證明.2222222證明：a2+b2之2ab,2(a2+b2)>a2+b2+2ab>(a+b)2,于是vE之早la+ga

17、+b).同理：之學(xué)(b+c)'，K'?(c+a).三式相加即得：Ja2+b2+Yb2+c2+Vc2+a2AJ2(a+b+c).說(shuō)明：注意觀察所給不等式的結(jié)構(gòu)，此不等式是關(guān)于a、b、c的輪換式.因此只需抓住一個(gè)根號(hào)進(jìn)行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性.典型例題十六例16已知：a、bWR +(其中R+表示正實(shí)數(shù))求證:一 .ab -1 1分析：要證明的這一串不等式非常重要,a2 b2稱為平方根, 2a b ,稱為算術(shù)平均2數(shù)，J茄稱為幾何平均數(shù)，二一稱為調(diào)和平均數(shù).11ab2,2證明:ja+b1,？nI=(ab)之0.I2J4，22a +b2alb,當(dāng)且僅當(dāng)"

18、;a = b"時(shí)等號(hào)成立.之Jab ,等號(hào)成立條件是“L等號(hào)成立條件是“，Jab,等號(hào)成立條件是“a=b11+ab說(shuō)明：本題可以作為均值不等式推論，熟記以上結(jié)論有利于處理某些復(fù)雜不等式的證明問(wèn)題.本例證明過(guò)程說(shuō)明，不等式性質(zhì)中的比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法.典型例題十七2.2例17設(shè)頭數(shù)a1,b1,c1,a2,b2,c2滿足a1a2A0,ac之bi,a2c2之b2,2求證(a1+a2)(c1+c2)之(bi+b2).分析：由條件可得到a1，a2,G,C2同號(hào).為方便，不妨都設(shè)為正.將求證式子的左邊展開(kāi)后可看出有交叉項(xiàng)ac2和a2C1無(wú)法利用條件，但使用均值不等式變成乘積后

19、，重新搭配，可利用條件求證.證明:a1a20,.a1,a2同號(hào).22同理,由a1c1b1,a2c2b2知a1與c1同寫)a2與C2同寫a1,G,a2,C2同號(hào).不妨都設(shè)為正.22_2>b1+b2+2bb=(b1+b2)2,即(a1+a2)(c1+C2)之(b+b2)2.說(shuō)明：本題是根據(jù)題意分析得a1,c1,a2,c2同號(hào)，然后利用均值不等式變形得證.換一個(gè)角度，由條件的特點(diǎn)我們還會(huì)聯(lián)想到使用二次方程根的判別式，可能會(huì)有另一類證法.2.2頭際上，由條件可知a1,C1,a2,c2為同號(hào)，不妨設(shè)同為正.又ac上b1，a2c2之b2,2,2，4a1cl之4bl,4a2c2之4b2.不等式a1x2

20、+2bx+c1之0,a2x2+2b2x+c2>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立（根據(jù)二次三項(xiàng)式恒為正的充要條件），兩式相加得（a1+a2）x2+2（b1+b2）x+（c1+c2）>0,它對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立.同上可得：（a1+a2）（c1+c2）>（b1+b2）2.典型例題十八例18如下圖所示，某畜牧基地要圍成相同面積的羊圈4間，一面可利用原有的墻壁，其余各面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為36ml問(wèn)每間羊圈的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，羊圈面積最大？分析：可先設(shè)出羊圈的長(zhǎng)和寬分別為x,y,即求xy的最大值.注意條件4x+6y=36的利用.解：設(shè)每間羊圈的長(zhǎng)、寬分別為x,y,則有4x+6y=36,即2x+3y

21、=18.設(shè)S=xy上式當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)取“=”.2x=3y , 2x =3y = 18 ,9x 二一 ,2y = 3.9,一.羊圈長(zhǎng)、寬分別為-mi,3m時(shí)面積最大.2說(shuō)明：（1）首先應(yīng)設(shè)出變量（此處是長(zhǎng)和寬），將題中條件數(shù)學(xué)化（即建立數(shù)學(xué)模型）才能利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解；（2）注意在條件2x+3y=18之下求積xy的最大值的方法：直接用不2f2x + 18-2x等式18=2x+3y22x3y,即可出現(xiàn)積xy.當(dāng)然，也可用“減少變量”的方法:1c111y=-(18-2x)>S=xy=x(18-2x)=2x(182x)三3366且僅當(dāng)2x=18-2x時(shí)取“二”.典型例題十九例19某單位建造一

22、間地面面積為12m的背面靠墻的矩形小房，房屋正面的造價(jià)為1200元/m2,房屋側(cè)面的造價(jià)為800元/m2,屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元.如果墻高為3m,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？，12 一 ，則長(zhǎng)為22 m再設(shè)總xy .根據(jù)題意，可得:34600 元.分析：這是一個(gè)求函數(shù)最小值的問(wèn)題，關(guān)鍵的問(wèn)題是設(shè)未知數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系.從已知條件看，矩形地面面積為12mt但長(zhǎng)和寬不知道，故考慮設(shè)寬為xm,造價(jià)為y.由題意就可以建立函數(shù)關(guān)系了.12解：設(shè)矩形地面的正面寬為xm,則長(zhǎng)為mi;設(shè)房屋的總造價(jià)為x當(dāng)x=16,即x=4時(shí)，y有最小值34600元.x因此，當(dāng)矩形地面

23、寬為4m時(shí)，房屋的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是說(shuō)明：本題是函數(shù)最小值的應(yīng)用題，這類題在我們的日常生活中經(jīng)常遇到，有求最小值的問(wèn)題，也有求最大值的問(wèn)題，這類題都是利用函數(shù)式搭橋，用均值不等式解決，解決的關(guān)鍵是等號(hào)是否成立，因此，在解這類題時(shí)，要注意驗(yàn)證等號(hào)的成立.典型例題二十例20某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每1m長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每1m長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每1m2造價(jià)20元.計(jì)算：(1)倉(cāng)庫(kù)底面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？分析：用字母分別表示鐵柵長(zhǎng)和一堵磚墻長(zhǎng)，再由題意翻譯數(shù)量關(guān)系.解：設(shè)鐵柵長(zhǎng)為xm一堵磚墻長(zhǎng)為ym則有S=xy.由題意得40x245y2