22l一元二次方程

1、第二十二章 一元二次方程 單元要點(diǎn)分析 教材內(nèi)容 1本單元教學(xué)的主要內(nèi)容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應(yīng)用題 2本單元在教材中的地位與作用 一元二次方程是在學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程應(yīng)該說(shuō)，一元二次方程是本書(shū)的重點(diǎn)內(nèi)容 教學(xué)目標(biāo) 1知識(shí)與技能 了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過(guò)配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識(shí)解決問(wèn)題 2過(guò)程與方法 （1）通過(guò)豐富的實(shí)例，讓學(xué)生合作探

2、討，老師點(diǎn)評(píng)分析，建立數(shù)學(xué)模型根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一元二次方程的概念 （2）結(jié)合八冊(cè)上整式中的有關(guān)概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項(xiàng)等 （3）通過(guò)掌握缺一次項(xiàng)的一元二次方程的解法直接開(kāi)方法，導(dǎo)入用配方法解一元二次方程，又通過(guò)大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程 （4）通過(guò)用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0（a0）導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0 （5）通過(guò)復(fù)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)整式的第5節(jié)因式分解進(jìn)行知識(shí)遷移，解決用因式分解法解一元二次方程，并用練習(xí)鞏固它 （6）提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)

3、模型，并用該模型解決實(shí)際問(wèn)題 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷由事實(shí)問(wèn)題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過(guò)程，使同學(xué)們體會(huì)到通過(guò)一元二次方程也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過(guò)程，使同學(xué)們體會(huì)到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷設(shè)置豐富的問(wèn)題情景，使學(xué)生體會(huì)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 教學(xué)重點(diǎn) 1一元二次方程及其它有關(guān)的概念 2用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程 3利用實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個(gè)問(wèn)題 教學(xué)難點(diǎn) 1一元二次方程配方法解題 2用公式法解一元二次方程時(shí)的

4、討論 3建立一元二次方程實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實(shí)際問(wèn)題解的區(qū)別 教學(xué)關(guān)鍵 1分析實(shí)際問(wèn)題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型 2用配方法解一元二次方程的步驟 3解一元二次方程公式法的推導(dǎo) 課時(shí)劃分 本單元教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)，具體分配如下： 221 一元二次方程 2課時(shí) 222 降次解一元二次方程 7課時(shí) 223 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程 4課時(shí) 教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 3課時(shí)221 一元二次方程第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念 教學(xué)目標(biāo) 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目 1通過(guò)設(shè)置問(wèn)

5、題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義 2一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念 3解決一些概念性的題目 4態(tài)度、情感、價(jià)值觀 4通過(guò)生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問(wèn)題 2難點(diǎn)關(guān)鍵：通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：列方程 問(wèn)題（1）九章算術(shù)“勾股”章有一題：“今有戶(hù)高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問(wèn)戶(hù)高、廣各幾何？” 大意是說(shuō)：已知長(zhǎng)方形門(mén)的高比寬多6尺8寸，門(mén)的對(duì)角

6、線長(zhǎng)1丈，那么門(mén)的高和寬各是多少？ 如果假設(shè)門(mén)的高為x尺，那么，這個(gè)門(mén)的寬為_(kāi)尺，根據(jù)題意，得_ 整理、化簡(jiǎn)，得：_問(wèn)題（2）如圖，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn) 如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=_，根據(jù)題意，得：_ 整理得：_ 問(wèn)題（3）有一面積為54m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方形邊長(zhǎng)為x，那么原來(lái)長(zhǎng)方形長(zhǎng)是_，寬是_，根據(jù)題意，得：_ 整理，得：_ 老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理 二、探索新知 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問(wèn)題 （1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？ （2

7、）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？ （3）有等號(hào)嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號(hào)，是方程 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng) 例1將方程（8-2x）（5-2

8、x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng) 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等 解：去括號(hào)，得： 40-16x-10x+4x2=18 移項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0 其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為-26，常數(shù)項(xiàng)為22 例2（學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng) 分析：通過(guò)完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-

9、2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括號(hào)，得： x2+2x+1+x2-4=1 移項(xiàng)，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次項(xiàng)2x2，二次項(xiàng)系數(shù)2；一次項(xiàng)2x，一次項(xiàng)系數(shù)2；常數(shù)項(xiàng)-4 三、鞏固練習(xí) 教材P32 練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展 例3求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+170即可 證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+1>0，即（m-4）2+10 不論m取何值，該方程都是一元二次方程 五、

10、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用 六、布置作業(yè) 1教材P34 習(xí)題221 1、2 2選用作業(yè)設(shè)計(jì) 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 2方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px

11、2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ） Ap=1 Bp>0 Cp0 Dp為任意實(shí)數(shù) 二、填空題 1方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)，一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi) 2一元二次方程的一般形式是_ 3關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是_ 三、綜合提高題 1a滿(mǎn)足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 3一塊矩形鐵片，面積為1m2，長(zhǎng)比寬多3m，求鐵片的長(zhǎng)，小明在做這道題時(shí)，是這樣做的： 設(shè)鐵片的長(zhǎng)為x，列出的方程為x（x-3）=1

12、，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道鐵片的長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過(guò)程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3 所以，_<x<_第二步： x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.36 所以，_<x<_ （1）請(qǐng)你幫小明填完空格，完成他未完成的部分； （2）通過(guò)以上探索，估計(jì)出矩形鐵片的整數(shù)部分為_(kāi)，十分位為_(kāi)答案:一、1A 2B 3C二、13，-2，-4 2ax+bx+c=0（a0） 3a1三、1化為：ax2+（a-+1）x+1=0，所以，當(dāng)a0時(shí)是一元二次方程 2可能，因?yàn)楫?dāng)，當(dāng)m=1時(shí)，該方程是一元二次方程 3（1）-1，3，3，

13、4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3221 一元二次方程第二課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1一元二次方程根的概念； 2根據(jù)題意判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目 教學(xué)目標(biāo) 了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問(wèn)題 提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個(gè)數(shù)是否是根同時(shí)應(yīng)用以上的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決一些具體問(wèn)題 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根； 2難點(diǎn)關(guān)鍵：由實(shí)際問(wèn)題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際問(wèn)題的根教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引

14、入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下列問(wèn)題問(wèn)題1如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m，那么梯子的底端距墻多少米？ 設(shè)梯子底端距墻為xm，那么， 根據(jù)題意，可得方程為_(kāi) 整理，得_列表：x012345678 問(wèn)題2一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃，它的長(zhǎng)比寬多2m，苗圃的長(zhǎng)和寬各是多少？ 設(shè)苗圃的寬為xm，則長(zhǎng)為_(kāi)m 根據(jù)題意，得_ 整理，得_列表：x01234567891011 老師點(diǎn)評(píng)（略） 二、探索新知 提問(wèn)：（1）問(wèn)題1中一元二次方程的解是多少？問(wèn)題2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題1中還有其它解嗎？問(wèn)題2呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）問(wèn)題1中x

15、=6是x2-36=0的解，問(wèn)題2中，x=10是x2+2x-120=0的解 （3）如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題（1）中還有x=-6的解；問(wèn)題2中還有x=-12的解 為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱(chēng)： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 回過(guò)頭來(lái)看：x2-36=0有兩個(gè)根，一個(gè)是6，另一個(gè)是6，但-6不滿(mǎn)足題意；同理，問(wèn)題2中的x=-12的根也滿(mǎn)足題意因此，由實(shí)際問(wèn)題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問(wèn)題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問(wèn)題的解 例1下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要

16、把其代入等式，使等式兩邊相等即可 解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿(mǎn)足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根 例2你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出滿(mǎn)足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義 解：（1）移項(xiàng)得x2=64 根據(jù)平方根的意義，得：x=±8 即x1=8，x2=-8 （2）移項(xiàng)、整理，得x2=2 根據(jù)平方根的意義，得x=± 即x1=，x2=- （3）因?yàn)閤2-3x=x（x-3） 所以x2-3x=0，就是x（x-3）

17、=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3 三、鞏固練習(xí) 教材P33 思考題 練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展 例3要剪一塊面積為150cm2的長(zhǎng)方形鐵片，使它的長(zhǎng)比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？ 設(shè)長(zhǎng)為xcm，則寬為（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 請(qǐng)根據(jù)列方程回答以下問(wèn)題： （1）x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由（2）完成下表： x1011121314151617x2-5x-150 （3）你知道鐵片的長(zhǎng)x是多少嗎？ 分析：x2-5x-150=0與上面兩道例題明顯不同，不能用平方根的意義和八年級(jí)上冊(cè)的整式中的分解因式的方法去求根，但是我們可以

18、用一種新的方法“夾逼”方法求出該方程的根 解：（1）x不可能小于5理由：如果x<5，則寬（x-5）<0，不合題意 x不可能等于10理由：如果x=10，則面積x2-5x-150=-100，也不可能（2） x 10 11 12 1314151617x2-5x-150-100-84-66-46-2402654 （3）鐵片長(zhǎng)x=15cm 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： （1）一元二次方程根的概念及它與以前的解的相同處與不同處； （2）要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根； （3）要會(huì)用一些方法求一元二次方程的根 六、布置作業(yè) 1教材P34 復(fù)習(xí)鞏固3、4 綜合運(yùn)用5、6、7 拓廣探索8、9 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1方程x（x-1）=2的兩根為（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2 3已知x=-1是方程a