常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)【目的要求】 1、能區(qū)分無窮項相加與有限項相加的區(qū)別； 2、了解無窮級數(shù)部分和與級數(shù)收斂及發(fā)散的關(guān)系、和的定義； 3、掌握用部分和的極限、收斂級數(shù)的必要條件來判別級數(shù)的斂散性 【重點難點】 數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 【教學(xué)內(nèi)容】 一、常數(shù)項級數(shù)的概念 定義1.1 給定一個無窮實數(shù)列：則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式叫做常數(shù)項無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項級數(shù), 記為, 即,其中第項叫做級數(shù)的一般項(或通項). 級數(shù)的前項和稱為級數(shù)的前項部分和. 部分和構(gòu)成的數(shù)列稱為部分和數(shù)列. 定義 1.2 如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂, 即, (為一實數(shù))則稱無窮級數(shù)收

2、斂, 并稱為級數(shù)的和, 并寫成;如果發(fā)散, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 級數(shù)的收斂和發(fā)散統(tǒng)稱為斂散性. 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其部分和是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差稱為級數(shù)的余項. 和之間的誤差可由去衡量, 由于, 所以 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)), ()的斂散性. 解 如果, 則部分和. 當(dāng)時, 因為, 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)時, 因為不存在, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果, 則當(dāng)時, 因為不存在, 因此此時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時, 級數(shù)成為, 因為不存在, 因此此時級數(shù)發(fā)散. 綜上所述, 如果, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果, 則級數(shù)發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為.顯然

3、, , 因此該級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 解 部分和,由于 從而,所以該級數(shù)收斂, 其和是1. 以上幾個例題, 都是先將部分和的表達式算出, 然后討論是否存在, 從而判斷級數(shù)的斂散性. 然而對絕大多數(shù)級數(shù)來說, 的表達式難以計算, 而且實際問題中往往只需知道一個級數(shù)是收斂還是發(fā)散, 并不奢望對每個級數(shù)都求出其和, 因此我們有必要研究某些直接從一般項的形式就可以判斷斂散性的簡明法則. 為此, 先對級數(shù)的基本性質(zhì)展開一些討論. 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì) 1 如果級數(shù)收斂于和, 為任意常數(shù), 則級數(shù)也收斂, 且其和為. 證 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 所以級數(shù)收斂,

4、 且和為. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和、, 則級數(shù)也收斂, 且其和為. 證 設(shè)、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 .所以級數(shù)收斂, 且和為. 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項, 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 設(shè)級數(shù)收斂, 其和為, 則保持級數(shù)原有順序?qū)ζ淙我饧永ㄌ柡笏傻募墧?shù)仍收斂, 且其和不變. 注意 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù)收斂于, 但級數(shù)卻是發(fā)散的. 推論 如果保持原有順序添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 性質(zhì)5(級數(shù)收斂的必要條件) 如果收斂

5、, 則它的一般項 趨于零, 即. 證 設(shè)級數(shù)的部分和為, 且, 則 . 注意 性質(zhì)5只是級數(shù)收斂的必要條件, 而不是充分條件, 即一般項趨于零的級數(shù)不一定收斂. 但可以用性質(zhì)5的逆否命題來判斷一個級數(shù)的發(fā)散. 推論 若，則級數(shù)發(fā)散. 由此結(jié)論, 我們馬上可知下列級數(shù):, , , 是發(fā)散的. 應(yīng)當(dāng)注意, 盡管有些級數(shù)的一般項趨向于零, 但仍是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 證 假若級數(shù)收斂且其和為, 是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. §2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法【目的要求】 1、理解正項級數(shù)的定義、性質(zhì)、收斂的充分必要條

6、件； 2、掌握三種判別法使用區(qū)別 3、了解絕對收斂與條件收斂等概念； 4、熟練掌握交錯級數(shù)收斂的判別法； 5、熟練掌握絕對收斂與條件收斂的判別法 【重點難點】 正項級數(shù)的特有性質(zhì)及判別法 區(qū)分絕對收斂與條件收斂【教學(xué)內(nèi)容】 一般的常數(shù)項級數(shù), 它的各項可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者零. 現(xiàn)在我們先討論各項都是非負(fù)的級數(shù)正項級數(shù). 這種級數(shù)特別重要, 以后將看到許多級數(shù)的斂散性問題可歸結(jié)為正項級數(shù)的收斂性問題. 一、 正項級數(shù)及其審斂法 定義 2.1 若級數(shù)的各項均非負(fù), 即, 則稱該級數(shù)為正項級數(shù). 設(shè)級數(shù) (1)是一個正項級數(shù), 它的部分和為. 顯然, 數(shù)列是一個單調(diào)遞增數(shù)列. 如果數(shù)列有界, 根據(jù)單

7、調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則, 級數(shù)(1)必收斂于. 反之, 如果正項級數(shù)(1)收斂于, 即, 根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知, 數(shù)列有界. 因此, 我們得到如下重要的結(jié)論. 定理2.1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界. 由定理2.1 可知, 如果正項級數(shù)發(fā)散, 則它的部分和數(shù)列(), 即 由此, 可得關(guān)于正項級數(shù)的一個基本的審斂法. 定理 2.2 (比較審斂法) 設(shè)和都是正項級數(shù), 且 (). 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和, 則級數(shù)的部分和 即部分和數(shù)列有界, 由定理2.1 知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必

8、發(fā)散. 因為若級數(shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù), 使當(dāng)時, 有 ()成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)時, 有 ()成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù). 解 設(shè). 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)時級數(shù)發(fā)散. 設(shè), 且時. 有 (). 對于級數(shù), 其部分和 . 因為. 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級數(shù)當(dāng)時收斂. 綜上所述, -級數(shù)當(dāng)時收斂, 當(dāng)時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)

9、散的. 定理 2.3 (比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), , 且, 則 (1) 當(dāng)時, 級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散; (2) 當(dāng)時, 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. (3) 當(dāng)時, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散; 若收斂, 則收斂. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理 2.4 (比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 設(shè)為正項級數(shù), 對任意, 有, 則 (1) 當(dāng)時, 級數(shù)收斂; (2) 當(dāng)時, 級數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)時, 級數(shù)可

10、能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù)是收斂的. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 . 這時, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理 2.5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項級數(shù), 且 , 則 (1) 當(dāng)時, 級數(shù)收斂; (2) 當(dāng)時, 級數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)時, 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的, 并估計以級數(shù)的部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差. 解 因為, 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級

11、數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差為 + . 例9 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 定理 2.6 (極限審斂法) 設(shè)為正項級數(shù), (1) 當(dāng)時, 則級數(shù)發(fā)散; (2) 當(dāng), 而時, 則級數(shù)收斂. 例10 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為, 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例11 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 定理 2.7 (積分審斂法) 設(shè)為正項級數(shù), 是上的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù), 且對任意自然數(shù)有,則級數(shù)收斂的充分必要條件是廣義積分收斂. 例12 判定級數(shù)的收斂性. 解 設(shè),在此定義區(qū)間中,

12、單調(diào)遞減連續(xù), 且,由于,即廣義積分發(fā)散, 所以原級數(shù)發(fā)散. 二、交錯級數(shù)及其審斂法 定義 2.2 常數(shù)項級數(shù)的各項依次正負(fù)相間, 就稱該級數(shù)為交錯級數(shù). 它的一般形式如下:, 其中.例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 下面給出關(guān)于交錯級數(shù)的一個審斂法. 定理 2.8 (萊布尼茨定理) 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1) , (); (2) ,則級數(shù)收斂, 且其和, 其余項滿足. 例13 證明級數(shù)收斂, 并估計其和及余項. 證 這是一個交錯級數(shù). 而且該級數(shù)滿足 (1) (), (2), 由萊布尼茨定理, 該級數(shù)是收斂的, 且其和s<u1=1, 余項. 三、絕對收斂與條件收斂 現(xiàn)在我們討

13、論一般的級數(shù),它的各項為任意實數(shù). 定義 2.3 若級數(shù)各項的絕對值所構(gòu)成的級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂; 若級數(shù)收斂, 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級條件收斂. 例14 級數(shù)是絕對收斂的, 而級數(shù)是條件收斂的. 定理 2.9 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 注意 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因為, 此時|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例15 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為|, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例16 判別級數(shù)的收斂性. 解 由,

14、有, 可知, 因此級數(shù)發(fā)散. §3 冪級數(shù)【目的要求】 1、了解冪級數(shù)的基本概念；收斂域的定義； 2、理解 Abel 定理、會求（缺項與不缺項）冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域 【重點難點】 缺項與不缺項冪級數(shù)收斂半徑的求法 【教學(xué)內(nèi)容】 一、函數(shù)項級數(shù)的概念 前面討論的是數(shù)項級數(shù), 它的每一項都是常數(shù), 當(dāng)級數(shù)的通項是在某一區(qū)間上的函數(shù)時, 就稱為函數(shù)項級數(shù), 即 其中, 是定義在區(qū)間上的函數(shù). 定義 3.1 對于區(qū)間內(nèi)的一定點, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱點是函數(shù)項級數(shù)的收斂點; 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱點是級數(shù)的發(fā)散點. 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點的

15、全體稱為它的發(fā)散域. 定義 3.2 在函數(shù)項級數(shù)的收斂域上, 其和是關(guān)于的函數(shù), 把稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. 定義 3.3 把函數(shù)項級數(shù)的前項的部分和記作, 即.在收斂域上有. 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)與部分和的差叫做函數(shù)項級數(shù)的余項. 在函數(shù)項級數(shù)的收斂域上有. 例如, 冪級數(shù)可以看成是公比為的幾何級數(shù). 當(dāng)時, 該級數(shù)是收斂的; 當(dāng)時, 該級數(shù)是發(fā)散的. 因此, 該級數(shù)的收斂域為, 在收斂域內(nèi)有和函數(shù). 二、冪級數(shù)及其收斂域 我們不討論一般的函數(shù)項級數(shù), 而是就為的情形, 即下面要定義的冪級數(shù)來展開討論. 冪級數(shù)在函數(shù)逼近理論及數(shù)值計算中有廣泛的應(yīng)用. 定義 3.4 形如 (1)的級數(shù)

16、稱為的冪級數(shù), 其中為常數(shù), 均為實常數(shù), 稱為冪級數(shù)的系數(shù). 注意 當(dāng)時, 冪級數(shù)的一般形式(1)就稱為 , (2)式(2)稱為的冪級數(shù). 因為只要令, 就可把式(1)化為式(2), 所以不失一般性, 我們討論冪級數(shù)(2)的收斂性問題. 定理 3.1 (阿貝爾定理) 若冪級數(shù)在處收斂, 則對滿足不等式的任何, 該冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 若冪級數(shù)在處發(fā)散, 則對滿足不等式的任何, 該冪級數(shù)發(fā)散. 定理 3.1 告訴我們, 如果冪級數(shù)在處收斂, 則它在開區(qū)間內(nèi)都收斂, 且絕對收斂; 如果冪級數(shù)在處發(fā)散, 則它在區(qū)間和上都發(fā)散. 這表明, 冪級數(shù)在收斂域中除了零點外, 還有非零的收斂點時,發(fā)散點

17、不可能處在零點和非零收斂點之間. 也就是說, 冪級數(shù)的收斂域一定是個包含的連續(xù)區(qū)間, 且除了端點之外, 這個區(qū)間是關(guān)于原點對稱的. 從而, 我們得到如下重要的推論: 推論 如果冪級數(shù)不是僅在點一點收斂, 也不是在上都收斂, 則必存在一個完全確定的正數(shù), 使得 (1) 當(dāng)時, 冪級數(shù)絕對收斂; (2) 當(dāng)時, 冪級數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)時, 冪級數(shù)可能收斂, 也可能發(fā)散. 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在處的斂散性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域為, , , 四種形式之一. 注意 若冪級數(shù)僅在處收斂, 此時收斂域中只有一點, 規(guī)定此時冪級數(shù)的收斂半徑

18、, 若冪級數(shù)對一切都收斂, 則規(guī)定收斂半徑, 收斂域為. 關(guān)于冪級數(shù)收斂半徑的求法, 有如下定理: 定理 3.2 如果冪級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)滿足,則該冪級數(shù)的收斂半徑 . 證 考察冪級數(shù)的各項絕對值所構(gòu)成的級數(shù) , 因為.所以由正項級數(shù)比值審斂法, 可知 (1) 若, 則當(dāng)時, 冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng)時, 冪級數(shù)發(fā)散, 所以冪級數(shù)的收斂半徑. (2) 若, 則對任何, 有,冪級數(shù)在絕對收斂, 所以冪級數(shù)的收斂半徑. (3) 若, 則對除外的其它一切, ,冪級數(shù)都發(fā)散,所以冪級數(shù)的收斂半徑. 例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為. 當(dāng)時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)時,

19、 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 該冪級數(shù)的收斂域為. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為, 從而收斂域為. 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因為, 所以收斂半徑為, 即級數(shù)僅在處收斂. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 由于該級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理3.2 不適用. 我們可直接根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項記為. 且, 于是當(dāng)即時, 原級數(shù)收斂; 當(dāng)即時, 原級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令, 原級數(shù)變?yōu)? 因為 , 所以收斂半徑, 收斂區(qū)間. 當(dāng)時, 原級數(shù)化為, 該級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時, 原級數(shù)化為, 該級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收

20、斂域為. 所以原級數(shù)的收斂域為. 三、冪級數(shù)的性質(zhì)及運算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂, 且, 則有如下計算法則: (1) 加減法: ; (2) 乘法: . 設(shè)冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)為, 則有如下性質(zhì): 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)可積, 并且有逐項積分公式 , 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原冪級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項求導(dǎo)公式 , 逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原冪級數(shù)有相同的收斂半徑. 注意 經(jīng)過逐項可導(dǎo)或逐項積分后, 所得的冪級數(shù)的收斂半徑雖然不變, 但端點的斂散性卻會有所變化, 故需另作判斷.

21、 利用我們已知的一些冪級數(shù)的和函數(shù)以及冪級數(shù)可以逐項求導(dǎo)和逐項積分的運算規(guī)則可以求出一些冪級數(shù)的和函數(shù). 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為. 設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為, 即, . 顯然, . 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對上式從到積分, 得 . 于是, 當(dāng)時, 有. 從而. 有冪級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性可知, 這里和函數(shù)在是連續(xù)的, 我們不難驗證: 注意: 冪級數(shù)在發(fā)散, 而在收斂. 例7 求級數(shù)的和. 解 考慮冪級數(shù), 該級數(shù)在上收斂, 設(shè)其和函數(shù)為, 則. 在例6中已得到 , 于是, 即.§4 函數(shù)展開成冪級數(shù)【目的要求】 1、了解函數(shù)的泰勒級數(shù)； 2、熟練掌握用間接法展開函數(shù)為

22、冪級數(shù) 【重點難點】 間接法展開函數(shù)為冪級數(shù) 【教學(xué)內(nèi)容】 一、泰勒級數(shù) 前面我們討論了冪級數(shù)所確定的和函數(shù)的性質(zhì). 下面討論相反的問題, 即給定函數(shù), 能否找到一個冪級數(shù), 該冪級數(shù)在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和函數(shù)恰好就是給定的函數(shù). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 而該冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x). 定義 4.1 若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)的任意一點, 有 , (1)其中(介于與之間). 式(1)稱為在處的階泰勒公式, 稱為泰勒公式的余項, 而 (2)稱為在處的階泰勒多項式. 當(dāng)時, 在處的階泰勒多項式(2)就化為冪級數(shù) (3

23、)冪級數(shù)(3)稱為函數(shù)在處的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)時, 的泰勒級數(shù)收斂于. 在處的泰勒級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù). 當(dāng)在點的某一領(lǐng)域具有任意階導(dǎo)數(shù)時, 在點處總可以寫出對應(yīng)的泰勒級數(shù), 但該級數(shù)是否收斂? 若收斂,是否一定以為和函數(shù)? 為此, 我們不加證明的給出如下定理. 定理 4.1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式(1)中的余項滿足:. 注意 函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是的冪級數(shù), 如果能展開成的冪級數(shù), 那么這種展開式是唯一的, 它一定等于的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果的麥克勞林級數(shù)在點的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于. 因此,

24、如果在點處具有各階導(dǎo)數(shù), 則的麥克勞林級數(shù)雖然能寫出來, 但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于卻需要進一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 把一個給定函數(shù)展開成的冪級數(shù)一般有直接法和間接法兩種方法. 1. 直接展開法 按下列步驟把給定函數(shù)展開成的冪級數(shù)的方法叫直接展開法: (1) 計算的各階導(dǎo)數(shù)及其在處的導(dǎo)數(shù)值: ; (2) 寫出麥克勞林級數(shù), 并求出收斂半徑. (3) 考察在收斂區(qū)間內(nèi), 余項的極限是否成立. 如果成立, 則在內(nèi)有展開式 . 例1 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 因為, 因此 . 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑. 對于任何有限的數(shù), (介于0與之間), 有 , 由于有限, 且時收斂級數(shù)的一般項, , 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 因為, , 于是得級數(shù) ,