空間角的求法精品(教案)匯編

1、學(xué)習(xí)-好資料空間角，能比較集中反映空間想象能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考?？臻g角是異 面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角總稱?？臻g角的計(jì)算思想主要是 轉(zhuǎn)化：即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計(jì)算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關(guān)系或是轉(zhuǎn) 化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解?？臻g角的求法一般是： 一找、二證、三計(jì)算。一、異面直線所成角的求法異面直線所成的角的范圍：0”：二90：1（一）平移法【例1】已知四邊形 ABCD為直角梯形， ADBC, /ABC =90，, PA _L平面AC ,且BC = 2 ,PA = AD = AB =1,求異面直線 pc與BD所成角的余弦值的大小?！窘狻窟^點(diǎn)C作CE/

2、 BD交AD的延長線于E ,連結(jié)PE ,則PC與BD所成的角為/ PCE或它的補(bǔ)角。;CE = BD = 2 ,且 PE = J PA2 AE2 二三而人PC2 CE 2- PE 2.3.二由余弦定理得c o S PCE =2PC CE6，PC與BD所成角的余弦值為W36（二）補(bǔ)形法【變式練習(xí)】已知正三棱柱 ABC -AB1G的底面邊長為8,側(cè)棱長為6, D為AC中點(diǎn)。求異面直線 AB1更多精品文檔與BCi所成角的余弦值。Ai1【答案】25ABCi、直線與平面所成角直線與平面所成角的范圍：0二3二903方法：射影轉(zhuǎn)化法（關(guān)鍵是作垂線，找射影）【例2】如圖，在三麴t PABC中，/APB=90,

3、 NPAB=60,，AB=BC=CA,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上，求直線PC與平面ABC所成的角的大小?！窘狻窟B接OC,由已知，/OCP為直線PC與平面ABC所成角設(shè)AB的中點(diǎn)為D ,連接PD,CD。AB = BC = CA,所以 CD _L AB；/APB =90，,/PAB =60，所以APAD為等邊三角形。不妨設(shè) PA = 2,則 OD =1,OP =J3,AB =4CD -2 .3, OC ”O(jiān)D2 CD2 =。13在 RtAOCP 中,tan OCP uOP .339OC 一 113 一 73【變式練習(xí)1】如圖，四棱錐 S ABCD中，AB/CD , BC _L CD ,側(cè)面

4、SAB為等邊三角形。AB =BC =2, CD =SD=1 ,求AB與平面SBC所成的角的大小?！窘狻坑葾B_L平面SDE知，平面 ABCD_L平面SDE,_ SD SE作 SF _L DE ,垂足為 F ,則 SF _L 平面 ABCD , SF =DE作 FG _L BC ,垂足為 G ,則 FG = DC =1連 ZSG,則 SG_LBC,又 BC_LFG , SGp FG =G故BC _L平面SFG ,平面SBC 1平面SFG作FH 1SG, H為垂足，則FH _L平面SBCSF FG 212iFH =，即F到平面SBC的距離為 SG 77由于ED/BC ,所以ED平面SBC,故E到平

5、面SBC的距離設(shè)AB與平面SBC所成的角為口，、21，貝U7d 則sin工EB,21=arcsin7【變式練習(xí)2】如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是矩形，AD 1 PD , BC = 1, PC = 2 J3 ,PD =CD =2,求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值?！窘狻窟^點(diǎn)P作PE _LCD于點(diǎn)E ,連接BE：AD_L P D AD Q CU 平面 PDC _L 平面 ABCD ,PE，面ABCD ,則/PBE是直線PB與平面ABCD所成角_ p CDu PD=2, PC=2-3= . PDC120= PE 3 , D E 1S/在 RtABCE 中，BE = JBC2 +

6、CE2 =尺=PB=jBE2 + PE2 =3r -l ，PE 、39在 RtABPE 中，sin/PBE=-PB 13三、二面角的求法二面角的范圍：0； ; 180；求二面角的大小， 關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角。從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法：（一）定義法：在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)”（一般是選一個特殊的點(diǎn)，如：垂足、中點(diǎn)等），過這一 “點(diǎn)”在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）B【例3】在三棱錐PABC中，/APB =/BPC =/APC =60，,求二面角 A PB C的余弦值。【解】在PB上取PQ =1,作MQ _L PB交

7、PA于M ，作QN _LPB交PC于N1 cos/MQN = 一3【變式練習(xí)】 如圖，點(diǎn)A在銳二面角aMN -P的棱MN上，在面a內(nèi)引射線AP ,使AP與MN所成角/PAM =45，,與面P所成角的大小為30、求二面角a - MN P的大小。N【解】在射線 AP上取一點(diǎn)B ,作BH _L P于點(diǎn)H ,作HQ _L MN于Qsi kBQ H =巫，則 口 一MN P為 45, 2（二）利用三垂線三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射

8、影。從半平面內(nèi)的任一點(diǎn) A出發(fā)向另一個半平面 P引一條直線 AH ,過H作棱l的垂線HG ,垂足為G ,連AG ,則由三垂線定理可證l _L AG,故/AGH就是二面角a -l -P的平面角。垂線定理是求解二面角問題的最常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個半平面內(nèi)的某一個點(diǎn)出發(fā)，且垂直于另一個半平面。【例 4】如圖，在三麴i PABC 中，/APB =90, /PAB=60,，AB=BC=CA,點(diǎn) P在平面 ABC內(nèi)的射影O在AB上，求二面角 B -AP-C的大小?！窘狻窟^ AB中點(diǎn)D作DE _L AP于E ,連接CE ,由已知可得，CD_L平面PAB據(jù)三垂線定理可知，CE _

9、PA則ZCED為B AP C的平面角易知，若 AB=1,則 DE =J3, CD =2j3在 RtACDE 中，tan/CED = ?號=2DE 3【變式練習(xí)】在直三棱柱 ABC AB1cl中，ZBAC =90 , AB = BB1 =1 ,直線B1C與平面ABC成30角，求二面角 B BC A的正弦值?！窘狻坑芍比庵再|(zhì)得平面 ABC _L平面BCC1B1 ,過A作AN _L平面BCC1B1垂足為N ,則AN，平面BCC1B1 （ AN即為我們要找的垂線）在平面BCB1內(nèi)過N作NQ，棱B1C ,垂足為Q ,連QA則NNQA即為二面角的平面角。A ABi在平面ABC內(nèi)的射影為AB , CA-

10、L ABCA -LB1A ,又 AB =BB1=1，得 AR =衣:直線BQ與平面ABC成30角，BiCB =30，,又 BC = 2,則 RtABiAC 中，由勾股定理得 AC = J2, AQ =1 ,在 RtABAC 中，AB=1, AC =72 ,得 AN =- 3sin AQNAN 在AQ 一 36即二面角B -BiC -A的正弦值為 3從不直接找出平面角的角度出發(fā)，主要有兩種方法：面積法（面積射影法），向量法。（三）面積法（面積射影法）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cose =且）求出二面角的大小 e 。S求證:co

11、s包 S【例5】如圖，E為正方體 ABCD ABiCiDi的棱CCi的中點(diǎn)，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成銳角的余弦值。，一一，、一，2【答案】所求二面角的余弦值為-3【變式練習(xí)】如圖， S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且 SD_L面ABCD, AB = i, SB = J3。求面ASD與面BSC所成二面角的大小。【答案】45;四、真題演練1 .（山東）已知三棱柱ABC -AB1cl的側(cè)棱與底面垂直，體積為9,底面是邊長為/3的正三角形，若P 4為底面AiBiCi的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（）.5- 一：-一：A 二B. C. D.123462 .（大綱）已知正四棱

12、柱 ABCdABGD中，AA=2AB,則CD與平面BDCi所成角的正弦值等于（）D.133 .（山東）如圖所示，在三棱錐 PABQ中，PB_L平面ABQ, BA = BP = BQ , D,C,E, F分別是AQ, BQ, AP,BP的中點(diǎn)，AQ=2BD, PD與EQ交于點(diǎn)G , PC與FQ交于點(diǎn)H ,連接GH。(1)證明：AB / GH ;（2）求二面角D GH E的余弦值。4 .（陜西）如圖，四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面ABCD, AB =AAi = ，2。（i）證明：A1c，平面 BBiDiD ；（2）求平面 0cBi與平面BB1D1D的夾角日的大小。ABCD是正方形， 0為

13、底面中心，AiO _L平面5.（湖南理）如圖在直棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AD / BC , /BAD = 900 , AC_L BD ,BC =1, AD = AA1 =3（1）證明：AC _lBD ；（2）求直線BiCi與平面ACDi所成角的正弦值。6.（四川理）如圖，在三柱 ABC -AiBiC 中，側(cè)棱 AA _L 底面 ABC , AB = AC = 2AA, /BAC = i20 ,D,Di分別是線段BC, BCi的中點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn).（2）設(shè)（i）中的直線l交AB于點(diǎn)M ,交AC于點(diǎn)N ,求二面角7.如圖，在四棱錐 SABCD中，AD；BC且AD_LCD ；平面

14、CS=2AD=2； E 為 BS 的中點(diǎn)，CE = J2, AS = J3 .求：（i）點(diǎn)A到平面BCS的距離；（2）二面角ECDA的大小。【解】（i） ； ADBC ,且 BC 二 T BCSAD/T BCS則A點(diǎn)到平面BCS的距離等于點(diǎn)到平面 BCS的距離T CSD 1 ABCD, AD 1 CD故AD _L平面CSD ,從而AD _L SD由 AD / BC，得 BC，DS又由CS，DS知DS _L平面BCSA AM N的余弦值.TrBC1plCSD_L 平面 ABCD , CS_L DS ,cB（i）在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面ABC平行的直線l ,說明理由，并證明直線l_L平面慶口口1八；S從而DS為點(diǎn)A到平面BCS的距離. Rt&ADS中 DS =JAS -AD =T3N = J2(2)如圖，過E作EG _LCD ,交CD于點(diǎn)G ,又過G點(diǎn)作GH _LCD交AB于H故/EGH為二面角ECDA的平面角，記為8,過E作EFBC，交CS于點(diǎn)F，連結(jié)GF平面 ABCD _L平面 CSD, GH _L CD易知 GH IGF ,故 0 =NEGF1由于E為BS邊中點(diǎn)，故CF