計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型

1、第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的情形相同。 主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、 模型的估計(jì)、 模型的檢驗(yàn)以及模型在預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用等方面。只不過(guò)為了多元建模的需要，在基本假設(shè)方面以及檢驗(yàn)方面有所擴(kuò)充。本章仍重點(diǎn)介紹了多元線性回歸模型的基本假設(shè)、估計(jì)方法以及檢驗(yàn)程序。與一元回歸分析相比， 多元回歸分析的基本假設(shè)中引入了多個(gè)解釋變量間不存在 （完全） 多重共線性這一假設(shè)； 在檢驗(yàn)部分， 一方面引入了修正的可決系數(shù)， 另一方面引入了對(duì)多個(gè)解釋變量是否對(duì)被解釋變量有顯著線性影響關(guān)系的聯(lián)合性F 檢驗(yàn)，并討

2、論了 F 檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系。本章的另一個(gè)重點(diǎn)是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學(xué)習(xí)非線性模型如何轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的常見(jiàn)類型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟(jì)含義。本章第三個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)是關(guān)于模型的約束性檢驗(yàn)問(wèn)題，包括參數(shù)的線性約束與非線性約束檢驗(yàn)。 參數(shù)的線性約束檢驗(yàn)包括對(duì)參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)、 對(duì)模型增加或減少解釋變量的檢驗(yàn)以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)三方面的內(nèi)容， 其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)與鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)兩種類型的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)都是以 F 檢驗(yàn)為主要檢驗(yàn)工具，以受約束模型與無(wú)約束模型是否有顯著差異為檢驗(yàn)基點(diǎn)。 參數(shù)的非線性約束檢驗(yàn)主要包括最大似然比檢驗(yàn)、 沃爾德檢

3、驗(yàn)與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。 它們?nèi)砸怨烙?jì)無(wú)約束模型與受約束模型為基礎(chǔ)， 但以最大似然原理進(jìn)行估計(jì)，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個(gè)數(shù)為自由度的 2 分布為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布特征。非線性約束檢驗(yàn)中的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)在后面的章節(jié)中多次使用。二、典型例題分析例 1 某地區(qū)通過(guò)一個(gè)樣本容量為 722 的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動(dòng)力受教育的一個(gè)回歸方程為edu 10.36 0.094sibs 0.131medu 0.210feduR2=0,214式中，edu為勞動(dòng)力受教育年數(shù)，sibs為該勞動(dòng)力家庭中兄弟姐妹的個(gè)數(shù)，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問(wèn)(1) sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若

4、medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測(cè)的受教 育水平減少一年，需要 sibs增加多少？(2)請(qǐng)對(duì)medu的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉尅?3)如果兩個(gè)勞動(dòng)力都沒(méi)有兄弟姐妹，但其中一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為12年，另一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？解答：(1)預(yù)期sibs對(duì)勞動(dòng)者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件 下，子女越多的家庭，每個(gè)孩子接受教育的時(shí)間會(huì)越短。根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計(jì)值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加 1個(gè)兄弟姐妹，受教育年數(shù)會(huì)減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時(shí)間，兄弟姐妹需增加1

5、/0.094=10.6個(gè)。(2) medu的系數(shù)表示當(dāng)兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時(shí)，母親每增加1年受教育的機(jī)會(huì)，其子女作為勞動(dòng)者就會(huì)預(yù)期增加0.131年的教育機(jī)會(huì)。(3) 首先計(jì)算兩人受教育的年數(shù)分別為10.36+0.13112+0.21012=14.45210.36+0.13116+0.21016=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2 .以企業(yè)研發(fā)支出(R&D )占銷售額的比重為被解釋變量(Y),以企業(yè)銷售額(X1 )與利潤(rùn)占銷售額的比重(X2)為解釋變量，一個(gè)有 32容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下：Y 0.472 0.32lo

6、g(X1) 0.05X2(1.(37) (0.22)(0.046)_ 2R 0.099其中括號(hào)中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。(1)解釋10g(X1)的系數(shù)。如果X1增加10%,估at Y會(huì)變化多少個(gè)百分點(diǎn)？這在經(jīng)濟(jì) 上是一個(gè)很大的影響嗎？(2)針對(duì)R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖X1而變化的假設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個(gè)檢驗(yàn)。(3)利潤(rùn)占銷售額的比重 X2對(duì)R&D強(qiáng)度Y是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響？解答：(1) 10g(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時(shí)，10g(x1)變化1個(gè)單位，Y變化的單位數(shù)，即 Y=0.32 log(X1) 0.32(X1/X1

7、)=0.32100%,換言之，當(dāng)企業(yè)銷售 X1 增長(zhǎng) 100%時(shí)，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會(huì)增加0.32個(gè)百分點(diǎn)。由此，如果 X1增加10%, Y會(huì)增加0.032個(gè)百分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個(gè)較大的影響。(2)針對(duì)備擇假設(shè) H1:10,檢驗(yàn)原假設(shè)H0:1 0。易知計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值為t=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為 32-3=29的t分布的臨界值為 1.699 (單側(cè))，計(jì)算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。 意味著R&D強(qiáng)度不隨銷售額的增加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311,計(jì)算的t值小于該值，拒絕 原假設(shè)，意味著R&a

8、mp;D強(qiáng)度隨銷售額的增加而增加。(3)對(duì)X2,參數(shù)估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)值為0.05/0.46=1.087,它比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對(duì)Y在統(tǒng)計(jì)上沒(méi)有顯著的影響。例3.下表為有關(guān)經(jīng)批準(zhǔn)的私人住房單位及其決定因素的4個(gè)模型的估計(jì)量和相關(guān)統(tǒng)計(jì)值(括號(hào)內(nèi)為p-值)(如果某項(xiàng)為空，則意味著模型中沒(méi)有此變量)。數(shù)據(jù)為美國(guó)40個(gè)城市的數(shù)據(jù)。模型如下：housing 01density2value3income4 Popchang5unemp 6localtax 7 statetax式中housing 實(shí)際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量， density 每平方英里的人口密度， value 一自

9、由房屋的均值(單位：百美元)，income 平均家庭的收入 (單位：千美元)，popchang19801992年的人口增長(zhǎng)百分比，unemp失業(yè)率，localtax人均交納的地方稅，statetax人均繳納的州稅變量模型A模型B模型C模型DC813 (0.74)-392 (0.81)-1279 (0.34)-973 (0.44)Density0.075 (0.43)0.062 (0.32)0.042 (0.47)Value-0.855 (0.13)-0.873 (0.11)-0.994 (0.06)-0.778 (0.07)Income110.41 (0.14)133.03 (0.04)125

10、.71 (0.05)116.60 (0.06)Popchang26.77 (0.11)29.19 (0.06)29.41 (0.001)24.86 (0.08)Unemp-76.55 (0.48)Localtax-0.061 (0.95)Statetax-1.006 (0.40)-1.004 (0.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220.312?21.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6(1)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯中的每一個(gè)回歸系數(shù)在 10

11、%水平下是否為零(括號(hào)中的值為雙邊備擇p-值)。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？(2)在模型A中，在10%水平下檢驗(yàn)聯(lián)合假設(shè) Ho：i =0(i=1,5,6,7)。說(shuō)明被擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，說(shuō)明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。說(shuō)明你 的結(jié)論。(3)哪個(gè)模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標(biāo)準(zhǔn)。(4)說(shuō)明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號(hào)是。說(shuō)明你的預(yù)期符號(hào)并解釋原因。確認(rèn)“錯(cuò)誤的”其是否為正確符號(hào)。 解答：(1)直接給出了 P-值，所以沒(méi)有必要計(jì)算t-統(tǒng)計(jì)值以及查t分布表。根據(jù)題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè)。由于表中所有參數(shù)的 p-值都超

12、過(guò)了 10%所以沒(méi)有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所 有解釋變量，則會(huì)得到非常奇怪的結(jié)果。其實(shí)正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量 時(shí)一定要謹(jǐn)慎，要有所選擇。本例中，value、income、popchang的p-值僅比0.1稍大一點(diǎn),在略掉unemp、localtax、statetax的模型C中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。(2)針對(duì)聯(lián)合假設(shè)Ho：i =0(i=1,5,6,7) 的備擇假設(shè)為 H1： i =0(i=1,5,6,7)中至少有一個(gè)不為零。檢驗(yàn)假設(shè)H0,實(shí)際上就是參數(shù)的約束性檢驗(yàn)，非約束模型為模型 A,約束模型為模型D,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為(RSSr RSSU)/(kU kR)(5.03

13、8e 7 4.763e 7)/(7 3)F 0.462RSSU /(n kU 1)(4.763e 7)/(40 8)顯然，在H0假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為(4, 32)的F分布的臨界值位于 2.09和2.14之間。顯然，計(jì)算的 F值小于臨界值，我們不能拒絕 H0,所以3 i(i=1,5,6,7) 是聯(lián)合不顯著的。(3)模型D中的3個(gè)解釋變量全部通過(guò)顯著性檢驗(yàn)。盡管R2與殘差平方和較大，但相對(duì)來(lái)說(shuō)其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型。(4)隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會(huì)隨之增加。所以可以預(yù)期33>0,事實(shí)上其估計(jì)值確是大于零的。同樣地，隨著

14、人口的增加，住房需求也會(huì)隨之增加，所以我們預(yù)期34>0,事實(shí)其估計(jì)值也是如此。隨著房屋價(jià)格的上升，我們預(yù)期對(duì)住房的需求人數(shù)減少，即 我們預(yù)期3 3估計(jì)值的符號(hào)為負(fù)，回歸結(jié)果與直覺(jué)相符。出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不 顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降。雖然模型A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。4、在經(jīng)典線性模型基本假定下，對(duì)含有三個(gè)自變量的多元回歸模型:3X 3你想檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是H0:1 2 2 1。(1)用？1, ?2的方差及其協(xié)方差求出Var( ?1 2 ?2) 0(2)寫(xiě)出檢驗(yàn)H0:12 21的t統(tǒng)計(jì)量。(3)如果定義 1 2 2,寫(xiě)出一個(gè)

15、涉及。、2和 3的回歸方程，以便能直接得到估計(jì)值？及其標(biāo)準(zhǔn)誤。解答：(1)由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知Var(?1 2 ?2) Var(1) 4Cov( ?, ?2)4Var( ?2)（2）由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知?2 ?1c c c ct一，其中se(? 2 ?2)為(？1 2 ?2)的標(biāo)準(zhǔn)差。se(? 2?2)(3)由i 2 2知i2 2,代入原模型得Y 0 (2 2)X12X23X30Xi2(2X1X2)3X3這就是所需的模型，其中估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤都能通過(guò)對(duì)該模型進(jìn)行估計(jì)得到。三、習(xí)題（一）基本知識(shí)類題型3-1.解釋下列概念：7）被解釋變量預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間8） 受約束回歸9）無(wú)約束回歸10）參數(shù)穩(wěn)定

16、性檢驗(yàn)1）多元線性回歸2）虛變量3）正規(guī)方程組4）無(wú)偏性5） 一致性6）參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間3-2 .觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數(shù)是否呈線性？或都是？或都不是?1） 丫0兇3i2） Yi01logXi i3) log Y01 log X4) Y o i( 2Xi)6) Y 1 o(1 Xi1) i7) Yi01X 1i2 X 2i 10 i3-3.多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區(qū)別？3-4.為什么說(shuō)最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無(wú)偏估計(jì)量？多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計(jì)的條件是什么？3-5.多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么？試說(shuō)明在證明最小二乘估計(jì)

17、量的無(wú)偏性和有效性的過(guò)程中，哪些基本假設(shè)起了作用？3-6.請(qǐng)說(shuō)明區(qū)間估計(jì)的含義。(二)基本證明與問(wèn)答類題型3-7 .什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫(xiě)出模型：yi01x1i 2x2ikxkiui , i 1,2, ,口的正規(guī)方程組，及其推導(dǎo)過(guò)程。3-8.對(duì)于多元線性回歸模型，證明：(1) 60(2) y?iQ(Z ?X1i NxGe 03-9.為什么從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型得到的預(yù)測(cè)值不是一個(gè)確定的值？預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間和置信度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區(qū)間？為什么？3-10.在多元線性回歸分析中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否有等價(jià)的作用？3-11

18、.設(shè)有模型：y 01x12x2 u,試在下列條件下：(1) 121分別求出 1 和 2 的最小二乘估計(jì)量。3-12多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型yi0 iXii 2X2ikXkiii 1,2,n（2.11.1）的矩陣形式是什么？其中每個(gè)矩陣的含義是什么？熟練地寫(xiě)出用矩陣表示的該模型的普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量， 并證明在滿足基本假設(shè)的情況下該普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量是無(wú)偏和有效的估計(jì)量。3-13有如下生產(chǎn)函數(shù)：lnX 1.37 0.632ln K 0.452ln L（0.257）（0.219）2 R20.98Cov（bK, bL） 0.055其中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。請(qǐng)檢驗(yàn)以下零假設(shè)：（ 1 ）產(chǎn)出量的資

19、本彈性和勞動(dòng)彈性是等同的；（ 2 ）存在不變規(guī)模收益，即1 。3-14.對(duì)模型yi 01x1i2x2ikxki ui應(yīng)用OLS法，得到回歸方程如下:y?i01 x1i2 x2 ik Xki要求：證明殘差iyiy?i 與 y?i 不相關(guān)，即：y?ii 0 。3-153-16考慮下列兩個(gè)模型：yi12x2i3x3iui(yix2i)2 x2i3 x3iui要求： （ 1 ）證明：?21 ， ?11，2）證明：殘差的最小二乘估計(jì)量相同，即：u?iu?i（3）在何種情況下，模型n的擬合優(yōu)度R；會(huì)小于模型I擬合優(yōu)度R12。3-17 假設(shè)要求你建立一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來(lái)說(shuō)明在學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的

20、人你通過(guò)整個(gè)學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。個(gè)可能的解釋性方程：方程 A ： Y 125.0 15.0X1 1.0X2 1.5X3R2 0.75方程 B:Y? 123.0 14.0X1 5.5X2 3.7X4 R2 0.73其中：Y 某天慢跑者的人數(shù)X1 該天降雨的英寸數(shù)X2 該天日照的小時(shí)數(shù)X3 該天的最高溫度(按華氏溫度)X4 第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)這兩個(gè)方程你認(rèn)為哪個(gè)更合理些，為什么？(2)為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計(jì)相同變量的系數(shù)得到不同的符號(hào)？3-18.對(duì)下列模型：yXi2ziUi(1)yXi ZiUi(2)求出3的最小二乘

21、估計(jì)值；并將結(jié)果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計(jì)值作比較：(3) yiXiZi Ui ，你認(rèn)為哪一個(gè)估計(jì)值更好？3-19.假定以校園內(nèi)食堂每天賣出的盒飯數(shù)量作為被解釋變量，盒飯價(jià)格、氣溫、附近餐廳 的盒飯價(jià)格、學(xué)校當(dāng)日的學(xué)生數(shù)量(單位：千人)作為解釋變量，進(jìn)行回歸分析；假設(shè)不管 是否有假期，食堂都營(yíng)業(yè)。不幸的是，食堂內(nèi)的計(jì)算機(jī)被一次病毒侵犯，所有的存儲(chǔ)丟失， 無(wú)法恢復(fù)，你不能說(shuō)出獨(dú)立變量分別代表著哪一項(xiàng)！下面是回歸結(jié)果(括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差)Y? 10.6 28.4X1i 12.7X2i 0.61X3i 5.9X4i-2(2.6)(6.3)(0.61)(5.9) R 0.63 n 35要求:(1

22、)試判定每項(xiàng)結(jié)果對(duì)應(yīng)著哪一個(gè)變量？(2)對(duì)你的判定結(jié)論做出說(shuō)明。(三)基本計(jì)算類題型3-20.試對(duì)二元線性回歸模型：丫 0 iXii 2X2 Ui ,(i 1,2, ,n)作回歸分析，要求：(1)求出未知參數(shù)0, 1, 2的最小二乘估計(jì)量？0, Z,?2;(2)求出隨機(jī)誤差項(xiàng)u的方差 2的無(wú)偏估計(jì)量；(3)對(duì)樣本回歸方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；(4)對(duì)總體回歸方程的顯著性進(jìn)行F檢驗(yàn)；(5)對(duì)1, 2的顯著性進(jìn)行t檢驗(yàn)；(6)當(dāng)X。(1,X10,X2o)時(shí)，寫(xiě)出E(Yo |Xo)和Y0的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。3-21.下表給出三變量模型的回歸結(jié)果：方差來(lái)源平方和(SS)自由度(d.f.)平方和白均值

23、(MSS)來(lái)自回歸65965一一來(lái)自殘差一一一總離差(TSS)6604214要求：(1)樣本容量是多少？(2)求 RSS?(3) ESS和RSS的自由度各是多少？2 2(4)求 R2 和 R ?(5)檢驗(yàn)假設(shè)：X2和X3 X丫無(wú)影響。你用什么假設(shè)檢驗(yàn)？為什么？(6)根據(jù)以上信息，你能否確定X2和X3各自對(duì)Y的貢獻(xiàn)嗎？3-22.下面給出依據(jù)15個(gè)觀察值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)：Y 367.693 , X2 402.760 , X3 8.0 ,y2 66042.269x2i84855096 ,x2i 280.0 , yiX2i 74778.346yiX3i4250.9X2iX3i4796.0其中小寫(xiě)字母代表

24、了各值與其樣本均值的離差。要求：(1)估計(jì)三個(gè)多元回歸系數(shù)；2(2)估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差；并求出R2與R ?(3)估計(jì)B2、B3 95%的置信區(qū)間；(4)在 5%下，檢驗(yàn)估計(jì)的每個(gè)回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性(雙邊檢驗(yàn))；(5)檢驗(yàn)在5%下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。3-23.考慮以下方程(括號(hào)內(nèi)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差)：W? 8.562 0.364P 0.004P i 2.560Ut(0.080) (0.072)(0.658) n 19 R20.873其中：W t年的每位雇員的工資和薪水Pt年的物價(jià)水平U t年的失業(yè)率要求：(1)對(duì)個(gè)人收入估計(jì)的斜率系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；(盡量在做本題之前不參考結(jié)果)(2

25、)討論P(yáng)t 1在理論上的正確性，對(duì)本模型的正確性進(jìn)行討論；Pt是否應(yīng)從方程中刪除？為什么？3-24.下表是某種商品的需求量、價(jià)格和消費(fèi)者收入十年的時(shí)間序列資料：年份12345678910需求量59190654506236064700674006444068000724007571070680價(jià)格23.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68收入7620091200106700111600119000129200143400159600180000193000要求：(1)已知商品需求量 Y是其價(jià)格X1和消費(fèi)者收入 X2的函數(shù)，試求Y對(duì)X1和X

26、2的最小二乘回歸方程：Y? ?0 ?X1?2X2(2)求Y的總變差中未被 X1和X2解釋的部分，并對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn);(3)對(duì)回歸參數(shù) ？1,馬進(jìn)行顯著性t檢驗(yàn)。3-25.參考習(xí)題2-28給出的數(shù)據(jù)，要求:(1)建立一個(gè)多元回歸模型，解釋MBA畢業(yè)生的平均初職工資，并且求出回歸結(jié)果;(2)如果模型中包括了 GPA和GMAT分?jǐn)?shù)這兩個(gè)解釋變量，先驗(yàn)地，你可能會(huì)遇到什么問(wèn)題，為什么？(3)如果學(xué)費(fèi)這一變量的系數(shù)為正、并且在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，是否表示進(jìn)入最昂貴的商業(yè)學(xué)校是值得的。學(xué)費(fèi)這個(gè)變量可用什么來(lái)代替？3-26.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水(1)

27、試求出學(xué)生購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物的支出Y與受教育年限Xi和家庭收入水平X2的估計(jì)平有關(guān)，對(duì)18名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：學(xué)生序號(hào)購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物支出丫(兀/受教育年限X1 (年)家庭月可支配收入X2 (元/月)1450.54171.22507.74174.23613.95204.34563.44218.75501.54219.46781.57240.47541.84273.58611.15294.891222.110330.210793.27333.111660.85366.012792 76350 913580.84357.914612.75359.015890.87_ 371.9

28、_161121 09435 3171094.28523.9181253 010604 1要求：22(2)對(duì)i, 2的顯著性進(jìn)行t檢驗(yàn)；計(jì)算R和R ；(3)假設(shè)有一學(xué)生的受教育年限Xi 10年，家庭收入水平X2 48磯/月，試預(yù)測(cè)該學(xué)生全年購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍及課外讀物的支出，并求出相應(yīng)的預(yù)測(cè)區(qū)間(“=0.05)。3-27 .根據(jù)100X(Xi, y)的觀察值計(jì)算出：x2 12 xy 9y2 30要求：(1)求出一元模型y 01X1 u中的i的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量；(2)后來(lái)發(fā)現(xiàn)y還受X2的影響，于是將一元模型改為二元模型y 01X12X2 v,收集X2的相應(yīng)觀察值并計(jì)算出：2x2 6X2y

29、 8X1X2 2求二元模型中的1 ,2的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量；(3) 一元模型中的 ？與二元模型中的 ?1是否相等？為什么？3-28.考慮以下預(yù)測(cè)的回歸方程：Y? 120 0.10Ft 5.33RStR2 0.50其中：Yt 第t年的玉米產(chǎn)量(蒲式耳/畝)Ft 第t年的施肥強(qiáng)度(磅/畝)RSt 第t年的降雨量(英寸)要求回答下列問(wèn)題：(1)從F和RS又丫的影響方面，說(shuō)出本方程中系數(shù)0.10和5.33的含義；(2)常數(shù)項(xiàng)120是否意味著玉米的負(fù)產(chǎn)量可能存在？(3)假定f的真實(shí)值為0.40,則估計(jì)值是否有偏？為什么？(4)假定該方程并不滿足所有的古典模型假設(shè)，即并不是最佳線性無(wú)偏估

30、計(jì)值，則是否意味著rs的真實(shí)值絕對(duì)不等于5.33 ?為什么?3-29.已知線性回歸模型Y XB U 式中 U(02I ), n 13且k 3 ( n為樣本容量，k為參數(shù)的個(gè)數(shù))由二次型(Y XB)'(Y XB)的最小化得到如下線性方程組:2?15?2?326 ?3要求：(1)把問(wèn)題寫(xiě)成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之;(2)如果 Y Y 53,求？2；(3)求出？的方差一協(xié)方差矩陣。3-30.已知數(shù)據(jù)如下表:YXiX211103298351541285-6要求：(1)先根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)以下回歸模型的方程(只估計(jì)參數(shù)不用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差)yi01 x1iu1iyi02X2iU2iyi01

31、X1i 2 X2iui(2)回答下列問(wèn)題：11嗎？為什么？ 22嗎？為什么?(四)自我綜合練習(xí)類題型3-31自己選擇研究對(duì)象（最好是一個(gè)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題），收集樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件（建議使用 Eviews3.1 ） ，完成建立多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的全過(guò)程，并寫(xiě)出詳細(xì)研究報(bào)告。習(xí)題參考答案（一）基本知識(shí)類題型3-1解釋下列概念（ 1 ）在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中往往存在一個(gè)被解釋變量受到多個(gè)解釋變量的影響的現(xiàn)象，表現(xiàn)為在線性回歸模型中有多個(gè)解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元指多個(gè)解釋變量。（ 2 ）形如 B? 的關(guān)于參數(shù)估計(jì)值的線性代數(shù)方程組稱為正規(guī)方程組。3-2答：變量非線性、系數(shù)線性

32、；變量、系數(shù)均線性；變量、系數(shù)均線性；變量線性、系數(shù)非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為線性。3-3 答： 多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面： 一是解釋變量的個(gè)數(shù)不同；二是模型的經(jīng)典假設(shè)不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型多了“解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)式的表達(dá)更復(fù)雜；3-4 在多元線性回歸模型中， 參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具備線性、 無(wú)偏性、 最小方差性，同時(shí)多元線性回歸模型滿足經(jīng)典假定，所以此時(shí)的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無(wú)偏估計(jì)量，又稱BLUE 估計(jì)量。對(duì)于多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程

33、組，3-5答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定、解釋變量的非隨機(jī)性假定、 解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系假定、 隨機(jī)誤差項(xiàng)u i 服從均值為 0 方差為 2 的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計(jì)量的無(wú)偏性中，利用了解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假定；在有效性的證明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。3-6 答： 區(qū)間估計(jì)是指研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值 （從一組樣本觀測(cè)值算得的） 作為近似值的精確程度和誤差范圍。（二）基本證明與問(wèn)答類題型3-7答：含有待估關(guān)系估計(jì)量的方程組稱為正規(guī)方程組。正規(guī)方程組的非矩陣形式如下：yi(I.1X1i2X2ik Xki )0yiX1i(?0?

34、X1X1i?x2X2ik Xki ) X1 i0yiX2i(?0?、， 1X1i?2X2i?Xki)X2i0yiXki(?0?、， 1X1i?2X2i?、，k Xki) Xki0正規(guī)方程組的矩陣形式如下:B?推導(dǎo)過(guò)程略。3-16.解:(1)證明：由參數(shù)估計(jì)公式可得下列參數(shù)估計(jì)值X2i X3i2 X3iX2i (yiX2i)X3i (yiX2i)x2i x3iX2iX3i2 X3iX2VX3iX2 X2iX2i X3i2X3i2X2iX2iX3iX2i X3i 2 X3iX2iX3i2 X2iX2iX3iX2i X3i2X3iX2i X3i2X3iX2iX3iX2i(yiX3i (yiX2i )

35、X2i)2X2iX2iX3iX2 i X3i2 X3i2X2iX2i V2X2i2X2iX2iX3i2X2iX3i VX2i X3iX2iX3i2 X2iX2i X3iX2i X3iX2iX3iX2iX3iy xqX2<3X3(1?2)X2<3X32 X23 X3證畢。證明：u?yix2i?1?2x2i?3x3iyi?1(1?2)x2i?3X3iyi?12X2i?3X3i?證畢。設(shè)：ZiyiX2iI式的擬合優(yōu)度為:R2ESS1 1TSSu2(yi y)2ii式的擬合優(yōu)度為:ESS1 1TSSu?2(z Z)2在中已經(jīng)證得u?u?i成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合優(yōu)度R；小于

36、模型 2. 22I的擬合優(yōu)度 R ,必須滿足：（z z） （% y）。3-17.答：方程B更合理些。原因是：方程 B中的參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)與現(xiàn)實(shí)更接近些，如與日照的小時(shí)數(shù)同向變化，天長(zhǎng)則慢跑的人會(huì)多些；與第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)成反向變化，這一點(diǎn)在學(xué)校的跑道模型中是一個(gè)合理的解釋變量。解釋變量的系數(shù)表明該變量的單位變化在方程中其他解釋變量不變的條件下對(duì)被解釋變量的影響，在方程 A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程 A選擇的是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)”，由此造成X2 與這兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同，所以用相同的數(shù)據(jù)估計(jì)相同的變量得到不同的符號(hào)。3-18.

37、答:將模型改寫(xiě)成（yj 2zi）Xi Ui ,則的估計(jì)值為:(Xi X)(yi 2Zi)(XiX)2將模型改寫(xiě)成yi（X 乙）Ui ,則的估計(jì)值為:?（Xi Zi x z）yi（為 Z X Z）2這兩個(gè)模型都是三變量回歸模型在某種限制條件下的變形。如果限制條件正確，則前 兩個(gè)回歸參數(shù)會(huì)更有效；如果限制條件不正確則前兩個(gè)回歸參數(shù)會(huì)有偏。3-19.答：答案并不唯一，猜測(cè)為：Xi為學(xué)生數(shù)量，X2為附近餐廳的盒飯價(jià)格，X3為氣溫,X4為校園內(nèi)食堂的盒飯價(jià)格；理由是被解釋變量應(yīng)與學(xué)生數(shù)量成正比，并且應(yīng)該影響顯著；與本食堂盒飯價(jià)格 成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價(jià)格成正比，因?yàn)楸舜耸翘娲?；與 氣溫的變化關(guān)系不是十分顯著，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生不會(huì)因?yàn)闅鉁厣卟怀燥?。（三）基本?jì)算類題型3-22.解：2?yiX2ix3iyiX3iX2ix3i222X2iX3iX2iX3iX2i X3i74778.346 280 4250.9 4796.0Z_ _284855.096 280 4796.05506207578100.72662?yiX3iX2iyiX2iX2iX3i322X2iX3iX2i X3iX2i X3i4250.9 84855.096 74778.346 4796.084855.096 280 4796.0220735807578102.7363? YNX2?3X3367.6