極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第一部分：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【考綱知識(shí)梳理】1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換:x ?X， 0的作用下，點(diǎn)P x, y對(duì)應(yīng)到點(diǎn)Px,y，稱(chēng) 為平 y ?y,0直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖(1)所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)。引一條射線Ox,叫做極軸；再選定 一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了 一個(gè)極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一

2、對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)0與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角 xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)，叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M ,. 一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為 0,可取任意實(shí)數(shù).特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為0, R。和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.如果規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)，表示；同時(shí),極坐標(biāo)，表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 (1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為

3、極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，如圖(2)所示：0，于(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是x, y ,極坐標(biāo)是是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表點(diǎn)M直角坐標(biāo)x, y極坐標(biāo)，互化公式在一般情況下，由tan確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角4 .常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓圓心為r,0 ,半徑為r的圓圓心為r,-，半徑為r2的圓過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為的直線R或R(2)0或0過(guò)點(diǎn)a,0 ,與極軸垂直的直線過(guò)點(diǎn)a,_，與極軸平行的直線注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即，2, 都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對(duì)

4、于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程點(diǎn)5M 一,一可以表示為M ,2 或M ,2 或M ,等多種形式 ，其 中，只有4 44 44 44 4M -,-的極坐標(biāo)滿足方程4 4二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)x ftf t，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M x,y都在這條曲線上，那y g t么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x, y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)，相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2 .參數(shù)方程和普通方程

5、的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x, y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x f t ,把它代入普通方程，求出另一 x f t個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y g t ,那么x f t就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的 y g t互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3.圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓。的半徑為周運(yùn)動(dòng)，設(shè)程，其中的幾何意義是OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度。圓心為

6、 a,b ,半徑為r的圓的普通方程是它的參數(shù)方程為:r cos4 aA.為參數(shù)。r sin4.橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心,2焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 三 a2自1ab 0其參數(shù)方程為a cos 4aA.為參數(shù)， bsin其中參數(shù) 稱(chēng)為離心角；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 y2 a21 a b 0其參數(shù)方程為x bcos為參數(shù)其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參 y asin注:的范圍為 0,2 。橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的r,點(diǎn)M從初始位置Mo出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫A O上作勻速圓rcos為參數(shù)。這就是圓心在原點(diǎn) O,半徑為r的圓的參數(shù)方

7、r sin0到2的范一時(shí)，相應(yīng)地也有0,22旋轉(zhuǎn)角 區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在 圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0 在其他象限內(nèi)類(lèi)似。5 .雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為2 x2 a2T 1a 0,b0其參數(shù)方程為xy：為參數(shù),其中0,2且-隹占在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是22yx2,2ab0,b 0其參數(shù)方程為x bcot為參數(shù)，其中0.2 且y acsc以上參數(shù) 都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線y2 2px p 0的參數(shù)方程為 x 2pt2t為參數(shù)

8、y 2 Pt7 .直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0 X0, y0 ,傾斜角為 一的直線l的普通方程是y y tan x X0而過(guò) 2M°X0,y。，傾斜角為 的直線l的參數(shù)方程為x x0 tcos t為參數(shù)。 y V。 tsm注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過(guò)定點(diǎn) M0 X0,y0 ,傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為x % tcos t為參數(shù)，其中t表示直線上以定點(diǎn)m0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M x ,y為終點(diǎn)的 y V。 t sin有向線段M°M.的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)M在M0上方時(shí)，t >0;當(dāng)點(diǎn)M在M0下方時(shí)，tV0;當(dāng)點(diǎn)M與M0重合時(shí)，t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以M0為原點(diǎn)，直線l向

9、上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度相同?！疽c(diǎn)名師透析】一、坐標(biāo)系(一)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1例在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：x/ 3x2y y(1)求點(diǎn)A 1 2經(jīng)過(guò) 變換所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)；31B ( 3,)(2)點(diǎn)B經(jīng)過(guò) 變換得到點(diǎn)2 ,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)求直線l：y 6x經(jīng)過(guò) 變換后所得到直線的l方程;22 yC : X2 ,1（4）求雙曲線64 經(jīng)過(guò) 變換后所得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（二）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化5A（2, ）, B（2,）R例2在極坐標(biāo)系中，如果 44為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn) C的極坐標(biāo)（0,02 ）。（

10、三）求曲線的極坐標(biāo)方程B0已知P, Q分別在/ A0B的兩邊0A 0B上，/A0B1,，P0Q勺面積為8,求PQ中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程。（四）極坐標(biāo)的應(yīng)用如圖，點(diǎn)A在直線x=4上移動(dòng)，OPA為等腰直角三角形，OPA勺頂角為/ OPA（0,P, A依次按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。二、參數(shù)方程（一）把參數(shù)方程化為普通方程x =8 cos 0,A =3而& （日為參數(shù)）。K - -4 + cosf,已知曲線C： 4 = 3+"%（t為參數(shù)），C ：（1）化C C的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t 5,Q為C之上的動(dòng)點(diǎn)，求口

11、中點(diǎn)M到直線xC3： y3 2t （t為參數(shù)）距離的最小值。2 t橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系汗中，點(diǎn)尸仁?。┦菣E圓-41上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 _解答:（三）直線參數(shù)方程的應(yīng)用BO過(guò)點(diǎn)尸”廠勘作傾斜角為&的直線與曲線交于點(diǎn)MR ,求儂|.附|的值 及相應(yīng)的圖的值。解析：圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，=2+ 於（日L心/2瞄日 為參數(shù)），且曲線C與直線a J為=0相交于兩（四）已知曲線C的參數(shù)方程是BO點(diǎn)A（1）求曲線C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分線的方程（3）求弦AB的長(zhǎng)【感悟高考真題】1.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2, 3）到圓2cos的圓心的距離為（）(A) 2(B)(C)(D) ,32.

12、在極坐標(biāo)系中，圓2sin的圓心的極坐標(biāo)是（）(A) (1,2)(B)(1, 2)(C) (1，0)(D) (1，)x cos3 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為y 1 sin ,（為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角 坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線 。2的 方程為90s sin ） 1 0，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 x 2 cos4. 直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為y森加（為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐 標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線 C2的方= 2sin 4cos ,以極點(diǎn)為原程為（co

13、s sin ） 1 0,則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5. （1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為6. （2011 陜西高考理科T15C）直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸x 3 cos建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A, B分別在曲線Cl: y 4 sin （為參數(shù)）和曲線C2:1上，則1ABi的最小值為 .7 .（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系 xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸x 3 cos建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A, B分別在曲線G： y sin （為參數(shù)）和曲線C2：1上，則1ABi的最小值為 -8.

14、（2011.天津高考理科.T11）.已知拋物線C的參數(shù)方程為 x 8t "為參數(shù)）若斜率為1 y 8t2 2 /.5 cos 小一 、(0W v )sin和的直線經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓（x-4） +y =r （r>0）相切，則r =x9. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為y5j x t4 (t y tR）,它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為10. (2)在直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的方程為 x-y+4=0 ,曲線C的參數(shù)方程為x .3cos y sin（為參數(shù)）.（I）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn) P的

15、極坐標(biāo)為4-,判斷點(diǎn)P與直線l位置關(guān) 2系；（II ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線 l的距離的最小值.11. 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分 10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓x 5cosx 4 2t12. 3sin（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線y 3 t （t為參數(shù)）平行的直線的普通方程。13. （2011 新課標(biāo)全國(guó)高考理科 T 23）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x 2cos c c uivuuuvy 2 2sin（為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP 2OM ,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2（I ）求C2的方程（n）在以o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)

16、系中，射線3與ci的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求AB .14. （2011 新課標(biāo)全國(guó)高考文科 T 23）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x 2cos uuv uuuvy 2 2sin （為參數(shù)）M是Ci上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足0P 2OM ,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2（I ）求C2的方程（n）在以o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求AB .15. （2011 遼寧高考理科 T 23）（本小題滿分10分）（選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x cos , 4外興人

17、.（為參數(shù)）y sin ,曲線C2的參數(shù)方程為x a cos ,4仝花（a b 0,為參數(shù)）y bsin，.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線I:。=2與01, C2各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2,當(dāng)a=2時(shí)，這兩個(gè)交 點(diǎn)重合.（I）分別說(shuō)明C1, C2是什么曲線，并求出a與b的值；冗冗（II ）設(shè)當(dāng) =4時(shí)，I與C1, C2的交點(diǎn)分別為 A1, B1,當(dāng)a=-4時(shí)，|與C1,C2的交點(diǎn)為A2, B2,求四邊形 A1A2B2B1的面積.x 1 t15 .極坐標(biāo)p cos和參數(shù)方程 y 2 t （t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（D）A.直線、直線 B.直線、圓

18、C.圓、圓D.圓、直線16 .極坐標(biāo)方程（p-1 ） （） = （p 0）表示的圖形是（A）兩個(gè)圓（B）兩條直線（Q 一個(gè)圓和一條射線（D） 一條直線和一條射線17 .在極坐標(biāo)系（p, 8） （0 <8 <2兀）中，曲線p = 2sin與陞0s1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為., x cos18 .已知P為半圓C:（為參數(shù)，0）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）, Oy sin為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OMW C的?。籗的長(zhǎng)度均為一。3（I）以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；（II ）求直線AM的參數(shù)方程?！究键c(diǎn)模擬演練】一、選擇題1 .已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) P2,

19、 5!，則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別 3為（）A. 2, 2 , （1 ,m） B. 2,一點(diǎn)，（1 ,一木） C. 2, T , （ 1 , V3） 333D. 2, -2 , （ 1,-我2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,-心.若以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正 半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是（）A. 1, -y B. 2, 43 C. 2, -3-D. 2, -4333333 .在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)C（-3,-血,若以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸， 則點(diǎn)C的極坐標(biāo)（p , 8 ）（ p >0,兀< 8 <0）可寫(xiě)為 .兀 .4

20、 .過(guò)點(diǎn)2, 7平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是 （）A. p cos 0 = 4 B . p sin 0=4 Cp sin 0 = 22D. p cos 0 = 答案：C5.曲線的參數(shù)方程是1 x= 1 -（t是參數(shù)，t¥0）,它的普通方程是（）y=1 12A. (x-1)2(y 1) = 1B. y = x ：2)C . y = /+1 D. y=111 X 21 X21 X 26 .直線p cos 0 = 2關(guān)于直線9 = A對(duì)稱(chēng)的直線方程為（）D. p = 2sin 0A. p cos 0 = 2 B. p sin 0 = 2 C . p sin 0 = - 22x=- 1-a7.已知直線l的參數(shù)方程為2y=2+孕2A. 1 B . - 1 C. + Dx = 2cos 08.直線3x 4y 9=0與圓：y = 2sin 0A.相切B.相離 C（t為參數(shù)），則直線l的斜率為（）2,（9為參數(shù)）的位置關(guān)系是 （）.直線過(guò)圓心D .相交但不過(guò)圓心9 .設(shè)直線過(guò)極坐標(biāo)系中的點(diǎn)M（2,0）,且垂直于極軸，則它的極坐標(biāo)方程為 花 、.一 10