線面垂直及面面垂直典型例題

1、基礎(chǔ)要點(diǎn)1、若直線A、/線面垂直與面面垂直a與平面2、在斜三棱柱 ABC足為H，則H一定在A、直線AC上3、如圖示，平面所成的角相等，則平面不一定平行于A1B1C1, BACB、直線AB上，平面 ，A , B過A B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A、2:1B、3:1C、3:24、如圖示，直三棱柱 ABB1 DCC1中,BC 2,CG IDCk有一動(dòng)點(diǎn) P,則4與的位置關(guān)系是（B ）不平行于D、以上結(jié)論都不正確90：，又 BC1 AC ,過 C1 作 C1H，底面 ABC 垂C、直線BC上,AB與兩平面D、4:3ABB1 90 , ABAPCi周長(zhǎng)的最小值是5.已知長(zhǎng)方體 ABCD A1B1cl

2、D1 中，A1A AB 2,若棱AB上存在點(diǎn) 巳使得D1P PC ,則棱AD長(zhǎng)的取值范圍是D、ABC勺內(nèi)部所成的角分別為一和一464,AB題型一：直線、平面垂直的應(yīng)用1) （2014,江蘇卷）如圖，在三棱錐 P-ABC中，D, E, F分別為棱PC, AG AB的中點(diǎn).已知 PA AC, PA 6, BC 8, DF 5.求證： （1） PA 平面 DEF PA | 平面 DEF ；（2）平面BDE 平面ABC BDEJ.平面ABC.證明：（1） 因?yàn)镈, E分別為棱PC, AC的中點(diǎn),所以 DE/ PA.又因?yàn)?PA ?平面 DEF DE 平面 DEF所以直線PA/平面DEF.2) ) 因?yàn)?/p>

3、D,E,F分別為棱PGAC,AB的中點(diǎn)，PA= 6,BC= 8,所以DE/PA,DE= - PA2=3, EF= 1 BC= 4. 2又因 DF=5,故 DFDE+EF2,所以/ DEF= 90° ,即 DE± EF.又 PAI AG DE/ PA 所以 DEL AC.因?yàn)锳6 EF= E, AC 平面ABC EF 平面ABC；所以DE1平面ABC.又DE平面BDE所以平面BDEL平面ABC.2.（2014,北京卷，文科）如圖，在三棱柱 ABC A1B1c1中，側(cè)棱垂直于底面，AB BC, AA AC 2, E、F分別為A1C1、BC的中與 八、.（1）求證：平面 ABE

4、平面B1BCC1； （2）求證：CF/平面ABE.證明：（1）在三棱柱ABC ABiC1中,BB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,I k1 AB 平面ABE, 平面ABE 平面B1 BCC1.(2)取AB的中點(diǎn)G,連接EG FG-1: E、F 分別為 AG、BC 的中點(diǎn)， FG AC, FG AC,27 AC |aCi, AC ACi, FG | ECn FG EC1，則四邊形 FGECi 為平行四邊形，C1F EG, '/EG 平面 ABE,C1F 平面 ABE, C1F 平面 ABE .3 .如圖，P是 ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA 平面

5、ABC,平面PAC 平面PBC .求證 BC AC .分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直， 應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直.證明：在平面PAC內(nèi)作AD PC ,交PC于D .因?yàn)槠矫鍼AC 平面PBC于PC ,AD 平面PAC，且AD PC ,所以AD 平面PBC ,又因?yàn)锽C 平面PBC ,于 是有AD BC.另外PA 平面ABC , BC 平面ABC ,所以PA BC .由及 AD PA A,可知BC 平面PAC .因?yàn)锳C 平面PAC ,所以BC AC .說明：在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)

6、系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直 線線垂直.4 . 過點(diǎn)S引三條不共面的直線SA、 SB、 SC,如圖， BSC 90 ,ASC ASB 60 ,若截取 SA SB SC a(1)求證：平面 ABC 平面BSC;(2)求S到平面ABC的距離.A分析：要證明平面 ABC 平面BSC,根據(jù)面面垂直的判定定理， 須在平面 ABC或平面BSC內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線.(1)證明：. SA SB SC a,又 ASC ASB 60 , ASB和 ASC都是等邊三角形， AB AC a,取BC的中點(diǎn)H ,連結(jié)AH , AH BC .在 Rt BSC 中，BS CS a , . SH BC ,

7、 BC V2a , AH 2 AC2 CH 2 a2 號(hào)a)2 a- . sh 2 a-. 22222在 SHA 中，. AH2 a-, SH2 a-, SA2 a2, 22 .SA2 SH2 HA2, AH SH , . AH 平面 SBC. AH 平面ABC,，平面ABC 平面BSC.或：: SA AC AB,，頂點(diǎn)A在平面BSC內(nèi)的射影H為 BSC的外心，又 BSC為Rt , H在斜邊BC上，又 BSC為等腰直角三角形， H為BC的中點(diǎn)， AH 平面BSC. AH 平面ABC , 平面ABC 平面BSC.(2)解：由前所證：SH AH , SH BC, SH 平面ABC , BC 2 S

8、H的長(zhǎng)即為點(diǎn)S到平面ABC的距離，SH a,221 -k3口匚+, 2點(diǎn)S到平面ABC的距離為 a .5、如圖示，ABC時(shí)長(zhǎng)方形，SA垂直于ABC所在平面，過 A且垂直于SC的平面分別交 SB SG SD于E、F、G,求證：AE± SBAGL SD6 .在四麴t P-ABCD中，側(cè)面PC皿正三角形，且與底面ABCD®直，已知底面是面積為 2工3的菱形， ADC 60 , M是PB中點(diǎn)。(1)求證：PA CD(2)求證：平面 PAB 平面 CDM7 .在多面體 ABCDE, AB=BC=AC=AE=1CD=2AE 面 ABC, AE 圖示，在正四棱柱ABCD AB1clD1中

9、，AB 1,BB1 J3 1,E為 BBi 上使 BiE 1的點(diǎn)，平面AEC1交DD1于F,交AD的延長(zhǎng) 線于G,求:(1)異面直線 AD與C1G所成的角的大小(2)二面角A C1G A1的正弦值2.如圖，點(diǎn)A在銳二面角MN 的棱MN上，在面 內(nèi)引射線AP,使AP與MN所成的角 PAM為45 ,MN的大小.分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角,然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解.解：在射線AP上取一點(diǎn)連結(jié)AH ,則BAH為射線AP與平面所成的角,BAH 30.再作BQMN，交MN于Q ,連結(jié)HQ ,則HQ為BQ在平面的射影.由三垂線定理的逆定理， H

10、Q MNBQH為二面角MN的平面角.設(shè)BQ a ,在RtBAQ中BQABAMAB 72a ,在 Rt BHQ 中,BHQ90 ,BQa,BH2.a, sin 2BQHBHBQBQH是銳角,BQH45 ,即二面角MN說明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角,.面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存,要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線.3. 正方體ABCD A1B1c1D1的棱長(zhǎng)為1, P是AD的中點(diǎn).求二面角 A BD1 P的大小.分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平 面上分別作棱的垂線，

11、 方法雖簡(jiǎn)便，但因與其他條件沒有聯(lián)系， 要求這個(gè)平面角一般是很不 容易的，所以在解題中不大應(yīng)用.在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考 慮到AB垂直于平面ADi , BDi在平面ADi上的射影就是 ADi .再過P作ADi的垂線則PF 面ABD1，過F作DB的垂線FE , PEF即為所求二面角的平面角了.解：過 AB面 AD1 , PFABPF ,又 PF又 PE BD1，EF. RtADiDs PFA,，DDi1吊AD的垂線，垂足分別是 E、F ,連結(jié)EF .AD1，PF 面 ABD1.BDi,PEF為所求二面角的平面角.PF APDD1 AD1AD1 y'2 ,PF在 PBD1中，PDi在 Rt PEB 中，PE. PB2 BE2"Rt PEF 中,PEF 30 .垂直于矩形ABCN在平面,M E、N分別是AB 0口 PC的中點(diǎn),(1)求證：MN/平面PAD(2)若二面角 P-DC-A為一，求證：平面MND_平面PDC45.已知正方體中 ABCD A1B1C1D1, E為棱CCi上的動(dòng)點(diǎn)，(1)求證：AiE XBD (2)當(dāng)E恰為棱CCi的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面 ABD，平面EBD(3)在CCi上是否存在一個(gè)點(diǎn) E,可以使二面角 Ai BD E的大小為45如果存在，試 確定E在CCi上的