圓錐曲線題型總結(jié)材料

1、實(shí)用文檔直線和圓錐曲線常考題型運(yùn)用的知識(shí)：1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：x= x1 ；x2 ,y = y1 ；y2 ,其中x,y是點(diǎn)A(x1, y1), B(x2, y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長公式：若點(diǎn) A(x1,y1), B(x2, y2)在直線 y = kx+ b(k # 0)上，則y1 =kx1 +b, y2 =kx2+b ,這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，AB = J(xl -x2)2 +(yi _y2)2 = (xi x2)2 +(kxi - kx2)2 = (1 + k2)(xi - x2)2=.(1 k )(x x2)-4x1x2(1 屋2 )( y1 - y2)2或者 1AB

2、 =J(x1 一 x2)2+(yLy2)2 中1x1 一 他何 一 y2)2(1 +±)( T +y2)2 4yy2。3、兩條直線 11 : y =k1x+b1,l2 : y = k2x+b2垂直：則 k1k2=-1兩條直線垂直，則直線所在的向量v1v2 =02b c4、韋達(dá)定理：右一兀二次萬程 ax +bx+c = 0(a =0)有兩個(gè)不同的根 x1,x2,則x1+x2 =-一，x1x2 =一。a a常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型

3、七：弦或弦長為定值問題題型八：角度問題問題九：四點(diǎn)共線問題問題十：范圍問題(本質(zhì)是函數(shù)問題)問題十一、存在性問題：(存在點(diǎn)，存在直線 y=kx+m,存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形(等比、等腰、直角) ，四邊形(矩 形、菱形、正方形)，圓) 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系22例題1、已知直線1 : y = kx +1與橢圓c :二+匕=1始終有交點(diǎn)，求 m的取值范圍4 m22_解：根據(jù)直線l : y =kx+1的方程可知，直線恒過定點(diǎn)(0, 1),橢圓C :人+上=1過動(dòng)點(diǎn)(0,土。桁),且m = 4,如 4 m22_果直線l : y =kx +1和橢圓C : + ±- =1

4、始終有交點(diǎn)，則 mr 之 1,且 m#4,即 1蕓 mH m = 4。4 m標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn):y =kx +1 =過定點(diǎn)(0,1)y=k(x+1)=過定點(diǎn)(一1, 0)y2=k(x+1)=過定點(diǎn)(1, 2)題型二：弦的垂直平分線問題例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線l與曲線N : y2 =x交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(x0,0),使得AABE是等邊三角形，若存在，求出 x0；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線 l:y=k(x+1), k#0, A(x,y1), B(x2,y2)。y = k(x 1)+

5、由«y2()消丫整理，得y 二xk2x2 (2k2 -1)x k2 =0由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得_2242_，”(2k2 -1)2 -4k4 =-4k2 10r21即 0 ：k2 一4由韋達(dá)定理，得：x, - x22k -1,xx2 =1。則線段AB的中點(diǎn)為( k2_ 22k -1 12k2 2k_ 211 ,1 -2ky =-(x 2k k 2k線段的垂直平分線方程為:、人11 11 )令 y=0,得 x0 =-2一一 ,貝U E(2一一 ,0)2k2 2 2k2 2:'ABE為正三角形，二Ed1,。)到直線AB的距離d為X3|AB 。 2k222 1i A a .772

6、/21 _ 4k2 | 721 1 k2,AB = ,：(x1 -x?) (V、-2 =-L.1 - k d=-k 2k.39_52k解得k = 土=9滿足式此時(shí)x°=5。133題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題x y例題3、已知橢圓C： 2"+2=1(ab a b上的頂點(diǎn)分別為 Ai(-2,0),A 2(2,0)。(I)求橢圓的方程；(II)若直線l : x =t(t a2)與x軸交于點(diǎn)一點(diǎn)，直線PAi,PA2分別與橢圓交于 M、 圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案解：（I）由已知橢圓C的離心率e=£a,2 = 2/琳1 =，32=1。從而橢圓的方程為 之十

7、y2=124(II)設(shè)y = k1(x 2),M(x1,y1), N(x2,y2),直線AM的斜率為k1,則直線AiM的方程為y = k1(x + 2),由22 消yx“ 4y” = 4整理得(1+k12x2 +116x+116-4；2和x1是方程的兩個(gè)根，2x = 16k1-24則x1 = 2_8k121 4k21 4k12y1 -21 4k1,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2 -8k12 ,/k1 4k12 1 4k12），2同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2,則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8k二2,二4k）1 4k； 14k2，;yp =k1(t2), yp =k2(t-2).k1 - k2k1k22,直線MN的萬程

8、為: ty- y1x - x1y2 - y1x2 - x1的坐標(biāo)代入，化簡后得:x2y1 一 為丫2入一，令 y=0 ,得 x = "1，2 ,將點(diǎn) M、y1 724 _又：t >2，:0 < <2 :橢圓的焦點(diǎn)為t（居0），；s即"竽一，.4 3故當(dāng)t =時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題2（2 J3,0）是橢圓的右頂點(diǎn)，直線 BC3例題4、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E:與+%=1 （a Ab A0）上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) Aa b過橢圓白中心O,且0,如圖。（I）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；（II）若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q,使得直線 PC與

9、直線QC關(guān)于直線二 OC'AC1 V AC_BC為（73,73）。x=J3對(duì)稱，求直線 PQ的斜率。解：（I） ,，片=2 AC ,且BC過橢圓的中心O=0ACO =三又"；A (2 J3,0)二點(diǎn) C 的坐標(biāo)222二A （2 J3,0）是橢圓的右頂點(diǎn)，二a =2« ,則橢圓方程為：=112 b2將點(diǎn)C（ J3, 73）代入方程，得b2 = 4 ,二橢圓E的方程為 止+y=1124（II）： 直線PC與直線QC關(guān)于直線x = J3對(duì)稱,，設(shè)直線PC的斜率為k ,則直線QC的斜率為-k ,從而直線PC的方程為:y -邪=k(x 回，即 y =kx+/l k),由y =

10、kx+T3(ik)消 y,整理得: 22_ 一x 3y _12=0(1 3k2)x2 6、. 3k(1 -k)x 9k2 -18k -3 =0 ： x = 3是方程的一個(gè)根,.Xp|_ 3 =9k2 -18k -321 3k22_2_日09k2 -18k -39k218k-3即不 = 同理可得：xQ =-13(1 3k2),3(1 3k2)yyp Vq =kXp +73(1k)+k% 73(1+k) = k(Xp+%)273k-12k,3(1 3k2)2_29k2 -18k -3 9k2 18k -3xP - xQ =23(1 3k )36k.3(1 3k2),3(1 3k2)kPQyP -

11、yQxP - xQ則直線PQ的斜率為定值 題型五：共線向量問題例題5、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線2=1于P、Q兩點(diǎn)，且uuu uuuDP = l DQ，求實(shí)數(shù)l的取值范圍。5uuu uuu解：設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2),Q DP = l DQ?x1 = l x2(x1，y1-3)=l (卬2-3)即薪=3+1祉-3)判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法一， ，、,， V = kx 3消y整理后，得設(shè)直線PQ的方程為：y =kx+3,k=0,由y 094x2 9y2 =36(4+9k2)x2+54kx+45 =0*/P、Q 是曲線 M 上的兩點(diǎn)=(54k)2 4M45(4+9k2)= 1

12、44k2 80 至 0 即 9k2 至5 一(x x2 二工1 x 2 2x1x2x 2 x 154 k45由韋達(dá)定理得：x1-x2 =-54k7，x1x2 =-5。4 9k24 9k22 22254 k (1)日口 36- 9k 4 .4:,即二一一=1+r45(4 9k )15(1) 9k 9k11由得0 4一，代入，整理得9k 51£一9解之得1九55(1)55， 一 r，”,1當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即 x = 0時(shí)，易知 九=5或九=。5總之實(shí)數(shù)i的取值范圍是 r,5 I_5題型六：面積問題226例題6、已知橢圓C: 二十與=1 (a>b>0)的離心率為 出，短

13、軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為J3。a2b23.(I )求橢圓C的方程;3(n)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線l的距離為3 ,求 AOB面積的最大值。解：設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意除b" a =.3,2x 2，所求橢圓方程為一+y =1。3(n)設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)。(1)當(dāng) AB，x軸時(shí),AB=J3。(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m。由已知 1ml _73 ,得 Tk2 _2m2 =3(k2 +1)。4把y =kx+m代入橢圓方程，整理得 (3k2+1)x2+6kmx + 3m2 3 = 0 ,-6 km3(m2 -

14、1)1x “2 =-2，x1x2 =-一-3k2 13k2 1_ 222。- AB =(1 + k2)(x2 x1)2T1k2)36k2m212(m2-1)一(1 k)j3riTT22212(k2 1)(3k2 1 -m2)二22(3k2 1)2一 2 一 23(k1)(9k1)12k2223(3k1)3 9k4 6k2 11212(k¥0)W 3 +-4。9k2 - 62 3 6k2當(dāng)且僅當(dāng)9k2 =1,即k =±迭時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)k =0時(shí)，AB =J3 , k23X max-3二立22綜上所述ABmax=2。，" 一一一1,當(dāng)AB最大時(shí)， AOB面積取最大值

15、S =一父AB 2題型七：弦或弦長為定值問題例題7、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過定點(diǎn)C (0, p)作直線與拋物線 x2=2py (p>0)相交于A、B兩點(diǎn)。(I)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)，求 ANB面積的最小值；(n)是否存在垂直于 y軸的直線l,使得l 被以AC 為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。0,-p),可設(shè) A (Xi,yi) ,B (X2,y2),直線 AB 的方程為 y=kx+p,與 x2=2py 聯(lián)立得x =2py 、 /口 222c cc1_消去 y 得 x -2pkx-2P=0.由韋達(dá)定理得xi+X2=2pk,xiX2

16、=-2p.于是 S送bn=S4cn+S公cn =- 2 pXi- X2y = kx + p.2=px1 -x2| = p7(X1 +x2)2 -4x2 = p、4p2k2 +8p2 =2p2Jk2 +2.二當(dāng) k = 0時(shí)，(S四bn) min =2®?.為H,則OH _LPQ,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(二,p) 丁 OPACH-VTTV.OHa-yi p 2i八,=2a y1 - p , PH 2=OPi2-OH2=4(yi2+p2)T2a-yip)2(n)假設(shè)滿足條件的直線 l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為O：t與AC為直 徑的圓相交于點(diǎn) P、Q, PQ的中點(diǎn)二 PQ2=(2PH)2=4

17、.|(a-5)y2+a(p-a.令a -E = 0 ,得a =衛(wèi)，此時(shí)PQ = p為定值，故滿足條件的直線22在，其方程為y =衛(wèi)，2即拋物線的通徑所在的直線 .解法2:(I)前同解法1,再由弦長公式得AB = V1 + k2 |x1 -x2 =41+k2 4區(qū)+x2)24xx2 =F1 + k2、'4p2k2 +8p2=2p 1 k2 .k2 2.又由點(diǎn)到直線的距離公式得 d = 2p1k2一一 1 . 一從而5S 淺bn d AB =2 p1 +k2 Vk2 +2 ,，2P=2p2k2 + 2,2.1k2二當(dāng) k = 0時(shí),(S四bn) max = 22p2.(n)假設(shè)滿足條件的直

18、線t存在，其方程為 y=a,則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(x為)(y p)(y %) =0,將直線方程y=a代入得2x _xx -(a - p)(a - y1) = 0,2則 A=x 4(a - p)(ay1)=4(a - 9 y1a(p a).設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為 P (x2,y2),Q (x4,y4),則有PQ x3 x4yi a(p - a)=卒一以yi a( p - a).令a-B = 0得a=B此時(shí)PQ = p為定值，故滿足條件的直線22，即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題l存在，其方程為y例題8、(如圖(21)圖，M (-2, 0)和N (2, 0)是平

19、面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：PM + PN =6. (I)求點(diǎn)P的(D)若 PM PN =1 -cosZMPN求點(diǎn)P的坐標(biāo).軌跡方程;圖解：(I )由橢圓的定義，點(diǎn) P的軌跡是以M N為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓.因此半焦距c=2,長半軸a=3,從而短半軸b=Ja2 -C2 = J5所以橢圓的方程為=1.(n )由 PM Lpn21 -cosMPN,得 PM LPN cosMPN =| PM L PN -2.因?yàn)閏osMPN ¥1,P不為橢圓長軸頂點(diǎn)，故P、M N構(gòu)成三角形.在4PM即，MN =4,由余弦定理有MN|2 = PM |2 +|PN2 -2 PM UPN cosMPN.將代入

20、，得 42=|PM|2 + PN22(PMPN,2)._2故我P在以M N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為 2>/3的雙曲線 二y2=1上 322由(I)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足x-+L = 1,所以95由方程組5x2 9y2 =45,3y2 =3.解得 x=_323， y”問題九:例題9、即P點(diǎn)坐標(biāo)為四點(diǎn)共線問題2設(shè)橢圓C<x_ya b(I)求橢圓C的方程;(3.J2 ,3.3F昌、(-空,史)或(222漁,-叵)=1(a >b >0)過點(diǎn) M (42,1),且著焦點(diǎn)為 F1(J2,0)(n)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn) A, B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足證明：點(diǎn)

21、Q總在某定直線上解(1)由題意:c2 =221W *a b22. 2c = a -b(2)方法-. 一 2. 2，解得a =4,b =2,所求橢圓方程為設(shè)點(diǎn) q、a、b 的坐標(biāo)分別為(x, y),(Xi, yi),( X2, y?)。由題設(shè)知 Ap , PB , AQ,QB均不為零，記A0且九黃1又A,P,b, q四點(diǎn)共線，從而AP PB,AQ='QB從而又點(diǎn)A、4 . x1 - x2 1 -'“2 x 二1 ,1 =1 - 1yy2y1 ,X1x2222y1 - y彳.2= y，1 (2)B在橢圓C上，即xf 2y； =4,|IIHI(3)x2 2y2 =4,|I|HI(4)

22、(1) + (2) X 2并結(jié)合(3), (4)得 4s+2y =4即點(diǎn)Q(x, y)總在定直線2x+y2=0上PA, PB, AQ,QB均不為零。方法二設(shè)點(diǎn) Q(x, y), A(x1,y1)，B(x2,y2),由題設(shè),|PApbi且AQ QB又P, A,Q,B四點(diǎn)共線，可設(shè)京=九福,用=九尿(九。0,±1),于是4十;xX2 - -, y2 -1 ，1 .y(1)(2)由于A(X1,y) Bd.)在橢圓C上，將(1), (2)分別代入C的方程x2 +2y2 =4,整理得,2_ 2、2_、._(x +2y 4)九4(2x + y2)兒+14=0(3).2_ 2、2(x2y -4)

23、4(2x y -2) 14 =0(4)(4) - (3)得 8(x + y 2)=0-0,.,. 2x y -2 =0即點(diǎn)Q(x, y)總在定直線2x + y2=0上問題十：范圍問題(本質(zhì)是函數(shù)問題)2設(shè)F1、F2分別是橢圓x-+ y2 =1的左、右焦點(diǎn)。4(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PF1 PF2的最大值和最小值;(n)設(shè)過定點(diǎn) M(Q2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A、B,且/ AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的 斜率k的取值范圍。解：(I)解法一：易知 a=2,b=1,c=/3所以 F1(J3,0 i F2( J3,0 ),設(shè) P(x,y),則PF1 PF2 - -

24、3 -x, -y , . 3 -x, -y = x2 y2 -3 二 x2 1 -乙-33x2-844因?yàn)閤 w 1-2,2，故當(dāng)x = 0 ,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),PF1 PF2有最小值2r口. T當(dāng)乂 = ±2,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)， PF1 952有最大值解法二：易知 a =2,b =1,c =J3 所以 F1(J3,0 ),F2(J3,0 ),設(shè) P(x, y),則PFPfT= Pf1 PF2PFi 十1PF? F1F2，cos/F1PF2 = PF1PF222PF11pf_ 2c_ 2cx , 3 y x _3 j，y12j=x2+y23 （以下同解法一）（n）顯然直線

25、 x = 0不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線 l : y = kx 2, A(x1,y2 ), B(x2, y2),聯(lián)立y = kx 2 I y2x上2 1y=1，消去y ,整理得:,212. 八八k - x 4kx 3=04Xix2 二 一k2'k+1 卜3=4k2 3 >0得: 4k42又 00 :二 A0B ：90° = cos A0B 0= OA OB 0 . OA OB = x1x2 y1y2 0又 y1y2 =回 2 kx2 2 = k2x1x2 2k x1 x2 43k2-8k2+2121k k -44-k2 14 二-21k 44k3，K 犬2 => I.

26、 2 Ik - 443.一k2 1-2+ k ' >0,即 k2 <4-2<k <22121k2 -k2 -44一-3故由、得 一2 :二k :二-或問題十一、存在性問題:（矩形、菱形、正方形）（存在點(diǎn)，存在直線 y=kx+m ,存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角） ,圓）2 x 設(shè)橢圓E：下 ab2二1(a,b>0)過 M (2, J2) , N( J6,1)兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn),（I）求橢圓E的方程;（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA _L OB ?若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的

27、取值范圍，若不存在說明理由。2x解：（1）因?yàn)闄E圓E： -2 +ab2=1 (a,b>0)過 M (2, J2) , N(J6,1)兩點(diǎn)，2 _ 8229 =8橢圓E的方程為二十匕=12 =48442 -11 -1 a所以,孑 子一解得國一8所以9_1 ba2 b2b2（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA _L OB，設(shè)該圓的切線y t kx m方程為 y =kx+m 解方程組x2 y2得 x2+2(kx+ m)2 =8，即(1+2k2)x2 + 4kmx+ 2m2 8= 0,一 匚=1m2 +4) > 0 ,即 8k2 -m284則 = 16k2m2 -4(1 2k2)(2m2 -8) =8(8k24kmx1' x2 = -21 2k22 m2 -8x/2 二r1 2k,y1y2 = (kxi m)(kx2 m) = k X1X2 km(xi X